Forma dwuliniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowy – w algebrze liniowej przekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym).

Teoria form dwuliniowych znajduje zastosowanie w wielu działach matematyki: w analizie wielowymiarowej formą dwuliniową jest druga pochodna w przestrzeni euklidesowej − przy odpowiednich założeniach (twierdzenie Clairaut bądź Schwarza) jest ona symetryczna (a jej macierzą w ustalonej bazie jest macierz Hessego); w rachunku wariacyjnym określoność tej formy dwuliniowej mówi o kształcie hiperpowierzchni (ekstremum, siodło) wokół punktu krytycznego danej formy (funkcjonału); w geometrii rzutowej formy dwuliniowe służą ustaleniu dualności i umożliwiają zdefiniowanie kolineacji, a przede wszystkim korelacji (konstrukcja dopełnienia ortogonalnego dla niezdegenerowanej formy dwuliniowej stanowi jej uogólnienie), dodanie warunku inwolutywności korelacji pozwala na badanie biegunowości; w analizie funkcjonalnej ograniczone i eliptyczne (koercywne) formy dwuliniowe na przestrzeni Hilberta występujące w twierdzeniu Laxa-Milgrama mówią o jednoznaczności słabych rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych (z różnymi zagadnieniami brzegowymi), w tym równania Poissona pojawiającego się w m.in. elektrostatyce, czy innych problemach mechaniki ośrodków ciągłych; rzeczywiste przestrzenie liniowe wyposażone w niezdegenerowane dwuliniowe formy alternujące są lokalnymi modelami dla przestrzeni fazowych w mechanice hamiltonowskiej. Dodatnio określone, symetryczne formy dwuliniowe odgrywają istotną rolę w analizie (rzeczywiste przestrzenie Hilberta) jak i w geometrii (rozmaitości riemannowskie); niezdegenerowane symetryczne formy dwuliniowe pojawiają się w teoria względności, gdzie bada się przestrzenie pseudoeuklidesowe (zob. ostatni przykład).

Artykuł traktuje o formach, której argumenty należą do jednej przestrzeni; formy określone na dowolnej ich parze opisano w artykule o parze dualnej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle V będzie przestrzenią liniową nad ciałem \scriptstyle K. Przekształcenie \scriptstyle B\colon V \times V \to K nazywa się formą dwuliniową albo funkcjonałem dwuliniowym na \scriptstyle V, jeżeli jest:

  • liniowe ze względu na pierwszą zmienną, tzn. addytywne i jednorodne względem pierwszego argumentu,
    B(\mathbf x + \mathbf y, \mathbf z) = B(\mathbf x, \mathbf z) + B(\mathbf y, \mathbf z) \quad\mbox{ oraz }\quad B(c\mathbf x, \mathbf y) = cB(\mathbf x, \mathbf y),
  • liniowe ze względu na drugą ze zmiennych, tzn. addytywne i jednorodne względem drugiej współrzędnej,
    B(\mathbf x, \mathbf y + \mathbf z) = B(\mathbf x, \mathbf y) + B(\mathbf x, \mathbf z) \quad\mbox{ oraz }\quad B(\mathbf x, c\mathbf y) = cB(\mathbf x, \mathbf y).

Na formę dwuliniową \scriptstyle B można nałożyć dodatkowe warunki:

  • refleksywności,
    B(\mathbf x, \mathbf y) = 0 \Leftrightarrow B(\mathbf y, \mathbf x) = 0,
  • alternacyjności,
    B(\mathbf x, \mathbf x) = 0,
  • symetryczności,
    B(\mathbf x, \mathbf y) = B(\mathbf y, \mathbf x),
  • antysymetryczności (lub symplektyczności),
    B(\mathbf x, \mathbf y) = -B(\mathbf y, \mathbf x).

Forma dwuliniowa jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna albo alternująca[1]. Dodatkowo dwuliniowa forma antysymetryczna to inna nazwa dwuliniowej formy symetrycznej lub alternującej: alternacyjność pociąga antysymetryczność w ciele dowolnej charakterystyki[2]; z drugiej strony w ciele charakterystyki różnej od 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest alternująca, a w ciele charakterystyki 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna[3]. Choć w przypadku ciała liczb rzeczywistych pojęcia alternacyjności i antysymetryczności pokrywają się, to w tym kontekście nazwa „antysymetryczna” jest nadal żywa, dodatkowo pojęcia te rozważa się także w modułach nad pierścieniami, gdzie żadne z nich nie musi pociągać pozostałych[4].

Własności[edytuj | edytuj kod]

W ciele charakterystyki różnej od 2 każdą formę dwuliniową \scriptstyle B można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy \scriptstyle B_\mathrm s + B_\mathrm a formy symetrycznej \scriptstyle B_\mathrm s i formy alternującej (antysymetrycznej) \scriptstyle B_\mathrm a[5]; w przypadku ciała charakterystyki 2 alternujące formy dwuliniowe są podzbiorem symetrycznych form dwuliniowych[6] W ciele charakterystyki różnej od 2 symetryczna forma dwuliniowa \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) wyznaczona jest całkowicie przez wartości \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf x) „na przekątnej”[7] – własność tę nazywa się polaryzacją (w szczególności \scriptstyle B \equiv 0 \Leftrightarrow B(\mathbf x, \mathbf x) = 0). Oznacza to, że badanie tego rodzaju form dwuliniowych sprowadza się do badania form kwadratowych.

Z formą dwuliniową \scriptstyle B można związać dwa przekształcenia liniowe \scriptstyle B_\mathrm L, B_\mathrm R z przestrzeni \scriptstyle V w przestrzeń dualną \scriptstyle V^* dane wzorami

B_\mathrm L(\mathbf x)(\mathbf y) = B(\mathbf x, \mathbf y) \quad\mbox{ oraz }\quad B_\mathrm R(\mathbf y)(\mathbf x) = B(\mathbf x, \mathbf y),

oznaczane często odpowiednio \scriptstyle B(\mathbf x, \cdot) oraz \scriptstyle B(\cdot, \mathbf y), gdzie kropka oznacza miejsce przyłożenia argumentu dla powstałej formy liniowej (por. currying w rachunku lambda).

Przekształcenie \scriptstyle B_\mathrm R jest transpozycją (sprzężeniem) \scriptstyle B_\mathrm L na obrazie \scriptstyle V w drugiej przestrzeni dualnej \scriptstyle V^{**} (i na odwrót). Jeżeli \scriptstyle V jest skończeniewymiarowa, to istnieje naturalny izomorfizm między \scriptstyle V, a jej drugą dualną \scriptstyle V^{**}, dzięki czemu \scriptstyle B_\mathrm R można uważać za transpozycję \scriptstyle B_\mathrm L na \scriptstyle V. W ten sposób dla danej formy dwuliniowej \scriptstyle B można zdefiniować jej transpozycję (sprzężenie) \scriptstyle B^* wzorem

B^*(\mathbf x, \mathbf y) = B(\mathbf y, \mathbf x).

