Nieskończenie małe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nieskończenie małe (infinitezymalne) – określenie wielkości, która w danym przejściu granicznym dąży do zera.

Definicja[edytuj]

Niech x0 oznacza liczbę rzeczywistą lub ±∞. Funkcję f(x) nazywamy nieskończenie małą przy x dążącym do x0 jeżeli jej granica przy x dążącym do x0 jest równa 0:

Uwagi[edytuj]

  1. Pojęcie "nieskończenie małej" jest tylko wygodnym i intuicyjnym sposobem wyrażania faktu, że granica funkcji jest równa 0.
  2. Jeżeli g(x) jest nieskończenie wielką, to 1/g(x) jest nieskończenie małą, lecz nie na odwrót.

Rząd nieskończenie małej[edytuj]

Nieskończenie mała f(x) przy x dążącym do x0 ma rząd k jeżeli

gdy jest liczbą
gdy

Nieskończenie małe równoważne[edytuj]

Dwie nieskończenie małe f(x) i g(x) są równoważne jeżeli:

.

Relacja "równoważności" nieskończenie małych jest rzeczywiście relacją równoważności – w szczególności, dwie nieskończenie małe równoważne trzeciej są też sobie równoważne.

Przykłady[edytuj]

  • sin x jest nieskończenie małą w punkcie 0

Jest to nieskończenie mała rzędu 1, bo:

Równość ta oznacza jednocześnie, że nieskończenie małe sin x i x w punkcie 0 są równoważne.

  • cos x jest nieskończenie małą w punkcie π/2

Jest to znów nieskończenie mała rzędu 1, bo:


Zatem nieskończenie małe cos x i π/2 - x są w punkcie π/2 równoważne.

  • tg x jest nieskończenie małą w punkcie 0

Z równości:

wynika, że jest to nieskończenie mała rzędu 1. Jest ona równoważna nieskończenie małej sin x w punkcie 0.

  • x3 jest w punkcie 0 nieskończenie małą rzędu 3
  • 1 - cos x jest nieskończenie małą rzędu 2 w punkcie 0, bo:
  • ex - 1 jest nieskończenie małą rzędu 1 w punkcie 0, bo:

Zastosowania[edytuj]

Nieskończenie małe równoważne można wzajemnie zastępować w danych przejściach granicznych. Przykład:

Zobacz też[edytuj]