Problem komiwojażera

Rozwiązanie przykładowego problemu komiwojażera: najkrótszą ścieżką przechodzącą przez wszystkie czerwone punkty jest czarna pętla.

Problem komiwojażera (ang. travelling salesman problem, TSP) – zagadnienie optymalizacyjne, polegające na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona w pełnym grafie ważonym.

Nazwa pochodzi od typowej ilustracji problemu, przedstawiającej go z punktu widzenia wędrownego sprzedawcy (komiwojażera): dane jest n miast, które komiwojażer ma odwiedzić, oraz odległość / cena podróży / czas podróży pomiędzy każdą parą miast. Celem jest znalezienie najkrótszej / najtańszej / najszybszej drogi łączącej wszystkie miasta, zaczynającej się i kończącej się w określonym punkcie.

Symetryczny problem komiwojażera (STSP) polega na tym, że dla dowolnych miast A i B odległość z A do B jest taka sama jak z B do A. W asymetrycznym problemie komiwojażera (ATSP) odległości te mogą być różne.

Główną trudnością problemu jest duża liczba danych do analizy. W przypadku symetrycznego problemu komiwojażera dla n miast liczba kombinacji wynosi ${\frac {(n-1)!}{2}}$, tak więc dla 20 miast uzyskujemy wynik ${\frac {19!}{2}}\approx 6\times 10^{16}$

Rozwinięciem problemu komiwojażera jest problem marszrutyzacji.

Przykładowe algorytmy znajdujące przybliżone rozwiązania problemu komiwojażera to algorytm najbliższego sąsiada i algorytm Christofidesa.

Historia

Początek badań nad problemem komiwojażera nie jest jasny. Wspomina o nim podręcznik z 1832, który zawiera przykładową trasę po Niemczech i Szwajcarii, lecz nie zawiera żadnych matematycznych uzasadnień.

W 1859 irlandzki matematyk William Rowan Hamilton sformułował problem istnienia cyklu o długości n w grafie n-wierzchołkowym.

Za pierwszego autora, który sformalizował matematycznie problem komiwojażera uznaje się austriackiego matematyka Karla Mengera, który zdefiniował go w 1930 zwracając szczególną uwagę na trudność w obliczeniu rozwiązania. Niezależnie od niego ten sam problem poruszył w 1934 Hassler Witney na wykładzie w Princeton University. Natomiast pierwsza próba rozwiązania problemu miała miejsce w 1937, gdy Merrill Flood pracował nad rozwiązaniem wyznaczania tras dla autobusów szkolnych.

Z uwagi na bardzo prosty opis problemu oraz opinię o bardzo trudnym obliczeniowo procesie optymalizacji, problem komiwojażera stał się bardzo popularny. Fascynacja ta trwa od lat pięćdziesiątych XX wieku do dziś, zarówno wśród amatorów jak i profesjonalistów.

Przykład

Miasta: Kutno, Warszawa, Poznań, Kraków

Odległości:

	Kutno	Warszawa	Poznań	Kraków
Kutno	0	130	180	300
Warszawa	130	0	320	350
Poznań	180	320	0	360
Kraków	300	350	360	0

Należy znaleźć najkrótszą trasę zaczynającą się np. z Kutna, przechodzącą jednokrotnie przez wszystkie pozostałe miasta i wracającą do Kutna.

Problem ten jest NP-trudny.

Wersja decyzyjna

W wersji decyzyjnej problemu, danymi są graf i pewna liczba n, należy odpowiedzieć czy istnieje trasa komiwojażera krótsza od n.

Tak sformułowany problem jest NP-zupełny.

Bibliografia

• Maciej MarekM.M. Sysło Maciej MarekM.M., NarsinghN. Deo NarsinghN., Janusz S.J.S. Kowalik Janusz S.J.S., Algorytmy optymalizacji dyskretnej, wyd. drugie, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1995, ISBN 83-01-11818-0 .

Linki zewnętrzne

• Traveling Salesman Problem [online] [dostęp 2016-05-22]  (ang.).