Rozmaitość symplektyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rozmaitość symplektyczna – rodzaj rozmaitości różniczkowalnej posiadającej zamkniętą niezdegenerowaną 2-formę różniczkową ω, zwaną formą symplektyczną.

Badaniem rozmaitości symplektycznych zajmuje się geometria symplektyczna zwana też topologią symplektyczną. Pojęcie rozmaitości symplektycznych pojawiło się najpierw pod pojęciem wiązki kostycznej na rozmaitości, gdy abstrakcyjnie przeformułowano mechanikę klasyczną (tworząc tzw. mechanikę analityczną, do której zalicza się mechanikę Lagrange'a oraz mechanikę Hamiltona). Np. w mechanice Hamiltona zbiór wszystkich możliwych konfiguracji układu tworzy rozmaitość, a wiązka kostyczna tej rozmaitości stanowi przestrzeń fazową układu.

Każda różniczkowalna funkcja o wartościach rzeczywistych H na rozmaitości symplektycznej może służyć jako funkcja energii zwana hamiltonianem. Przyporządkowana dowolnemu hamiltonianowi, stanowi pole wektorowe hamiltonianu; krzywe całkowe pola wektorowego hamiltonianu (tj. krzywe, wzdłuż których przemieszczałby się punkt, umieszczony w tym polu) są rozwiązaniami równań Hamiltona. Hamiltonowskie pole wektorowe definiuje przepływ na rozmaitości symplektycznej, zwany przepływem hamiltonowskim, lub symplektomorfizmem. Zgodnie z twierdzeniem Liouville’a przepływ hamiltonowski zachowuje formę objętościową przestrzeni fazowej.

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Rozmaitości symplektyczne wyłaniają się z mechaniki klasycznej. W szczególności są one uogólnieniem przestrzeni fazowej w układzie zamkniętym[1]. Równania Hamiltona, stanowiące układ równań różniczkowych, pozwalają znaleźć równania opisujące zależność położenia układu od czasu; forma symplektyczna pozwala otrzymać pole wektorowe, opisującego przepływ układu, z pochodnej dH funkcji hamiltonowskij H. Ponieważ zasady dynamiki Newtona są liniowymi równaniami różniczkowymi, takie mapowanie również powinno być liniowe[2]. Potrzebujemy więc liniowego mapowania TM → T* M, lub, ekwiwalentnie, elementu T* MT* M. Gdy damy ω na oznaczenie przekroju T* MT* M, warunek niezdegenerowania ω upewnia nas, że dla każdej pochodnej dH istnieje unikalne pole wektorowe, VH, takie, że dH = ω(VH,· ). Ponieważ chcemy, aby hamiltonian był stały wzdłuż całej ścieżki przepływu, powinniśmy mieć dH(VH) = ω(VH, VH) = 0, co oznacza, że ω jest formą zmienną, a co za tym idzie - 2-formą. W końcu, żądamy, aby ω nie zmieniało się pod liniami przepływu, czyli, żeby pochodna Liego omegi po VH była zerowa. Stosując wzór Cartana, otrzymujemy

co jest równoważne temu, że ω powinno być zamknięte.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Forma symplektyczna rozmaitości M jest zamkniętą, niezdegenerowaną 2-formą różniczkową ω[3][4]. W tym wypadku, określenie „niezdegenerowana” oznacza, że dla każdego pM jeśli istnieje XTpM takie, że ω(X,Y) = 0 dla każdego YTpM, wówczas X = 0. Warunek macierzy antysymetrycznej (wchodzący w skład definicji różniczkowej 2-formy) oznacza, że dla każdego pM mamy ω(X,Y) = −ω(Y,X) dla każdego X,YTpM. W wymiarach nieparzystych, macierze antysymetryczne nie są odwracalne. Ponieważ ω jest różniczkowalną dwu-formą, warunek antysymetryczności implikuje, że M ma parzystą liczbę wymiarów[3][4]. Warunek zamkniętości oznacza, że należąca do ω różniczka zewnętrzna formy zanika, dω = 0. Rozmaitość symplektyczna zawiera parę (M, ω), złożoną z rozmaitości M oraz formy symplektycznej ω. Przyporządkowanie formy symplektycznej ω do rozmaitości M oznacza, że dajemy M strukturę symplektyczną.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Ben Webster: What is a symplectic manifold, really?.
  2. Henry Cohn: Why symplectic geometry is the natural setting for classical mechanics.
  3. a b Maurice de Gosson: Symplectic Geometry and Quantum Mechanics. Birkhäuser Verlag, 2006, s. 10. ISBN 3-7643-7574-4.
  4. a b V. I. Arnold, A. N. Varchenko, S. M. Gusein-Zade: The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps. T. 1. Birkhäuser, 1985. ISBN 0-8176-3187-9.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]