Miara niezmiennicza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Miara niezmiennicza – w matematyce miara zachowywana przez pewną funkcję. Są one szczególnym obszarem zainteresowań w studiach nad układami dynamicznymi. Twierdzenie Kryłowa-Bogolubowa mówi o istnieniu miar niezmienniczych pod pewnymi warunkami względem danych: funkcji i przestrzeni.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, \mathfrak M) będzie przestrzenią mierzalną i dana będzie funkcja mierzalna f\colon X \to X. O mierze \mu określonej na (X, \mathfrak M) mówi się, że jest niezmiennicza ze względu na f, jeżeli dla każdego zbioru mierzalnego A \in \mathfrak M zachodzi

\mu \left(f^{-1}(A)\right) = \mu(A).

Rodzinę miar (zwykle probabilistycznych, np. rozkładów prawdopodobieństwa) niezmienniczych na X oznacza się czasami symbolem \operatorname M_f(X). Rodzina miar ergodycznych, \operatorname E_f(X), jest podzbiorem \operatorname M_f(X). Co więcej, dowolna kombinacja wypukła dwóch miar niezmienniczych również jest miarą niezmienniczą, zatem \operatorname M_f(X) jest zbiorem wypukłym; \operatorname E_f(X) składa się dokładnie z punktów ekstremalnych \operatorname M_f(X).

W przypadku układu dynamicznego (X, T, \varphi), gdzie (X, \mathfrak M) jest przestrzenią mierzalną jak wyżej, T jest monoidem, a \varphi\colon T \times X \to X jest odwzorowaniem przepływu (operatorem rozwiązania), to \mu określoną na (X, \mathfrak M) nazywa się miarą niezmienniczą, gdy jest ona niezmiennicza dla każdego odwzorowania \varphi_t\colon X \to X. Dokładniej, \mu jest niezmiennicza wtedy i tylko wtedy, gdy

\mu\left(\varphi_t^{-1}(A)\right) = \mu(A) \quad \forall_{t \in T, A \in \mathfrak M}.

Innymi słowy \mu jest miarą niezmienniczą ciągu zmiennych losowych (Z_t)_{t > 0} (np. łańcuchem Markowa lub rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego), jeżeli zachodzi wynikanie: jeśli \mu jest rozkładem warunku początkowego Z_0, to jest ona też rozkładem Z_t dla dowolnego późniejszego czasu t.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Wówczas jednowymiarowa miara Lebesgue'a \lambda jest niezmiennicza względem \operatorname T_a.
  • Ogólniej, w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej \mathbb R^n z jej standardową σ-algebrą borelowską n-wymiarowa miara Lebesgue'a \lambda_n jest niezmiennicza względem dowolnej izometrii przestrzeni euklidesowej, tzn. przekształcenia \operatorname T\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^n, które może być zapisane wzorem
    \operatorname T(\mathbf x) = \mathbf A\mathbf x + \mathbf b,
gdzie \mathbf A \in \operatorname O(n) jest pewną macierzą ortogonalną stopnia n, a \mathbf b wektorem z \mathbb R^n.
  • Miara niezmiennicza z pierwszego przykładu jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do trywialnej renormalizacji o stały czynnik. Jednak nie jest to przypadek ogólny: rozważmy następujący zbiór dwuelementowy X=\{0,1\} oraz przekształcenie identycznościowe T(x) = x na tym zbiorze. Wówczas dowolna miara probabilistyczna \mu\colon 2^X \to [0,1] jest niezmiennicza. Zauważmy też, że X ma w trywialny sposób podział na T-niezmiennicze składowe \{0\} oraz \{1\}.