Rząd \scriptstyle B_\mathrm L jest równy rzędowi \scriptstyle B_\mathrm R; nazywa się go rzędem formy dwuliniowej \scriptstyle B. Jeśli rząd tych przekształceń jest pełny (tzn. równy wymiarowi przestrzeni), to \scriptstyle B_\mathrm L i \scriptstyle B_\mathrm R są izomorfizmami liniowymi \scriptstyle V \to V^*. Wówczas formę dwuliniową \scriptstyle B nazywa się niezdegenerowaną lub nieosobliwą (w przeciwnym przypadku nazywa się ją zdegenerowaną lub osobliwą); podobnie nazywa się wtedy samą przestrzeń dwuliniową \scriptstyle (V, B). Gdy \scriptstyle V jest skończeniewymiarowa, na mocy twierdzenia o rzędzie jest to równoważne trywialności jądra \scriptstyle B_\mathrm L. Wówczas \scriptstyle B jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich \scriptstyle \mathbf y zachodzi

B(\mathbf x, \mathbf y) = 0 \Rightarrow \mathbf x = \mathbf 0,

bądź (na mocy kontrapozycji) gdy dla każdego niezerowego wektora \scriptstyle \mathbf x istnieje taki wektor \scriptstyle \mathbf y, dla którego \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) \ne 0. Własność tę przyjmuje się często jako definicję niezdegenerowania w przypadku przestrzeni skończonego wymiaru[8].

Dla dowolnego przekształcenia \scriptstyle \mathrm A\colon V \to V^* wzór

B(\mathbf x, \mathbf y) = \mathrm A(\mathbf x)(\mathbf y).

definiuje formę dwuliniową \scriptstyle B na przestrzeni \scriptstyle V. Jest ona niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle \mathrm A jest izomorfizmem.

Formy dwuliniowe \scriptstyle B_1 oraz \scriptstyle B_2 określone odpowiednio na \scriptstyle V_1 i \scriptstyle V_2 nazywa się równoważnymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm \scriptstyle \mathrm C\colon V_1 \to V_2, który spełniałby

B_2\bigl(\mathrm C(\mathbf x), \mathrm C(\mathbf y)\bigr) = B_1(\mathbf x, \mathbf y).

Zapisanie obu form dwuliniowych we współrzędnych oznacza przejście do przestrzeni współrzędnych; powyższa definicja mówi wtedy, że za równoważne uważa się te formy dwuliniowe, dla których istnieje liniowa zamiana zmiennych między ich przedstawieniami (w przypadku form symetrycznych wystarczy zadbać o przejście wartości „na przekątnych”; zob. kolejną sekcję).

Przestrzeń liniową \scriptstyle V z formą dwuliniową \scriptstyle B tworzy przestrzeń dwuliniową \scriptstyle (V, B); przestrzeń liniowa z symetryczną formą dwuliniową (tzw. „uogólnionym iloczynem skalarnym”) nazywa się przestrzenią ortogonalną, jeśli jest ona dodatkowo niezdegenerowana, to nazywa się ją przestrzenią unitarną; zaś przestrzeń z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą to przestrzeń symplektyczna. Z kolei dwie przestrzenie liniowe związane (zwykle niezdegenerowaną) formą dwuliniową tworzą parę dwoistą.

Macierz formy[edytuj | edytuj kod]

W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru \scriptstyle n powyższe własności można przetłumaczyć na język macierzy. Ustalenie bazy \scriptstyle E = \{\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n\} w \scriptstyle V oznacza wybranie izomorfizmu \scriptstyle V \to K^n odwzorowującego wektor \scriptstyle \mathbf x w wektor współrzędnych \scriptstyle \mathbf x_E, którego współrzędne można zapisać w macierzy jednokolumnowej (tzw. wektorze kolumnowym) \scriptstyle \mathbf X. Dzięki temu w zupełnie analogiczny sposób jak ma to miejsce dla przekształceń liniowych i ich macierzy działanie formy dwuliniowej \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) można zapisać w standardowej notacji macierzowej jako \scriptstyle \mathbf X \cdot \mathbf{BY} = \mathbf X^\mathrm T \mathbf{BY}, gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny przestrzeni współrzędnych \scriptstyle K^n. Macierz kwadratową

\mathbf B = \bigl[B(\mathbf e_i, \mathbf e_j)\bigr]_{ij}

stopnia \scriptstyle n nazywa się wtedy macierzą formy dwuliniowej (macierzą funkcjonału dwuliniowego) \scriptstyle B w bazie \scriptstyle E (w przypadku przestrzeni unitarnej jest to odpowiednik macierzy Grama iloczynu skalarnego wyrażonego w tej bazie)[9]. Jest ona macierzą przekształcenia \scriptstyle B_\mathrm R przy czym wybór ten jest arbitralny: macierz \scriptstyle \mathbf B jest macierzą \scriptstyle B_\mathrm L przy wyborze działania \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) = \mathbf{BX} \cdot \mathbf Y = (\mathbf{BX})^\mathrm T \mathbf Y. Przekształceń \scriptstyle B_\mathrm L, B_\mathrm R\colon V \to V^*, w przeciwieństwie do ich macierzy, nie można składać − podejście tłumaczące wynik złożenia macierzy na przekształcenia, a przy tym niewyróżniające żadnego z nich opisano dalej.

W przestrzeni z ustaloną bazą równoważność przedstawień (macierzy) form dwuliniowych wyraża się następująco: jeśli \scriptstyle E, F są dwiema bazami \scriptstyle V, to macierze \scriptstyle \mathbf B_E i \scriptstyle \mathbf B_F przekształcenia dwuliniowego \scriptstyle Bprzystające, tzn.

\mathbf B_F = \mathbf C^\mathrm T \mathbf B_E \mathbf C,

gdzie \scriptstyle \mathbf C oznacza macierz zamiany współrzędnych \scriptstyle \mathrm M(\mathrm{id})_E^F od \scriptstyle E do \scriptstyle F. Ogólniej: macierze \scriptstyle \mathbf A i \scriptstyle \mathbf B są przystające, tzn.

\mathbf B = \mathbf C^\mathrm T \mathbf A \mathbf C,

dla pewnej macierzy odwracalnej \scriptstyle \mathbf C, gdy są macierzami tej samej formy dwuliniowej.

