Reprezentacja grupy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Reprezentacja grupy – każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.

Definicja[edytuj]

Reprezentacją grupy w przestrzeni liniowej nad ciałem jest homomorfizm grupowy grupy w pełną grupę liniową .

Wymiar przestrzeni wektorowej nazywamy wymiarem reprezentacji.

Minimalność[edytuj]

Jeśli jest skończona, to minimalnym (bądź wiernym) stopniem tej grupy, oznaczanym symbolem , nazywa się najmniejszą liczbę naturalną , dla której jest podgrupą grupy symetrycznej rzędu ; dowolne takie zawieranie nazywa się minimalną (bądź wierną) reprezentacją grupy .

Charaktery[edytuj]

Niech będzie zespoloną przestrzenią wektorową. Charakterem reprezentacji nazywamy odwzorowanie , gdzie , zaś jest operatorem śladu.

Iloczyny tensorowe i sumy proste[edytuj]

Suma prosta reprezentacji to odwzorowanie przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy sumę prostą odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

Jest to

Analogicznie iloczyn tensorowy reprezentacji to odwzorowanie przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy iloczyn tensorowy odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

Jest to

Bibliografia[edytuj]

  1. Jan Dereziński: Teoria grup. [dostęp 2011-02-26].