Nieskończenie małe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Nieskończenie małe – pojęcie analizy matematycznej o co najmniej dwóch znaczeniach:

  • historycznie: funkcje dążące do zera w danym punkcie[1];
  • w analizie niestandardowej: podzbiór ciała uporządkowanego zdefiniowany jako zbiór tych elementów ciała, które są na moduł mniejsze od dowolnej liczby postaci (gdzie rozumie się jako -krotną sumę jedności ciała ), czyli zbiór:

Ta druga definicja jest poprawna, ponieważ:

  • w każdym ciele uporządkowanym porządek jest liniowy,
  • istnieją liczby „naturalne” (jako skończone sumy multiplikatywnego elementu neutralnego),
  • da się zdefiniować funkcję moduł jako:
gdzie oznacza element przeciwny do względem działania addytywnego[2].

Ciało liczb rzeczywistych[edytuj | edytuj kod]

W ciele liczb rzeczywistych jedyną liczbą nieskończenie małą jest liczba czyli

Ciało liczb hiperrzeczywistych[edytuj | edytuj kod]

W ciele liczb hiperrzeczywistych zbiór liczb nieskończenie małych to

[3][4] i liczb tych jest nieskończenie wiele.

Do zbioru należy np. liczba [4][5].

Struktura jest grupą[6], a jest pierścieniem[4] oraz grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych[4][6].

W zbiorze nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej[4].

Liczby odwrotne względem działania do niezerowej liczby nieskończenie małej są liczbami nieskończenie dużymi[7].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. nieskończenie mała, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-03-16].
  2. Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 258.
  3. Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 30.
  4. a b c d e Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 182.
  5. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 4.
  6. a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 32.
  7. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 8.