Wprost z definicji wynika, że forma dwuliniowa jest symetryczna bądź antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest macierz symetryczna bądź antysymetryczna. Forma dwuliniowa jest alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest antysymetryczna i wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe zeru (co wynika z antysymetryczności dla ciał o charakterystyce różnej od 2).

Jeśli macierz \scriptstyle \mathbf B formy dwuliniowej \scriptstyle B jest nieosobliwa (odwracalna), to samą formę \scriptstyle B nazywa się niezdegenerowaną lub także nieosobliwą (podobnie mówi się wtedy o samej przestrzeni \scriptstyle (V, B)); w przeciwnym przypadku formę (lub przestrzeń dwuliniową) nazywa się zdegenerowaną lub osobliwą. Rzędem formy dwuliniowej \scriptstyle B bądź przestrzeni \scriptstyle (V, B) nazywa się rząd macierzy \scriptstyle \mathbf B tej formy (jest on dobrze określony, gdyż nie zależy od wyboru bazy ze względu na fakt, iż macierze przystające mają równe rzędy).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

\sum_{i,j=1}^n x_i y_j b_{ij},
gdzie \scriptstyle b_{ij} = B(\mathbf e_i, \mathbf e_j).
  • Jeśli x_0 jest ustalonym punktem przestrzeni liniowej \scriptstyle X^* form (funkcjonałów) na \scriptstyle X, to wzór
B(f, g) = f(x_0) g(x_0)
zadaje formę dwuliniową na tej przestrzeni.
  • Jeśli \scriptstyle (V, B) jest przestrzenią dwuliniową, zaś \scriptstyle W jest podprzestrzenią \scriptstyle V, to zawężenie \scriptstyle B do \scriptstyle W daje podprzestrzeń dwuliniową \scriptstyle (W, B|_W), oznaczaną też po prostu \scriptstyle (W, B) (konstrukcję tę można również przeprowadzić za pomocą przestrzeni ilorazowej); podprzestrzeń dziedziczy własności refleksywności, alternacyjności, symetryczności i antysymetryczności z przestrzeni wyjściowej, lecz niekoniecznie jej niezdegenerowania[10]; jeśli \scriptstyle K = \mathbb R, zaś \scriptstyle B jest dodatnio określona (tzn. \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf x) > 0 dla dowolnego \scriptstyle \mathbf x \ne 0), to własność ta zachodzi dla dowolnej niezerowej podprzestrzeni \scriptstyle W \subseteq V, skąd \scriptstyle B|_W jest również dodatnio określona, a zatem niezdegenerowana.
  • Jeżeli \scriptstyle (V_1, B_1) i \scriptstyle (V_2, B_2) są przestrzeniami dwuliniowymi na tym samym ciałem, to suma prosta \scriptstyle V_1 \oplus V_2 wraz z formą dwuliniową \scriptstyle (B_1 \oplus B_2)((\mathbf x_1, \mathbf x_2), (\mathbf y_1, \mathbf y_2)) = B_1(\mathbf x_1, \mathbf y_1) + B_2(\mathbf x_2, \mathbf y_2) staje się podprzestrzenią dwuliniową; jeśli obie formy \scriptstyle B_1 oraz \scriptstyle B_2 są jednocześnie symetryczne, alternujące, antysymetryczne bądź refleksywne, to \scriptstyle B_1 \oplus B_2 również ma tę samą własność. Konstrukcję tę nazywa się ortogonalną sumą prostą przestrzeni \scriptstyle V_1 oraz \scriptstyle V_2.[11]
  • Jeśli \scriptstyle \mathrm C[a, b] oznacza przestrzeń liniową funkcji ciągłych \scriptstyle [a, b] \to \mathbb R, to funkcja \scriptstyle \mathrm I\colon \mathrm C[a,b] \times \mathrm C[a,b] \to \mathbb R dana wzorem
\mathrm I(f, g) = \int\limits_a^b f(x) g(x)\ \mathrm dx
definiuje zdegenerowaną formę dwuliniową na tej przestrzeni: nie jest ona surjektywna, gdyż np. forma delta Diraca należy do jej przestrzeni sprzężonej (topologicznie), ale nie ma wymaganej postaci; z drugiej strony forma \scriptstyle \mathrm I spełnia skończeniewymiarową definicję niezdegenerowania.
  • Każdy iloczyn skalarny na przestrzeni unitarnej jest niezdegenerowaną formą dwuliniową, gdyż jego macierz w dowolnej bazie (macierz Grama) jest odwracalna: wyznacznik układu liniowo niezależnego jest różny od zera bądź wynika to wprost z dodatniej określoności iloczynu skalarnego. Z definicji jest on także symetryczny.
  • Niech dla przestrzeni \scriptstyle \mathbb R^n dobrane będą nieujemne liczby całkowite \scriptstyle p, q spełniające \scriptstyle p + q = n. Wzór
\langle \mathbf x, \mathbf y \rangle = x_1 y_1 + \dots + x_p y_p - x_{p+1} y_{p+1} - \dots - x_n y_n,
gdzie \scriptstyle \mathbf x = (x_1, \dots, x_n) oraz \scriptstyle \mathbf y = (y_1, \dots, y_n), dany jest w notacji macierzowej jako
\langle \mathbf x, \mathbf y \rangle = \mathbf X \begin{bmatrix} \mathbf I_p & \boldsymbol\Theta \\ \boldsymbol\Theta & -\mathbf I_q\end{bmatrix}\mathbf Y,
gdzie \scriptstyle \mathbf X = [x_1\ \dots\ x_n] oraz \scriptstyle \mathbf Y = [y_1\ \dots\ y_n]^\mathrm T, zaś \scriptstyle \mathbf I_k oznacza kwadratową podmacierz jednostkową stopnia \scriptstyle k, a \scriptstyle \boldsymbol\Theta oznacza podmacierz zerową, definiuje formę dwuliniową, która czyni z przestrzeni euklidesowej \scriptstyle \mathbb R^n tzw. przestrzeń pseudoeuklidesową \scriptstyle \mathbb R^{p,q}. Przypadki \scriptstyle \mathbb R^{1,3} oraz \scriptstyle \mathbb R^{3,1} to modele przestrzeni Minkowskiego[12]. Z twierdzenia Sylvestera o bezwładności form kwadratowych wynika, że każda niezdegenerowana (rezygnując z nieosobliwości dopuszcza się zera na przekątnej), symetryczna forma dwuliniowa ma w pewnej bazie (przestrzeni liniowej nad ciałem charakterystyki różnej od 2) powyższą postać.

