Forma dwuliniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowyprzekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym).

Teoria form dwuliniowych znajduje zastosowanie w wielu działach matematyki: w analizie wielowymiarowej formą dwuliniową jest druga pochodna w przestrzeni euklidesowej − przy odpowiednich założeniach (twierdzenie Clairaut bądź Schwarza) jest ona symetryczna (a jej macierzą w ustalonej bazie jest macierz Hessego); w rachunku wariacyjnym określoność tej formy dwuliniowej mówi o kształcie hiperpowierzchni (ekstremum, siodło) wokół punktu krytycznego danej formy (funkcjonału); w geometrii rzutowej formy dwuliniowe służą ustaleniu dualności i umożliwiają zdefiniowanie kolineacji, a przede wszystkim korelacji (konstrukcja dopełnienia ortogonalnego dla niezdegenerowanej formy dwuliniowej stanowi jej uogólnienie), dodanie warunku inwolutywności korelacji pozwala na badanie biegunowości; w analizie funkcjonalnej ograniczone i eliptyczne (koercywne) formy dwuliniowe na przestrzeni Hilberta występujące w twierdzeniu Laxa-Milgrama mówią o jednoznaczności słabych rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych (z różnymi zagadnieniami brzegowymi), w tym równania Poissona pojawiającego się w m.in. elektrostatyce, czy innych problemach mechaniki ośrodków ciągłych; rzeczywiste przestrzenie liniowe wyposażone w niezdegenerowane dwuliniowe formy alternujące są lokalnymi modelami dla przestrzeni fazowych w mechanice hamiltonowskiej. Dodatnio określone, symetryczne formy dwuliniowe odgrywają istotną rolę w analizie (rzeczywiste przestrzenie Hilberta) jak i w geometrii (rozmaitości riemannowskie); niezdegenerowane symetryczne formy dwuliniowe pojawiają się w teoria względności, gdzie bada się przestrzenie pseudoeuklidesowe (zob. ostatni przykład).

Artykuł traktuje o formach, której argumenty należą do jednej przestrzeni; formy określone na dowolnej ich parze opisano w artykule o parze dualnej.

Definicja[edytuj]

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Przekształcenie nazywa się formą dwuliniową albo funkcjonałem dwuliniowym na jeżeli jest:

  • liniowe ze względu na pierwszą zmienną, tzn. addytywne i jednorodne względem pierwszego argumentu,
  • liniowe ze względu na drugą ze zmiennych, tzn. addytywne i jednorodne względem drugiej współrzędnej,

Na formę dwuliniową można nałożyć dodatkowe warunki:

  • refleksywności,
  • alternacyjności,
  • symetryczności,
  • antysymetryczności (lub symplektyczności),

Forma dwuliniowa jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna albo alternująca[1]. Dodatkowo dwuliniowa forma antysymetryczna to inna nazwa dwuliniowej formy symetrycznej lub alternującej: alternacyjność pociąga antysymetryczność w ciele dowolnej charakterystyki[2]; z drugiej strony w ciele charakterystyki różnej od 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest alternująca, a w ciele charakterystyki 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna[3]. Choć w przypadku ciała liczb rzeczywistych pojęcia alternacyjności i antysymetryczności pokrywają się, to w tym kontekście nazwa „antysymetryczna” jest nadal żywa, dodatkowo pojęcia te rozważa się także w modułach nad pierścieniami, gdzie żadne z nich nie musi pociągać pozostałych[4].

Własności[edytuj]

W ciele charakterystyki różnej od 2 każdą formę dwuliniową można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy formy symetrycznej i formy alternującej (antysymetrycznej) [5]; w przypadku ciała charakterystyki 2 alternujące formy dwuliniowe są podzbiorem symetrycznych form dwuliniowych[6] W ciele charakterystyki różnej od 2 symetryczna forma dwuliniowa wyznaczona jest całkowicie przez wartości „na przekątnej”[7] – własność tę nazywa się polaryzacją (w szczególności Oznacza to, że badanie tego rodzaju form dwuliniowych sprowadza się do badania form kwadratowych.

