Nieskończenie małe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Nieskończenie małe – podzbiór ciała uporządkowanego zdefiniowany jako zbiór tych elementów ciała, które są na moduł mniejsze od dowolnej liczby postaci (gdzie rozumie się jako -krotną sumę jedności ciała ), czyli zbiór:

Powyższa definicja jest poprawna, ponieważ w każdym ciele uporządkowanym porządek jest liniowy, oraz istnieją liczby „naturalne” (jako skończone sumy multyplikatywnego elementu neutralnego) oraz da się zdefiniować funkcję moduł jako:

gdzie oznacza element przeciwny do względem działania addytywnego[1].

Ciało liczb rzeczywistych[edytuj | edytuj kod]

W ciele liczb rzeczywistych jedyną liczbą nieskończenie małą jest liczba czyli

Ciało liczb hiperrzeczywistych[edytuj | edytuj kod]

W ciele liczb hiperrzeczywistych zbiór liczb nieskończenie małych to

[2][3] i liczb tych jest nieskończenie wiele.

Do zbioru należy np. liczba [3][4].

Struktura jest grupą[5], a jest pierścieniem[3] oraz grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych[3][5].

W zbiorze nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej[3].

Liczby odwrotne względem działania do niezerowej liczby nieskończenie małej są liczbami nieskończenie dużymi[6].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 258.
  2. Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 30.
  3. a b c d e Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 182.
  4. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 4.
  5. a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 32.
  6. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 8.