Pełna grupa liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa)grupa wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym pierścieniem czyli grupa multyplikatywna pierścienia macierzy.

Definicja formalna[edytuj]

Pełną grupą liniową nazywamy uporządkowaną czwórkę oznaczaną , gdzie:

Dowolną podgrupę pełnej grupy liniowej nazywa się po prostu grupą liniową. Z punktu widzenia teorii kategorii operator jest funktorem z kategorii pierścieni w kategorię grup.

Przestrzenie liniowe[edytuj]

Jeżeli jest przestrzenią liniową nad ciałem , wówczas pełną grupą liniową przestrzeni liniowej oznaczaną przez lub nazywamy grupę wszystkich automorfizmów , tzn. zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń liniowych ze składaniem funkcji jako działaniem grupowym.

Jeżeli przestrzeń ma skończony wymiar , to oraz izomorficzne. Jednakże izomorfizm nie jest kanoniczny, gdyż zależy od wyboru bazy w . Jeżeli jest bazą uporządkowaną , zaś automorfizmem , to mamy

dla pewnych stałych . Macierz odpowiadająca składa się po prostu z wyrazów .

Podobnie grupa pierścienia może być interpretowana jako grupa automorfizmów wolnego -modułu o randze .

Wyznaczniki[edytuj]

Macierz jest odwracalna nad ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Stąd może być zdefiniowana jako grupa macierzy o niezerowym wyznaczniku.

Definicja dla pierścienia przemiennego jest nieco subtelniejsza: macierz nad jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest elementem odwracalnym w , tzn. jej wyznacznik jest odwracalny w . Stąd może być zdefiniowana jako grupa macierzy o wyznacznikach będących elementami odwracalnymi.

Rozważanie wyznaczników nad pierścieniem nieprzemiennym nie ma sensu. W tym przypadku grupa może być zdefiniowana jako grupa elementów odwracalnych .

Specjalna grupa liniowa[edytuj]

Specjalną grupą liniową stopnia nad ciałem nazywamy grupę liniową zawierającą wszystkie macierze kwadratowe stopnia o elementach z ciała , których wyznacznik jest równy jedności[1]. Specjalną grupę liniową oznacza się przez lub .

Uwagi[edytuj]

  • Macierze te tworzą grupę, gdyż wyznacznik iloczynu dwóch macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników, zatem jest ona zamknięta ze względu na to działanie.
  • Jeżeli lub (ogólnie jest ciałem lokalnym), to jest podgrupą Liego grupy wymiaru . Algebra Liego składa się ze wszystkich macierzy ze znikającym śladem. Nawias Liego jest dany przez jej komutator.
  • Specjalna grupa liniowa może być scharakteryzowana jako grupa przekształceń liniowych zachowujących objętość i orientację.

Rozmaitość algebraiczna[edytuj]

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

może być rozważana jako otwarta podrozmaitość przestrzeni afinicznej wymiaru nad .

Ciała skończone[edytuj]

Jeżeli jest ciałem skończonym o elementach, to zamiast piszemy czasami . Jeżeli jest liczbą pierwszą, to jest grupą automorfizmów zewnętrznych grupy , a zarazem grupą automorfizmów, ponieważ jest abelowa, zatem grupa automorfizmów wewnętrznych jest trywialna.

Rząd grupy[edytuj]

Rząd grupy wynosi

.

Można udowodnić ten fakt poprzez zliczanie możliwych kolumn macierzy: pierwsza może być dowolną poza wektorem zerowym, druga – dowolną z wyjątkiem wielokrotności pierwszej, wreszcie -ta kolumna może być dowolnym wektorem spoza powłoki liniowej pierwszych kolumn.

Przykładowo ma rząd równy . Jest to grupa automorfizmów płaszczyzny Fano oraz grupy .

Ogólniej, można policzyć punkty grassmannianianu nad , innymi słowy: liczbę podprzestrzeni danego wymiaru . Wymaga to jedynie znalezienia rzędu podgrupy izotropii jednej z takiej podprzestrzeni oraz podzielenia powyższego wzoru na podstawie twierdzenia o stabilizatorze.

Związek między tymi wzorami a liczbami Bettiego grassmannianów zespolonych, był jednym z tropów prowadzących do hipotezy Weila.

Analogiczny wzór dla to

.

Inne podgrupy[edytuj]

Podgrupy diagonalne[edytuj]

Zbiór wszystkich odwracalnych macierzy diagonalnych tworzy podgrupę , nazywaną podgrupą diagonalną, izomorficzną z . W ciałach takich jak , czy odpowiada ona skalowaniu przestrzeni; są to tzw. dylatacje i kontrakcje.

Macierz skalarna to macierz będąca iloczynem stałej oraz macierzy jednostkowej.

Grupy klasyczne[edytuj]

Tak zwane grupy klasyczne są podgrupami zachowującymi pewien rodzaj formy dwuliniowej w przestrzeni liniowej . Są to między innymi

Grupy te są ważnymi przykładami grup Liego.

Własności[edytuj]

  • Jeśli , to nie jest abelowa.
  • jest podgrupą normalną .
  • Niech będzie grupą multiplikatywną (złożoną z wszystkich elementów różnych od zera) ciała , wówczas wyznacznik jest homomorfizmem grup:
    .
  • Z definicji jądra wynika, że jądrem jest zbiór macierzy o wyznaczniku równym jedności, zatem .
  • Więcej, jest produktem półprostym .
  • Grupa , w przeciwieństwie do , jest jednospójna. Dodatkowo ma tę samą grupę podstawową co grupa addytywna , czyli dla oraz dla .
  • Zbiór wszystkich niezerowych macierzy skalarnych jest podgrupą izomorficzną z .
  • Grupa skalarna stanowi centrum , zatem jest ona normalna i przemienna.
  • Centrum to po prostu zbiór wszystkich macierzy z wyznacznikiem jednostkowym, podgrupa ta jest izomorficzna z grupą pierwiastków z jedynki -tego stopnia w ciele .

Podobne grupy[edytuj]

Projektywna grupa liniowa[edytuj]

Projektywna grupa liniowa oraz specjalna projektywna grupa liniowa grupami ilorazowymi oraz przez ich centra (które składają się z pewnych wielokrotności macierzy jednostkowej).

Grupa afiniczna[edytuj]

Grupa afiniczna jest rozszerzeniem o grupę przesunięć w . Zapisuje się ją jako produkt półprosty:

,

gdzie działa na w naturalny sposób. Grupa afiniczna może też być postrzegana jako grupa wszystkich przekształceń afinicznych przestrzeni afinicznej nad przestrzenią liniową .

Przypisy

Zobacz też[edytuj]