Pełna grupa liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa)grupa wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym pierścieniem, czyli grupa multiplikatywna pierścienia macierzy.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Pełną grupą liniową nazywamy uporządkowaną czwórkę oznaczaną gdzie:

Dowolną podgrupę pełnej grupy liniowej nazywa się po prostu grupą liniową. Z punktu widzenia teorii kategorii operator jest funktorem z kategorii pierścieni w kategorię grup.

Przestrzenie liniowe[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest przestrzenią liniową nad ciałem wówczas pełną grupą liniową przestrzeni liniowej oznaczaną przez lub nazywamy grupę wszystkich automorfizmów tzn. zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń liniowych ze składaniem funkcji jako działaniem grupowym.

Jeżeli przestrzeń ma skończony wymiar to oraz izomorficzne. Jednakże izomorfizm nie jest kanoniczny, gdyż zależy od wyboru bazy w Jeżeli jest bazą uporządkowaną zaś automorfizmem to mamy

dla pewnych stałych Macierz odpowiadająca składa się po prostu z wyrazów

Podobnie grupa pierścienia może być interpretowana jako grupa automorfizmów wolnego -modułu o randze

Wyznaczniki[edytuj | edytuj kod]

Macierz jest odwracalna nad ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Stąd może być zdefiniowana jako grupa macierzy o niezerowym wyznaczniku.

Definicja dla pierścienia przemiennego jest nieco subtelniejsza: macierz nad jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest elementem odwracalnym w tzn. jej wyznacznik jest odwracalny w Stąd może być zdefiniowana jako grupa macierzy o wyznacznikach będących elementami odwracalnymi.

Rozważanie wyznaczników nad pierścieniem nieprzemiennym nie ma sensu. W tym przypadku grupa może być zdefiniowana jako grupa elementów odwracalnych

Specjalna grupa liniowa[edytuj | edytuj kod]

Specjalną grupą liniową stopnia nad ciałem nazywamy grupę liniową zawierającą wszystkie macierze kwadratowe stopnia o elementach z ciała których wyznacznik jest równy jedności[1]. Specjalną grupę liniową oznacza się przez lub

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Macierze te tworzą grupę, gdyż wyznacznik iloczynu dwóch macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników, zatem jest ona zamknięta ze względu na to działanie.
  • Jeżeli lub (ogólnie jest ciałem lokalnym), to jest podgrupą Liego grupy wymiaru Algebra Liego składa się ze wszystkich macierzy ze znikającym śladem. Nawias Liego jest dany przez jej komutator.
  • Specjalna grupa liniowa może być scharakteryzowana jako grupa przekształceń liniowych zachowujących objętość i orientację.

Rozmaitość algebraiczna[edytuj | edytuj kod]

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

może być rozważana jako otwarta podrozmaitość przestrzeni afinicznej wymiaru nad

Ciała skończone[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest ciałem skończonym o elementach, to zamiast piszemy czasami Jeżeli jest liczbą pierwszą, to jest grupą automorfizmów zewnętrznych grupy a zarazem grupą automorfizmów, ponieważ jest abelowa, zatem grupa automorfizmów wewnętrznych jest trywialna.

Rząd grupy[edytuj | edytuj kod]

Rząd grupy wynosi

Można udowodnić ten fakt poprzez zliczanie możliwych kolumn macierzy: pierwsza może być dowolną poza wektorem zerowym, druga – dowolną z wyjątkiem wielokrotności pierwszej, wreszcie -ta kolumna może być dowolnym wektorem spoza powłoki liniowej pierwszych kolumn.

Przykładowo ma rząd równy Jest to grupa automorfizmów płaszczyzny Fana oraz grupy

Ogólniej, można policzyć punkty grassmannianianu nad innymi słowy: liczbę podprzestrzeni danego wymiaru Wymaga to jedynie znalezienia rzędu podgrupy izotropii jednej z takiej podprzestrzeni oraz podzielenia powyższego wzoru na podstawie twierdzenia o stabilizatorze.

Związek między tymi wzorami a liczbami Bettiego grassmannianów zespolonych, był jednym z tropów prowadzących do hipotezy Weila.

Analogiczny wzór dla to

Inne podgrupy[edytuj | edytuj kod]

Podgrupy diagonalne[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wszystkich odwracalnych macierzy diagonalnych tworzy podgrupę nazywaną podgrupą diagonalną, izomorficzną z W ciałach takich jak czy odpowiada ona skalowaniu przestrzeni; są to tzw. dylatacje i kontrakcje.

Macierz skalarna to macierz będąca iloczynem stałej oraz macierzy jednostkowej.

Grupy klasyczne[edytuj | edytuj kod]

Tak zwane grupy klasyczne są podgrupami zachowującymi pewien rodzaj formy dwuliniowej w przestrzeni liniowej Są to między innymi

Grupy te są ważnymi przykładami grup Liego.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli to nie jest abelowa.
  • jest podgrupą normalną
  • Niech będzie grupą multiplikatywną (złożoną z wszystkich elementów różnych od zera) ciała wówczas wyznacznik jest homomorfizmem grup:
  • Z definicji jądra wynika, że jądrem jest zbiór macierzy o wyznaczniku równym jedności, zatem
  • Więcej, jest produktem półprostym
  • Grupa w przeciwieństwie do jest jednospójna. Dodatkowo ma tę samą grupę podstawową co grupa addytywna czyli dla oraz dla
  • Zbiór wszystkich niezerowych macierzy skalarnych jest podgrupą izomorficzną z
  • Grupa skalarna stanowi centrum zatem jest ona normalna i przemienna.
  • Centrum to po prostu zbiór wszystkich macierzy z wyznacznikiem jednostkowym, podgrupa ta jest izomorficzna z grupą pierwiastków z jedynki -tego stopnia w ciele

Podobne grupy[edytuj | edytuj kod]

Projektywna grupa liniowa[edytuj | edytuj kod]

Projektywna grupa liniowa oraz specjalna projektywna grupa liniowa grupami ilorazowymi oraz przez ich centra (które składają się z pewnych wielokrotności macierzy jednostkowej).

Grupa afiniczna[edytuj | edytuj kod]

Grupa afiniczna jest rozszerzeniem o grupę przesunięć w Zapisuje się ją jako produkt półprosty:

gdzie działa na w naturalny sposób. Grupa afiniczna może też być postrzegana jako grupa wszystkich przekształceń afinicznych przestrzeni afinicznej nad przestrzenią liniową

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]