Z formą dwuliniową można związać dwa przekształcenia liniowe z przestrzeni w przestrzeń dualną dane wzorami

oznaczane często odpowiednio oraz gdzie kropka oznacza miejsce przyłożenia argumentu dla powstałej formy liniowej (por. currying w rachunku lambda).

Przekształcenie jest transpozycją (sprzężeniem) na obrazie w drugiej przestrzeni dualnej (i na odwrót). Jeżeli jest skończeniewymiarowa, to istnieje naturalny izomorfizm między a jej drugą dualną dzięki czemu można uważać za transpozycję na W ten sposób dla danej formy dwuliniowej można zdefiniować jej transpozycję (sprzężenie) wzorem

Rząd jest równy rzędowi nazywa się go rzędem formy dwuliniowej Jeśli rząd tych przekształceń jest pełny (tzn. równy wymiarowi przestrzeni), to i są izomorfizmami liniowymi Wówczas formę dwuliniową nazywa się niezdegenerowaną lub nieosobliwą (w przeciwnym przypadku nazywa się ją zdegenerowaną lub osobliwą); podobnie nazywa się wtedy samą przestrzeń dwuliniową Gdy jest skończeniewymiarowa, na mocy twierdzenia o rzędzie jest to równoważne trywialności jądra Wówczas jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich zachodzi

bądź (na mocy kontrapozycji) gdy dla każdego niezerowego wektora istnieje taki wektor dla którego Własność tę przyjmuje się często jako definicję niezdegenerowania w przypadku przestrzeni skończonego wymiaru[8].

Dla dowolnego przekształcenia wzór

definiuje formę dwuliniową na przestrzeni Jest ona niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorfizmem.

Formy dwuliniowe oraz określone odpowiednio na i nazywa się równoważnymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm który spełniałby

Zapisanie obu form dwuliniowych we współrzędnych oznacza przejście do przestrzeni współrzędnych; powyższa definicja mówi wtedy, że za równoważne uważa się te formy dwuliniowe, dla których istnieje liniowa zamiana zmiennych między ich przedstawieniami (w przypadku form symetrycznych wystarczy zadbać o przejście wartości „na przekątnych”; zob. kolejną sekcję).

Przestrzeń liniową z formą dwuliniową tworzy przestrzeń dwuliniową przestrzeń liniowa z symetryczną formą dwuliniową (tzw. „uogólnionym iloczynem skalarnym”) nazywa się przestrzenią ortogonalną, jeśli jest ona dodatkowo niezdegenerowana, to nazywa się ją przestrzenią unitarną; zaś przestrzeń z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą to przestrzeń symplektyczna. Z kolei dwie przestrzenie liniowe związane (zwykle niezdegenerowaną) formą dwuliniową tworzą parę dwoistą.

Macierz formy[edytuj]

W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru powyższe własności można przetłumaczyć na język macierzy. Ustalenie bazy w oznacza wybranie izomorfizmu odwzorowującego wektor w wektor współrzędnych którego współrzędne można zapisać w macierzy jednokolumnowej (tzw. wektorze kolumnowym) Dzięki temu w zupełnie analogiczny sposób jak ma to miejsce dla przekształceń liniowych i ich macierzy działanie formy dwuliniowej można zapisać w standardowej notacji macierzowej jako gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny przestrzeni współrzędnych Macierz kwadratową

stopnia nazywa się wtedy macierzą formy dwuliniowej (macierzą funkcjonału dwuliniowego) w bazie (w przypadku przestrzeni unitarnej jest to odpowiednik macierzy Grama iloczynu skalarnego wyrażonego w tej bazie)[9]. Jest ona macierzą przekształcenia przy czym wybór ten jest arbitralny: macierz jest macierzą przy wyborze działania Przekształceń w przeciwieństwie do ich macierzy, nie można składać − podejście tłumaczące wynik złożenia macierzy na przekształcenia, a przy tym niewyróżniające żadnego z nich opisano dalej.

W przestrzeni z ustaloną bazą równoważność przedstawień (macierzy) form dwuliniowych wyraża się następująco: jeśli są dwiema bazami to macierze i przekształcenia dwuliniowego przystające, tzn.

gdzie oznacza macierz zamiany współrzędnych od do Ogólniej: macierze i są przystające, tzn.

dla pewnej macierzy odwracalnej gdy są macierzami tej samej formy dwuliniowej.

