Nieskończenie małe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Nieskończenie małe (infinitezymalne) – określenie wielkości, która w danym przejściu granicznym dąży do zera.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza liczbę rzeczywistą lub Funkcję nazywamy nieskończenie małą przy dążącym do jeżeli jej granica przy dążącym do jest równa 0:

Uwagi
  1. Pojęcie „nieskończenie małej” jest tylko wygodnym i intuicyjnym sposobem wyrażania faktu, że granica funkcji jest równa 0.
  2. Jeżeli jest nieskończenie wielką, to jest nieskończenie małą, lecz nie na odwrót.

Rząd nieskończenie małej[edytuj | edytuj kod]

Nieskończenie mała przy dążącym do ma rząd jeżeli

gdy jest liczbą,
gdy

Nieskończenie małe równoważne[edytuj | edytuj kod]

Dwie nieskończenie małe i są równoważne, jeżeli:

Relacja „równoważności” nieskończenie małych jest rzeczywiście relacją równoważności – w szczególności, dwie nieskończenie małe równoważne trzeciej są też sobie równoważne.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • jest nieskończenie małą w punkcie 0.

Jest to nieskończenie mała rzędu 1, bo:

Równość ta oznacza jednocześnie, że nieskończenie małe i w punkcie 0 są równoważne.

  • jest nieskończenie małą w punkcie

Jest to znów nieskończenie mała rzędu 1, bo:

Zatem nieskończenie małe i są w punkcie równoważne.

  • jest nieskończenie małą w punkcie 0.

Z równości:

wynika, że jest to nieskończenie mała rzędu 1. Jest ona równoważna nieskończenie małej w punkcie 0.

  • jest w punkcie 0 nieskończenie małą rzędu 3,
  • jest nieskończenie małą rzędu 2 w punkcie 0, bo:
  • jest nieskończenie małą rzędu 1 w punkcie 0, bo:

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Nieskończenie małe równoważne można wzajemnie zastępować w danych przejściach granicznych. Przykład:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]