Ortogonalność[edytuj | edytuj kod]

Za pomocą formy dwuliniowej można wprowadzić pojęcie (uogólnionej) ortogonalności: wektory \scriptstyle \mathbf x i \scriptstyle \mathbf y są ortogonalne, co zapisuje się \scriptstyle \mathbf x \perp \mathbf y, względem dwuliniowej formy \scriptstyle B wtedy i tylko wtedy, gdy

B(\mathbf x, \mathbf y) = 0.

Dla podprzestrzeni \scriptstyle W oraz wektora \scriptstyle \mathbf x przestrzeni \scriptstyle V pisze się \scriptstyle \mathbf x \perp W, jeżeli \scriptstyle \mathbf x \perp \mathbf y dla wszystkich \scriptstyle \mathbf w z przestrzeni \scriptstyle W; podobnie \scriptstyle W \perp \mathbf x oraz \scriptstyle U \perp W, gdzie \scriptstyle U jest pewną podprzestrzenią liniową (definicje te rozszerza się często na dowolne podzbiory). Relacja \scriptstyle \mathbf x \perp \mathbf y nie musi pociągać, ani być pociągana przez \scriptstyle \mathbf y \perp \mathbf x. Najważniejszymi formami dwuliniowymi są te, dla których relacja \scriptstyle \perp jest symetryczna, tzn.

\mathbf x \perp \mathbf y \Leftrightarrow \mathbf y \perp \mathbf x,

co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy forma ją definiująca jest refleksywna (tzn. symetryczna bądź alternująca[1]). Wówczas dla dowolnej podprzestrzeni \scriptstyle W można zdefiniować zbiór

W^\perp = \{\mathbf x\colon \mathbf x \perp \mathbf y \mathrm{\;dla\; ka\dot zdego\;} \mathbf y \in W\}[13]

tworzący przestrzeń liniową (gdyż jest to jądro \scriptstyle B_\mathrm L, bądź \scriptstyle B_\mathrm R na mocy symetryczności) nazywaną dalej podprzestrzenią ortogonalną do \scriptstyle W[14]; w literaturze częściej spotyka się nazwę „dopełnienie ortogonalne”, choć w ogólnym przypadku wcale nie musi być dopełnieniem, gdyż może się zdarzyć, iż \scriptstyle W + W^\perp \ne V. Wektory należące do tej części wspólnej (tzw. podprzestrzeni izotropowej), tzn. wektory \scriptstyle \mathbf x spełniające \scriptstyle \mathbf x \perp \mathbf x (prostopadłe do samych siebie), nazywa się izotropowymi; wektory niespełniające tego warunku nazywane są czasem nieizotropowymi bądź anizotropowymi. Zachodzi wzór \scriptstyle \dim W + \dim W^\perp = \dim V[15]. Podprzestrzeń ortogonalna jest trywialna (czyli dana przestrzeń nie ma niezerowych wektorów izotropowych), tzn. przestrzeń \scriptstyle V jest sumą prostą \scriptstyle W \oplus W^\perp, wtedy i tylko wtedy, gdy forma dwuliniowa jest niezdegenerowana (jedynym anizotropowym wektorem przestrzeni unitarnej jest zero, gdyż dodatnia określoność iloczynu skalarnego pociąga jego niezdegenerowanie, zob. przedostatni przykład). Wówczas dla dowolnych podprzestrzeni \scriptstyle W_1, W_2 przestrzeni \scriptstyle V jest \scriptstyle (W_1 + W_2)^\perp = W_1^\perp \cap W_2^\perp oraz \scriptstyle (W_1 \cap W_2)^\perp = W_1^\perp + W_2^\perp i zachodzi również \scriptstyle \left(W^\perp\right)^\perp = W, zaś podprzestrzeń \scriptstyle W jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle W^\perp jest niezdegenerowana. Warunki \scriptstyle V = W \oplus W^\perp oraz \scriptstyle \dim V = \dim W + \dim W^\perp nie są równoważne – pierwszy pociąga drugi, lecz implikacja odwrotna jest fałszywa: podprzestrzenie \scriptstyle W i \scriptstyle W^\perp mogą mieć nietrywialne przecięcie, choć suma ich wymiarów może uzupełniać się do wymiaru przestrzeni[16]; zgodnie z powyższymi obserwacjami wspomniana równość dotycząca wymiarów jest prawdziwa, gdy \scriptstyle V jest niezdegenerowana, a \scriptstyle W jest dowolna albo gdy \scriptstyle V jest dowolna, a \scriptstyle W jest niezdegenerowana.

Układ \scriptstyle (\mathbf x_i)_i wektorów przestrzeni \scriptstyle V nazywa się ortogonalnym, jeżeli dla dowolnych \scriptstyle i \ne j zachodzi \scriptstyle \mathbf x_i \perp \mathbf x_j. Dowolny układ ortogonalny wektorów anizotropowych jest liniowo niezależny[17]. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru wyposażonej w symetryczną formę dwuliniową jej bazę nazywa się ortogonalną, jeżeli tworzy ona układ ortogonalny; niech \scriptstyle \{\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n\} oznacza bazę ortogonalną przestrzeni \scriptstyle V. Geometrycznie stanowi ona rozkład \scriptstyle V na ortogonalną sumę prostą \scriptstyle W_1 \oplus \dots \oplus W_n prostych \scriptstyle W_i = K\mathbf e_i. Pojęcie bazy ortonormalnej, czyli takiej bazy ortogonalnej, dla której \scriptstyle B(\mathbf e_i, \mathbf e_i) = 1 (znanej z przestrzeni euklidesowych) nie znajduje właściwie zastosowań w ogólnej sytuacji, gdyż może ona po prostu nie istnieć[18]. Każda skończeniewymiarowa przestrzeń ortogonalna nad ciałem charakterystyki różnej od 2 ma bazę ortogonalną (wynika stąd, że każda macierz symetryczna przystaje do macierzy diagonalnej, zob. ostatni przykład; ponadto \scriptstyle V jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle \mathbf e_i \not\perp \mathbf e_i dla każdego \scriptstyle i[19], tzn. wektor anizotropowy nie może być elementem bazy ortogonalnej przestrzeni). Obserwacja ta, czasem formułowana z wykorzystaniem formy kwadratowej zamiast symetrycznej formy dwuliniowej, nazywana jest niekiedy twierdzeniem Lagrange'a.

Jeśli podprzestrzeń ortogonalna przestrzeni nad ciałem charakterystyki różnej od 2 jest trywialna, to przekształcenie \scriptstyle \mathrm O\colon \mathrm{PG}(V) \to \mathrm{PG}(V) dane wzorem \scriptstyle W \mapsto W^\perp, gdzie \scriptstyle \mathrm{PG}(V) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów przestrzeni \scriptstyle V tworzący przestrzeń rzutową, nazywa się biegunowością ortogonalną na przestrzeni \scriptstyle \mathrm{PG}(W). W ten sposób powstają wszystkie biegunowości ortogonalne, a dwie symetryczne formy dwuliniowe indukują tę samą biegunowość wtedy i tylko wtedy, gdy są równe co do mnożenia przez skalar.

