Nakrycie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Zobacz też: zastawa stołowa.
Nakrycie zbioru w otoczeniu można sobie wyobrażać jako rzutowanie duplikatów otoczenia zawartych w zbiorze na otoczenie .

Nakrycie (nakrycie rzutowe) - to funkcja ciągła p z przestrzeni topologicznej do przestrzeni topologicznej takie że każdy punkt w ma otoczenie otwarte równomiernie pokryte na skutek działania funkcji p (precyzyjna definicja jest podana niżej).

Przestrzeń nazywa się przestrzenią pokrywającą, a przestrzeń - bazą (przestrzenią bazową) nakrycia.

Nakrycia pełnią ważną rolę w teorii homotopii, analizie harmonicznej, geometrii Riemanna i topologii różniczkowej.

Definicja formalna[edytuj]

Nakrycieciągła surjekcja , taka że dla każdego istnieje przestrzeń dyskretna oraz otoczenie , że i homeomorficzne[1].

Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem.

Gdy przestrzeń nakrywająca jest jednospójna, nakrycie nazywamy nakryciem uniwersalnym.

Definicja włókna[edytuj]

Włóknem nad punktem

Moc włókna nad punktem nazywa się krotnością nakrycia w punkcie . Krotność jest funkcją lokalnie stałą. Gdy baza nakrycia jest spójna, krotność jest funkcją stałą, a nakrycie nazywane jest nakryciem n - krotnym[1].

Przykład[edytuj]

Rozpatrzmy okrąg jednostkowy S1R2. Odwzorowanie p : RS1, gdzie

jest nakryciem, w którym każdy punkt S1 ma włókno nieskończone.[2] Jest to nakrycie uniwersalne.

Przypisy

  1. a b Klaus Jänich: Topologia. Warszawa: PWN, 1991, s. 136-137.
  2. Artykuł o nakryciach w Encyklopedii Matematycznej Springera