Ciało liczbowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciało liczbowe – każde ciało będące skończonym rozszerzeniem algebraicznym ciała liczb wymiernych . Innymi słowy, jest to ciało zawierające jako podciało oraz którego wymiar jako przestrzeni wektorowej nad jest skończony.

Badanie własności ciał liczbowych jest głównym motywem algebraicznej teorii liczb.

Stopień, reprezentacja regularna, ślad i norma[edytuj]

Każde ciało liczbowe jest przestrzenią liniową nad , które jest jego podzbiorem. Wymiar tej przestrzeni oznaczamy jako i nazywamy stopniem rozszerzenia ciała , z zaznaczeniem, o ile to nie jest jasne z kontekstu, że chodzi o stopień rozszerzenia liczb wymiernych lub krótko stopień nad .

Załóżmy, że jest ciałem liczbowym o stopniu rozszerzenia (nad ) równym . Ponieważ jest -wymiarową przestrzenią wektorową nad , to możemy wybrać (na ogół na wiele sposobów) bazę tej przestrzeni. Jak wiadomo z elementarnej algebry liniowej, każdy element ma jednoznaczną reprezentację w tej bazie, tzn. jednoznacznie wyznaczony ciąg taki, że . Reprezentacja regularna elementu to macierz , która powstaje poprzez pomnożenie go przez poszczególne elementy bazy:

.

Łatwo pokazać, że dla dwóch elementów i ich reprezentacji regularnych , zachodzi , tzn. mnożeniu elementów odpowiada mnożenie macierzy je reprezentujących. Ponadto można udowodnić, że niezmienniki owych macierzy, takie jak ślad i wyznacznik i wielomian charakterystyczny nie zależą od wyboru konkretnej bazy , a tylko od elementu . Tak więc możemy przyjąć poniższe definicje śladu i normy elementu ciała algebraicznego:

Trywialne wnioski z tych definicji to:

gdzie jest dowolnym elementem , zaś .

Zobacz też[edytuj]