Symplektyczność[edytuj | edytuj kod]

Zamieniając warunek symetryczności formy dwuliniowej na alternacyjność można wprowadzić analogon baz ortogonalnych w postaci tzw. baz symplektycznych. Niech dana będzie przestrzeń \scriptstyle (V, B) z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą. Wówczas jej wymiar \scriptstyle \dim V = 2m jest dodatnią liczbą parzystą. Bazą symplektyczną przestrzeni \scriptstyle V nazywa się układ wektorów \scriptstyle \mathbf e_1, \mathbf f_1, \dots, \mathbf e_m, \mathbf f_m, który spełnia \scriptstyle B(\mathbf e_i, \mathbf f_i) = 1 oraz dla której płaszczyzny \scriptstyle \langle \mathbf e_i \rangle + \langle \mathbf f_i \rangle są ortogonalne. Ponadto z alternacyjności wynika \scriptstyle B(\mathbf f_i, \mathbf e_i) = -1. Dowolne dwie przestrzenie z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą są równoważne; w szczególności w przestrzeni ustalonego parzystego wymiaru istnieje tylko jedna niezdegenerowana, alternująca forma dwuliniowa. Formę dwuliniową na \scriptstyle K^{2m}, która ma w bazie standardowej \scriptstyle \mathbf e_1, \mathbf f_1, \dots, \mathbf e_m, \mathbf f_m macierz złożoną z klatek postaci \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\right][20] na głównej przekątnej i podmacierzy zerowych \scriptstyle \boldsymbol \Theta w pozostałych miejscach, nazywa się standardową formą alternującą bądź formą objętości na tej przestrzeni. W bazie Darboux \scriptstyle \mathbf e_1, \dots, \mathbf e_m, \mathbf f_1, \dots, \mathbf f_m ma ona postać

\mathbf B = \begin{bmatrix} \boldsymbol \Theta & \mathbf I_m \\ \mathbf{-I}_m & \boldsymbol \Theta \end{bmatrix},

gdzie \scriptstyle \mathbf I_m jest podmacierzą jednostkową stopnia \scriptstyle m.

Jak wspomniano wyżej, pojęcie podprzestrzeni ortogonalnej można również zdefiniować dla form alternujących; podprzestrzeń \scriptstyle W nazywa się

  • symplektyczną, jeżeli \scriptstyle W^\perp \cap W = \{\mathbf 0\}, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle B zawężona do \scriptstyle W jest niezdegenerowana.
  • izotropową, jeśli \scriptstyle W \subseteq W^\perp, co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle B zawężona do \scriptstyle W jest tożsamościowo równa zeru (każda podprzedstrzeń jednowymiarowa jest izotropowa).
  • koizotropową, gdy \scriptstyle W^\perp \subseteq W, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle B przeniesiona na przestrzeń ilorazową \scriptstyle W/W^\perp jest niezdegenerowana, co jest równoważne izotropowości \scriptstyle W^\perp (każda podprzestrzeń kowymiaru 1 jest koizotropowa).
  • Lagrange'a, jeżeli \scriptstyle W = W^\perp, tzn. gdy jest zarazem izotropowa i koizotropowa; w przestrzeniach skończonego wymiaru podprzestrzenie te mają wymiar równy połowie wymiaru \scriptstyle V; każdą podprzestrzeń izotropową można rozszerzyć tak, by była Lagrange'a (zob. grassmannian Lagrange'a).

Wyznacznik dowolnej nieosobliwej macierzy alternującej (antysymetrycznej) \scriptstyle \mathbf M nad ciałem \scriptstyle K jest kwadratem pewnej liczby z \scriptstyle K[21], nazywa się go pfaffianem \scriptstyle \mathrm{Pf}(\mathbf M) tej macierzy – jest to zatem uniwersalna konstrukcja pierwiastka wyznacznika odwracalnych macierzy alternujących (z dokładnością do znaku[22]). Dla dowolnych macierzy kwadratowych \scriptstyle \mathbf M i \scriptstyle \mathbf C parzystego stopnia \scriptstyle n zachodzi ponadto

\mathrm{Pf}\left(\mathbf C^\mathrm T \mathbf{MC}\right) = \det \mathbf C\ \mathrm{Pf}\,\mathbf M,

gdzie \scriptstyle \mathbf M jest macierzą alternującą[23]. Dodatkowo \scriptstyle \mathrm{Pf}\left(\mathbf M^\mathrm T\right) = (-1)^{n/2} \mathrm{Pf}\,\mathbf M. Jeżeli \scriptstyle \mathbf M jest nieodwracalna, to \scriptstyle \mathrm{Pf}\,\mathbf M = 0; jeśli \scriptstyle \mathbf C jest macierzą zamiany współrzędnych do bazy standardowej odwracalnej macierzy \scriptstyle \mathbf M (tzn. \scriptstyle \mathbf M i \scriptstyle \mathbf C są takimi macierzami odwracalnymi, że \scriptstyle \mathbf C^\mathrm T \mathbf{MC} jest standardową formą alternującą na przestrzeni), to \scriptstyle \mathrm{Pf}\,\mathbf M = 1/\det \mathbf C.

Iloczyny tensorowe[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: iloczyn tensorowy.

O formach dwuliniowych na przestrzeni liniowej można myśleć jak o przekształceniach liniowych danej przestrzeni w przestrzeń dualną, co opisano w sekcji o macierzy formy; konstrukcja iloczynu tensorowego umożliwia traktowanie form dwuliniowych jako przekształceń liniowych: na mocy własności uniwersalnej iloczynu tensorowego forma dwuliniowa \scriptstyle B na przestrzeni liniowej \scriptstyle V nad ciałem \scriptstyle K pozostaje we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z formą liniową \scriptstyle V \otimes_K V \to K daną wzorem

\mathbf x \otimes \mathbf y \mapsto B(\mathbf x, \mathbf y).

Z definicji formy liniowe tworzą przestrzeń dualną; w ten sposób przestrzeń \scriptstyle \mathrm{Bil}(V) form dwuliniowych na \scriptstyle V jest naturalnie izomorficzna z \scriptstyle (V \otimes_K V)^*, którą można z kolei w naturalny sposób utożsamiać z \scriptstyle V^* \otimes V^* = \left(V^*\right)^{\otimes 2} poprzez odwzorowanie \scriptstyle (\varphi \otimes \psi)(\mathbf x \otimes \mathbf y) = \varphi(\mathbf x) \psi(\mathbf y). Spojrzenie to tłumaczy zatem, złożeniem których przekształceń liniowych jest mnożenie macierzy form dwuliniowych.

