Nakrycie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Zobacz też: zastawa stołowa.
Nakrycie zbioru w otoczeniu można sobie wyobrażać jako rzutowanie duplikatów otoczenia zawartych w zbiorze na otoczenie .

Nakrycie (nakrycie rzutowe) - to funkcja ciągła p z przestrzeni topologicznej do przestrzeni topologicznej , taka że każdy punkt w ma otoczenie otwarte równomiernie pokryte na skutek działania funkcji p (precyzyjna definicja jest podana niżej).

Przestrzeń nazywa się przestrzenią nakrywającą.

Przestrzeń nazywa się przestrzenią bazową (bazą).

Nakryciem uniwersalnym nazywamy nakrycie, którego przestrzeń nakrywająca jest jednospójna.

Nakrycia pełnią ważną rolę w teorii homotopii, analizie harmonicznej, geometrii Riemanna i topologii różniczkowej.

Definicja formalna nakrycia[edytuj]

Nakrycieciągła surjekcja , taka że dla każdego istnieje przestrzeń dyskretna oraz otoczenie , że przeciwobraz otoczenia w odwzorowaniu , tj. , oraz homeomorficzne[1].

Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem.

Definicja włókna[edytuj]

Włóknem nad punktem nazywa się zbiór, który jest przeciwobrazem punktu dla odwzorowania , tj.

Definicja krotności włókna[edytuj]

Moc włókna nad punktem nazywa się krotnością nakrycia w punkcie . Krotność jest funkcją lokalnie stałą.

Definicja nakrycia n-krotnego[edytuj]

Gdy baza nakrycia jest przestrzenią spójną, krotność jest funkcją stałą, a nakrycie nazywane jest nakryciem n - krotnym[1].

Przykład[edytuj]

Rozpatrzmy okrąg jednostkowy S1R2. Odwzorowanie p : RS1, gdzie

jest nakryciem, w którym każdy punkt S1 ma włókno nieskończone.[2] Odwzorowanie p jest nakryciem uniwersalnym, gdyż przestrzeń pokrywająca R - zbiór liczb rzeczywistych - jest jednospójna.

Przypisy

  1. a b Klaus Jänich: Topologia. Warszawa: PWN, 1991, s. 136-137.
  2. Artykuł o nakryciach w Encyklopedii Matematycznej Springera