Miara niezmiennicza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara niezmienniczamiara zachowywana przez pewną funkcję. Są one szczególnym obszarem zainteresowań w studiach nad układami dynamicznymi. Twierdzenie Kryłowa-Bogolubowa mówi o istnieniu miar niezmienniczych pod pewnymi warunkami względem danych: funkcji i przestrzeni.

Definicja[edytuj]

Niech będzie przestrzenią mierzalną i dana będzie funkcja mierzalna . O mierze określonej na mówi się, że jest niezmiennicza ze względu na , jeżeli dla każdego zbioru mierzalnego zachodzi

.

Rodzinę miar (zwykle probabilistycznych, np. rozkładów prawdopodobieństwa) niezmienniczych na oznacza się czasami symbolem . Rodzina miar ergodycznych, , jest podzbiorem . Co więcej, dowolna kombinacja wypukła dwóch miar niezmienniczych również jest miarą niezmienniczą, zatem jest zbiorem wypukłym; składa się dokładnie z punktów ekstremalnych .

W przypadku układu dynamicznego , gdzie jest przestrzenią mierzalną jak wyżej, jest monoidem, a jest odwzorowaniem przepływu (operatorem rozwiązania), to określoną na nazywa się miarą niezmienniczą, gdy jest ona niezmiennicza dla każdego odwzorowania . Dokładniej, jest niezmiennicza wtedy i tylko wtedy, gdy

.

Innymi słowy jest miarą niezmienniczą ciągu zmiennych losowych (np. łańcuchem Markowa lub rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego), jeżeli zachodzi wynikanie: jeśli jest rozkładem warunku początkowego , to jest ona też rozkładem dla dowolnego późniejszego czasu .

Przykłady[edytuj]

  • Rozważmy prostą rzeczywistą z jej standardowym σ-ciałem borelowskim; ustalając weźmy przekształcenie przesunięcia dane wzorem:
    .
Wówczas jednowymiarowa miara Lebesgue'a jest niezmiennicza względem .
  • Ogólniej, w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej z jej standardową σ-algebrą borelowską -wymiarowa miara Lebesgue'a jest niezmiennicza względem dowolnej izometrii przestrzeni euklidesowej, tzn. przekształcenia , które może być zapisane wzorem
    ,
gdzie jest pewną macierzą ortogonalną stopnia , a wektorem z .
  • Miara niezmiennicza z pierwszego przykładu jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do trywialnej renormalizacji o stały czynnik. Jednak nie jest to przypadek ogólny: rozważmy następujący zbiór dwuelementowy oraz przekształcenie identycznościowe na tym zbiorze. Wówczas dowolna miara probabilistyczna jest niezmiennicza. Zauważmy też, że ma w trywialny sposób podział na -niezmiennicze składowe oraz .