Niech \scriptstyle \mathrm{Hom}_K(V, W) oznacza przestrzeń liniową przekształceń liniowych \scriptstyle V \to W. Przekształceniu dwuliniowemu \scriptstyle V \times W \to U, gdzie \scriptstyle U, V, W są dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem \scriptstyle K odpowiada przekształcenie liniowe \scriptstyle V \otimes_K W \to U, przy czym zachodzą następujące izomorfizmy naturalne:

\mathrm{Hom}_K(V \otimes_K W, U) \simeq \mathrm{Hom}_K\bigl(V, \mathrm{Hom}_K(W, U)\bigr)

oraz

\mathrm{Hom}_K(V \otimes_K W, U) \simeq \mathrm{Hom}_K\bigl(W, \mathrm{Hom}_K(V, U)\bigr).

Pierwszy z nich przekształca \scriptstyle \mathrm A \in \mathrm{Hom}_K(V \otimes_K W, U) w \scriptstyle \mathbf x \mapsto [\mathbf y \mapsto \mathrm A(\mathbf x \otimes \mathbf y)], drugi zaś w \scriptstyle \mathbf y \mapsto [\mathbf x \mapsto \mathrm A(\mathbf x \otimes \mathbf y)]. Jeśli \scriptstyle V = W, a \scriptstyle U = K (ciało taktowane jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa nad sobą), to stają się one dwoma różnymi izomorfizmami \scriptstyle (V \otimes_K V)^* na \scriptstyle \mathrm{Hom}_K(V, V^*), mianowicie \scriptstyle B \mapsto B_\mathrm L oraz \scriptstyle B \mapsto B_\mathrm R.

Dwie szczególne klasy form dwuliniowych, formy symetryczne oraz alternujące, można opisać w języku potęg symetrycznej i zewnętrznej. Forma symetryczna postrzegana jako forma liniowa \scriptstyle V \otimes_K V \to K jest symetryczna, jeżeli znikają dla niej wszystkie tensory postaci \scriptstyle \mathbf x \otimes \mathbf y - \mathbf y \otimes \mathbf x i alternująca, jeśli znikają dla niej tensory postaci \scriptstyle \mathbf x \otimes \mathbf x. W ten sposób forma dwuliniowa symetryczna może być traktowana jako forma liniowa \scriptstyle \mathrm{Sym}^2(V) \to K odwzorowująca \scriptstyle \mathbf x \cdot \mathbf y \mapsto B(\mathbf x, \mathbf y), gdzie kropka oznacza iloczyn symetryczny (wewnętrzny) w \scriptstyle \mathrm{Sym}^2(V); formy alternujące utożsamia się z kolei z przekształceniami \scriptstyle \mathrm{Alt}^2(V) \to K danymi wzorem \scriptstyle \mathbf x \wedge \mathbf y \mapsto B(\mathbf x, \mathbf y), gdzie \scriptstyle \wedge oznacza iloczyn alternujący (zewnętrzny). Ponieważ formy liniowe tworzą przestrzeń dualną, to symetryczne formy dwuliniowe są elementami \scriptstyle \mathrm{Sym}^2(V)^*, zaś alternujące formy dwuliniowe to elementy \scriptstyle \mathrm{Alt}^2(V)^*, przy czym można utożsamić te przestrzenie odpowiednio z drugą potęgą symetryczną \scriptstyle \mathrm{Sym}^2(V^*) i drugą potęgą zewnętrzną \scriptstyle \mathrm{Alt}^2(V^*) przestrzeni \scriptstyle V^*.

