Grupa SU(2)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Grupa SU(2), czyli specjalna grupa unitarna rzędu 2 – grupa macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1.

Reprezentacja fundamentalna tej grupy składa się z macierzy wymiaru o wyrazach ze zbioru liczb zespolonych, tj.

gdzie np. to liczba sprzężona do

Inne reprezentacje grupy tworzą macierze wyższego wymiaru, przy tym ich generatory spełniają identyczne warunki komutacyjne jak generatory reprezentacji fundamentalnej (omówiono to w artykule).

Działaniem grupowym w każdej reprezentacji jest operacja mnożenia macierzy. Elementem neutralnym grupy w danej reprezentacji jest macierz jednostkowa (o wymiarze równym wymiarowi macierzy tej reprezentacji). Elementem odwrotnym jest macierz odwrotna dodanej macierzy.

Grupa jest podgrupą w grupie macierzy unitarnych która z kolei jest podgrupą pełnej grupy liniowej Centrum grupy jest izomorficzne z grupą cykliczną

Topologia[edytuj | edytuj kod]

Grupa jest rozmaitość różniczkową wymiaru 3, jednospójną i zwartą; jako grupa jest grupą Liego: grupa macierzy jest grupą ciągłą, tzn. elementy macierzy należących do grupy są wyrażone za pomocą funkcji różniczkowalnych i ciągłych, należnych od 3 parametrów liniowo niezależnych. Algebra Liego su(2) związana z grupą Liego posiada generatory

Reprezentacja fundamentalna grupy SU(2)[edytuj | edytuj kod]

Generatory[edytuj | edytuj kod]

Generatory algebry Liego dla reprezentacji fundamentalnej grupy Generatory reprezentacji fundamentalnej grupy SU(2) wyrażają się poprzez wymiaru 2 × 2; najczęściej wybiera się jako generatory macierze Pauliego mnożone przez 1/2, tj.

czyli

Reguły komutacji generatorów[edytuj | edytuj kod]

Generatory te spełniają reguły komutacji:

gdzie – komutator.

Reguły komutacji można zapisać za pomocą wzoru

gdzie: oznacza tzw. symbol antysymetryczny:

  • gdy liczby są parzystą permutacją liczb 123,
  • gdy liczby są nieparzystą permutacją liczb 123,
  • gdy dwie lub trzy liczby są takie same.

Reguły antykomutacji:

gdzie delta Kroneckera

Stałe struktury[edytuj | edytuj kod]

Z postaci komutatora widać że tensor antysymetryczny wyznacza stałe struktury grupy, tzn.

– stałe te (prawie) zupełnie determinują strukturą multiplikatywną grupy (tj. wyniki mnożenia elementów grupy przez siebie). Generatory definiują algebrę Liego tworząc jej bazę. Macierze te nie są jedynymi macierzami które spełniają te same warunki komutacji.

Inne reprezentacji grupy [edytuj | edytuj kod]

Możliwe są więc także różne reprezentacje macierzowe tej samej grupy: generatorami tych reprezentacji są macierze wymiaru większego niż 2, które spełniają te same reguły komutacyjne co generatory wymiaru – te ostatnie nazywa się generatorami reprezentacji fundamentalnej (definiującej) grupy

Macierz SU(2) wyrażona za pomocą generatorów[edytuj | edytuj kod]

Dowolną macierz grupy w jej reprezentacji wymiaru można wyrazić za pomocą eksponenty

gdzie:

  • takie, że – wektor jednostkowy, skierowany wzdłuż osi obrotu,
  • – kąt obrotu (określony zgodnie z regułą prawej dłoni) wokół danej osi zadanej wektorem
  • – generatory danej reprezentacji o wymiarze

Uwaga 1: Wykładnik w eksponencie powyższego wzoru przedstawia sumę macierzy antyhermitowskich bezśladowych (np. dla reprezentacji fundamentalnej generatorami są macierze Pauliego, mnożone przez odpowiednie współczynniki – w efekcie w eksponencie mamy macierz antyhermitowską bezśladową) – jest to warunek konieczny, by generowana macierz była unitarna; bezśladowość zapewnia, że wyznacznik generowanej macierzy jest równy 1 – dlatego generowania jest specjalna macierz unitarna.

Uwaga 2: Grupa jest grupą zwartą, zależną od 3 liniowo niezależnych parametrów które należą do zbioru zwartego przy czym:

– współrzędne kartezjańskie wektora jednostkowego, skierowanego wzdłuż osi obrotu,
– kąt obrotu wokół tej osi
oraz

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Grupy

Inne

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, PWN, Warszawa 1975, Tom 2.
  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
  • Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]