Reprezentacja grupy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Reprezentacja grupy – każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.

Definicja[edytuj]

Reprezentacją grupy G w przestrzeni liniowej V nad ciałem K jest homomorfizm grupowy grupy G w pełną grupę liniową GL(V).

Wymiar przestrzeni wektorowej V nazywamy wymiarem reprezentacji.

Minimalność[edytuj]

Jeśli G jest skończona, to minimalnym (bądź wiernym) stopniem tej grupy, oznaczanym symbolem \mu(G), nazywa się najmniejszą liczbę naturalną n, dla której \scriptstyle G jest podgrupą grupy symetrycznej S_n rzędu n; dowolne takie zawieranie nazywa się minimalną (bądź wierną) reprezentacją grupy G.

Charaktery[edytuj]

Niech V będzie zespoloną przestrzenią wektorową. Charakterem reprezentacji \varphi nazywamy odwzorowanie \chi_\varphi\colon G \to \mathbb C,\; \chi_\varphi(g) = \operatorname{tr}\, \varphi(g), gdzie g \in G, zaś \operatorname{tr} jest operatorem śladu.

Iloczyny tensorowe i sumy proste[edytuj]

Suma prosta reprezentacji to odwzorowanie \oplus przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy sumę prostą odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

\varphi : G \to GL(V)
\psi : G \to GL(W)

Jest to

\varphi \oplus \psi : G \to GL(V \oplus W)
(\varphi \oplus \psi)(g) = \varphi(g) \oplus \psi(g)

Analogicznie iloczyn tensorowy reprezentacji to odwzorowanie \otimes przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy iloczyn tensorowy odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

\varphi : G \to GL(V)
\psi : G \to GL(W)

Jest to

\varphi \otimes \psi : G \to GL(V \otimes W)
(\varphi \otimes \psi)(g) = \varphi(g) \otimes \psi(g)

Bibliografia[edytuj]

  1. Jan Dereziński: Teoria grup. [dostęp 2011-02-26].