Ponieważ \scriptstyle \mathrm{Sym}^2(V) i \scriptstyle \mathrm{Alt}^2(V) są dobrze określone jako przestrzenie ilorazowe \scriptstyle V^{\otimes 2}, to poza ciałem charakterystyki 2 można je utożsamiać z odpowiednimi podprzestrzeniami \scriptstyle V^{\otimes 2}, mianowicie pisząc \scriptstyle \mathbf x \otimes \mathbf y + \mathbf y \otimes \mathbf x zamiast \scriptstyle \mathbf x \cdot \mathbf y \in \mathrm{Sym}^2(V) oraz \scriptstyle \mathbf x \otimes \mathbf y - \mathbf y \otimes \mathbf x w miejsce \scriptstyle \mathbf x \wedge \mathbf y \in \mathrm{Alt}^2(V). W ten sposób \scriptstyle V^{\otimes 2} = \mathrm{Sym}^2(V) \oplus \mathrm{Alt}^2(V) na mocy wzoru \scriptstyle \mathbf x \otimes \mathbf y = \frac{1}{2}(\mathbf x \otimes \mathbf y + \mathbf y \otimes \mathbf x) + \frac{1}{2}(\mathbf x \otimes \mathbf y - \mathbf y \otimes \mathbf x). Zamieniając \scriptstyle V na \scriptstyle V^* otrzymuje się \scriptstyle \left(V^*\right)^{\otimes 2} = \mathrm{Sym}^2(V^*) \oplus \mathrm{Alt}^2(V^*) poza ciałem charakterystyki 2, czyli przedstawienie ogólnej formy dwuliniowej w postaci jednoznacznej sumy form dwuliniowych symetrycznej i antysymetrycznej (zob. własności)[5].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Dostateczność: refleksywność wynika wprost z równości \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) = \pm B(\mathbf y, \mathbf x). Konieczność: niech \scriptstyle \mathbf v = a\mathbf y + b\mathbf z; warunek \scriptstyle B(\mathbf v, \mathbf x) = 0 daje \scriptstyle aB(\mathbf y, \mathbf x) + bB(\mathbf z, \mathbf x) = 0, skąd np. \scriptstyle a = B(\mathbf z, \mathbf x) oraz \scriptstyle b = -B(\mathbf y, \mathbf x); z refleksywności warunek \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf v) = 0 daje wtedy \scriptstyle B(\mathbf z, \mathbf x) B(\mathbf x, \mathbf y) = B(\mathbf y, \mathbf x) B(\mathbf x, \mathbf z). Z podstawienia \scriptstyle \mathbf z = \mathbf x otrzymuje się \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf x) B(\mathbf x, \mathbf y) = B(\mathbf y, \mathbf x) B(\mathbf x, \mathbf x), co oznacza, że \scriptstyle (\star) B(\mathbf x, \mathbf y) \ne B(\mathbf y, \mathbf x) pociąga \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf x) = 0 (podobnie \scriptstyle B(\mathbf y, \mathbf y) = 0). Wystarczy teraz pokazać, że niesymetryczna forma refleksywna jest alternująca; z założenia istnieją więc \scriptstyle \mathbf x_0, \mathbf y_0 spełniające \scriptstyle B(\mathbf x_0, \mathbf y_0) \ne B(\mathbf y_0, \mathbf x_0), dla których \scriptstyle B(\mathbf x_0, \mathbf x_0) = B(\mathbf y_0, \mathbf y_0) = 0; jeśli \scriptstyle B(\mathbf x_0, \mathbf z) = B(\mathbf z, \mathbf x_0) lub \scriptstyle B(\mathbf y_0, \mathbf z) = B(\mathbf z, \mathbf y_0), to \scriptstyle (\star) daje \scriptstyle B(\mathbf z, \mathbf z) = 0; w przeciwnym przypadku \scriptstyle B(\mathbf z, \mathbf x_0) B(\mathbf x_0, \mathbf y_0) = B(\mathbf y_0, \mathbf x_0) B(\mathbf x_0, \mathbf z), czyli \scriptstyle B(\mathbf x_0, \mathbf z) (B(\mathbf x_0, \mathbf y_0) - B(\mathbf y_0, \mathbf x_0)) = 0, zatem \scriptstyle B(\mathbf x_0, \mathbf z) = B(\mathbf z, \mathbf x_0) = 0; analogicznie \scriptstyle B(\mathbf y_0, \mathbf z) = B(\mathbf z, \mathbf y_0) = 0. Stąd zaś \scriptstyle B(\mathbf x_0, \mathbf y_0 + \mathbf z) = B(\mathbf x_0, \mathbf y_0) \ne B(\mathbf y_0, \mathbf x_0) = B(\mathbf y_0 + \mathbf z, \mathbf x_0), dlatego \scriptstyle B(\mathbf x_0 + \mathbf z, \mathbf y_0 + \mathbf z) = 0 ze względu na \scriptstyle (\star), a więc \scriptstyle B(\mathbf z, \mathbf z) = 0.
  2. Wynika to z równości \scriptstyle 0 = B(\mathbf x + \mathbf y, \mathbf x + \mathbf y) = B(\mathbf x, \mathbf x) + B(\mathbf x, \mathbf y) + B(\mathbf y, \mathbf x) + B(\mathbf y, \mathbf y) = B(\mathbf x, \mathbf y) + B(\mathbf y, \mathbf x), skąd \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) = -B(\mathbf y, \mathbf x).
  3. Ponieważ \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf x) = -B(\mathbf x, \mathbf x), to \scriptstyle 2B(\mathbf x, \mathbf x) = 0, a więc w ciele charakterystyki różnej od 2 jest \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf x) = 0; w ciele charakterystyki 2 zachodzi z kolei \scriptstyle -1 = 1.
  4. Jeżeli \scriptstyle m \geqslant 4 będzie liczbą parzystą, a \scriptstyle \mathbf B = \left[\begin{smallmatrix} m/2 & 1 \\ -1 & m/2 \end{smallmatrix}\right] jest macierzą formy dwuliniowej \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y), która jest antysymetryczna, lecz nie jest ani symetryczna, ani alternująca dla \scriptstyle \mathbf x, \mathbf y z pierścienia \scriptstyle \mathbb Z_m^2 rozpatrywanego jako \scriptstyle \mathbb Z_m-moduł.
  5. 5,0 5,1 Dodając i odejmując stronami równości \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) = B_\mathrm s(\mathbf x, \mathbf y) + B_\mathrm a(\mathbf x, \mathbf y) oraz \scriptstyle B(\mathbf y, \mathbf x) = B_\mathrm s(\mathbf x, \mathbf y) - B_\mathrm a(\mathbf x, \mathbf y) otrzymuje się przedstawienia \scriptstyle B_\mathrm s(\mathbf x, \mathbf y) = \frac{1}{2}B(\mathbf x, \mathbf y) + \frac{1}{2}B(\mathbf y, \mathbf x) oraz \scriptstyle B_\mathrm a(\mathbf x, \mathbf y) = \frac{1}{2}B(\mathbf x, \mathbf y) - \frac{1}{2}B(\mathbf x, \mathbf y). Jednoznaczność otrzymuje się z odwrócenia rozumowania.
  6. Wynika to wprost z powyższej uwagi dotyczącej ciał charakterystyki 2.
  7. Zachodzi \scriptstyle 2B(\mathbf x, \mathbf y) = B(\mathbf x, \mathbf y) - B(\mathbf y, \mathbf x) = B(\mathbf x + \mathbf y, \mathbf x + \mathbf y) - B(\mathbf x, \mathbf x) - B(\mathbf y, \mathbf y).
  8. Czasem nietrywialność jądra nazywana bywa „niezdegenerowaniem”, a pełność rzędu – „nieosobliwością”; w ten sposób niezdegenerowanie nie musi pociągać nieosobliwości.
  9. Jeśli \scriptstyle \mathbf x = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf e_i i \scriptstyle \mathbf y = \sum_{j=1}^n y_j \mathbf e_j, to \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) = B\left(\sum_{i=1}^n x_i \mathbf e_i, \sum_{j=1}^n y_j \mathbf e_j\right) = \sum_{i,j=1}^n x_i y_j b_{ij}, gdzie \scriptstyle b_{ij} = B(\mathbf e_i, \mathbf e_j).
  10. Kontrprzykład (zob. ostatni przykład): choć przestrzeń \scriptstyle \mathbb R^{2, 1} jest niezdegenerowana, to płaszczyzna rozpinana przez wektory \scriptstyle \mathbf x_1 = (1, 0, 1) oraz \scriptstyle \mathbf x_2 = (0, 1, 0) w \scriptstyle \mathbb R^{2, 1} jest zdegenerowana (czyli zdegenerowane jest zawężenie \scriptstyle \langle \cdot, \cdot \rangle_{2, 1} do tej płaszczyzny), gdyż \scriptstyle \mathbf x_1 \perp \mathbb x_1 oraz \scriptstyle \mathbf x_1 \perp \mathbb x_2. Istnieją w \scriptstyle \mathbb R^{2, 1} wektory, które nie są prostopadłe do \scriptstyle \mathbf x_1, np. \scriptstyle (1, 0, 0), ale nie leżą one we wspomnianej płaszczyźnie.
  11. Czasami oznacza się ją symbolem \scriptstyle V_1 \perp V_2 − odpowiada ona wtedy tzw. zewnętrznej ortogonalnej sumie prostej; symbol ten stosuje się również do oznaczania ortogonalności podprzestrzeni danej przestrzeni (z formami dwuliniowymi z niej indukowanymi) − ogólnie mówi się wówczas o wewnętrznej ortogonalnej sumie prostej; w ogólności symbol \scriptstyle \perp można stosować względem dowolnych podzbiorów danej przestrzeni, zob. ortogonalność.
  12. Tak jak przestrzeń lokalnie podobną do przestrzeni euklidesowej nazywa się rozmaitością riemannowską (rozmaitość różniczkowa, dla której przestrzeń styczna w każdym jej punkcie wyposażona jest w dodatnio określoną symetryczną formę dwuliniową, tzn. iloczyn skalarny), tak przestrzeń lokalnie podobną do przestrzeni pseudoeuklidesowej nazywa się rozmaitością pseudoriemannowską (rozmaitość różniczkowa, która w dowolnym punkcie ma przestrzeń styczną z niezdegenerowaną, symetryczną formą dwuliniową, tzn. uogólnionym iloczynem skalarnym); odpowiednikiem rozmaitości pseudoriemannowskiej dla niezdegenerowanych alternujących form dwuliniowych (nazywanych też formami symplektycznymi) różniczkowych zamkniętych jest rozmaitość symplektyczna.
  13. Zbiór \scriptstyle W^\perp definiuje się również jako zbiór \scriptstyle \{\varphi \in V^*\colon \varphi(\mathbf x) = 0 \mathrm{\;dla\; ka\dot zdego\;} \mathbf x \in W\}, wówczas jest on podprzestrzenią w \scriptstyle V^*, a nie \scriptstyle V; izomorfizmem między nimi jest zwykle \scriptstyle B_\mathrm L lub \scriptstyle B_\mathrm R.
  14. Pojęcie to jest przypadkiem szczególnym tzw. anihilatora \scriptstyle S^0 danego podzbioru \scriptstyle S przestrzeni \scriptstyle V bądź radykału \scriptstyle \mathrm{Rad}(B), czyli zbioru tych \scriptstyle \mathbf x, dla których \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) = 0 dla wszystkich \scriptstyle \mathbf y, który tworzy podprzestrzeń liniową w \scriptstyle V; w powyższym przypadku zachodzi \scriptstyle \mathrm{Rad}(B) = W^0 = W^\perp.
  15. Dla dowolnej niezdegenerowanej, niekoniecznie refleksywnej, formy \scriptstyle B oraz podprzestrzeni \scriptstyle W przestrzeni \scriptstyle V można zdefiniować zbiory \scriptstyle W^\llcorner = \{\mathbf x \in V\colon \mathbf x \perp W\} oraz \scriptstyle W^\lrcorner = \{\mathbf x \in V\colon W \perp \mathbf x\}, które mają wymiar równy \scriptstyle \dim V - \dim W i dla których zachodzi \scriptstyle W^{\llcorner\lrcorner} = W^{\lrcorner\llcorner} = W.
  16. Niech \scriptstyle W oznacza płaszczyznę w przestrzeni pseudoeuklidesowej \scriptstyle \mathbb R^{2, 1} (zob. ostatni i czwarty przykład) rozpinaną przez wektory \scriptstyle (1, 0, 1) oraz \scriptstyle (0, 1, 0); ponieważ \scriptstyle \langle \cdot, \cdot \rangle_{2, 1} jest niezdegenerowana na \scriptstyle \mathbb R^{2, 1}, to \scriptstyle \dim W + \dim W^\perp = 3, skąd \scriptstyle W^\perp jest jednowymiarowa, a bezpośrednie obliczenia wskazują, iż \scriptstyle W^\perp = \mathbb R(1, 0, 1), czyli \scriptstyle W \subset W^\perp, co oznacza, że \scriptstyle \mathbb R^{2, 1} nie jest sumą (prostą) \scriptstyle W oraz \scriptstyle W^\perp, co pozostaje w zgodzie ze zdegenerowaniem podprzestrzeni \scriptstyle W w \scriptstyle \mathbb R^{2, 1}.
  17. Jeśli \scriptstyle \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_k jest układem ortogonalnym, to zakładając \scriptstyle \sum_{i=1}^k a_i \mathbf x_i = \mathbf 0 dla każdego \scriptstyle j = 1, \dots, k zachodzi \scriptstyle \mathbf 0 \perp \mathbf x_j \Leftrightarrow \left(\sum_{i=1}^k a_i \mathbf x_i\right) \perp \mathbf x_j \Leftrightarrow \sum_{i=1}^k a_i (\mathbf x_i \perp \mathbf x_j) \Leftrightarrow a_j (\mathbf x_j \perp \mathbf x_j), czyli \scriptstyle a_j = 0.
  18. Przestrzeń \scriptstyle \mathbb Q^2 nie ma bazy ortonormalnej względem \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) = 2x_1 y_1 + 3x_2 y_2, gdyż równanie \scriptstyle 2p^2 + 3q^2 = 1 nie ma rozwiązań wymiernych, choć \scriptstyle \{\scriptscriptstyle(1, 0)\scriptstyle,\ \scriptscriptstyle(0, 1)\scriptstyle\} jest bazą ortonormalną przestrzeni \scriptstyle \mathbb R^2 względem tej samej formy \scriptstyle B.
  19. Macierz formy \scriptstyle B w tej bazie jest diagonalna z elementami \scriptstyle B(\mathbf e_i, \mathbf e_i) na przekątnej, których nieznikanie jest równoważne odwracalności tej macierzy.
  20. Macierz tej postaci jest macierzą jednostki urojonej w macierzowej reprezentacji liczb zespolonych.
  21. Odpowiadająca tej macierzy niezdegenerowana forma dwuliniowa alternująca \scriptstyle B ma w pewnej bazie \scriptstyle A postać \scriptstyle \mathbf B_A = \left[\begin{smallmatrix} \boldsymbol \Theta & \mathbf I_m \\ \mathbf{-I}_m & \boldsymbol \Theta \end{smallmatrix}\right]; przechodząc do bazy standardowej \scriptstyle E otrzymuje się \scriptstyle \det \mathbf B_E = \det \mathbf C^\mathrm T \mathbf B_A \mathbf C = (\det \mathbf C)^2 \mathbf B_A = 1.
  22. Często ustala się go w następujący sposób: współczynnik przy \scriptstyle m_{12} m_{34} \dots m_{2m-1\ 2m} w \scriptstyle \mathrm{Pf}([m_{ij}]) jest równy \scriptstyle 1.
  23. Wzór ten wynika z równoważności wszystkich niezdegenerowanych form dwuliniowych alternujących na przestrzeni liniowej ustalonego wymiaru.