Wprost z definicji wynika, że forma dwuliniowa jest symetryczna bądź antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest macierz symetryczna bądź antysymetryczna. Forma dwuliniowa jest alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest antysymetryczna i wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe zeru (co wynika z antysymetryczności dla ciał o charakterystyce różnej od 2).

Jeśli macierz formy dwuliniowej jest nieosobliwa (odwracalna), to samą formę nazywa się niezdegenerowaną lub także nieosobliwą (podobnie mówi się wtedy o samej przestrzeni ); w przeciwnym przypadku formę (lub przestrzeń dwuliniową) nazywa się zdegenerowaną lub osobliwą. Rzędem formy dwuliniowej bądź przestrzeni nazywa się rząd macierzy tej formy (jest on dobrze określony, gdyż nie zależy od wyboru bazy ze względu na fakt, iż macierze przystające mają równe rzędy).

Przykłady[edytuj]

  • Przestrzeń trywialna (zerowymiarowa) ma jedną formę dwuliniową, która nie ma macierzy (ma macierz pustą, tzn. typu ).
  • Jeśli jest przestrzenią współrzędnych z bazą standardową to każda forma dwuliniowa na tej przestrzeni liniowej jest postaci
gdzie
  • Jeśli jest ustalonym punktem przestrzeni liniowej form (funkcjonałów) na to wzór
zadaje formę dwuliniową na tej przestrzeni.
  • Jeśli jest przestrzenią dwuliniową, zaś jest podprzestrzenią to zawężenie do daje podprzestrzeń dwuliniową oznaczaną też po prostu (konstrukcję tę można również przeprowadzić za pomocą przestrzeni ilorazowej); podprzestrzeń dziedziczy własności refleksywności, alternacyjności, symetryczności i antysymetryczności z przestrzeni wyjściowej, lecz niekoniecznie jej niezdegenerowania[10]; jeśli zaś jest dodatnio określona (tzn. dla dowolnego ), to własność ta zachodzi dla dowolnej niezerowej podprzestrzeni skąd jest również dodatnio określona, a zatem niezdegenerowana.
  • Jeżeli i są przestrzeniami dwuliniowymi na tym samym ciałem, to suma prosta wraz z formą dwuliniową staje się podprzestrzenią dwuliniową; jeśli obie formy oraz są jednocześnie symetryczne, alternujące, antysymetryczne bądź refleksywne, to również ma tę samą własność. Konstrukcję tę nazywa się ortogonalną sumą prostą przestrzeni oraz [11]
  • Jeśli oznacza przestrzeń liniową funkcji ciągłych to funkcja dana wzorem
definiuje zdegenerowaną formę dwuliniową na tej przestrzeni: nie jest ona surjektywna, gdyż np. forma delta Diraca należy do jej przestrzeni sprzężonej (topologicznie), ale nie ma wymaganej postaci; z drugiej strony forma spełnia skończeniewymiarową definicję niezdegenerowania.
  • Każdy iloczyn skalarny na przestrzeni unitarnej jest niezdegenerowaną formą dwuliniową, gdyż jego macierz w dowolnej bazie (macierz Grama) jest odwracalna: wyznacznik układu liniowo niezależnego jest różny od zera bądź wynika to wprost z dodatniej określoności iloczynu skalarnego. Z definicji jest on także symetryczny.
  • Niech dla przestrzeni dobrane będą nieujemne liczby całkowite spełniające Wzór
gdzie oraz dany jest w notacji macierzowej jako
gdzie oraz zaś oznacza kwadratową podmacierz jednostkową stopnia a oznacza podmacierz zerową, definiuje formę dwuliniową, która czyni z przestrzeni euklidesowej tzw. przestrzeń pseudoeuklidesową Przypadki oraz to modele przestrzeni Minkowskiego[12]. Z twierdzenia Sylvestera o bezwładności form kwadratowych wynika, że każda niezdegenerowana (rezygnując z nieosobliwości dopuszcza się zera na przekątnej), symetryczna forma dwuliniowa ma w pewnej bazie (przestrzeni liniowej nad ciałem charakterystyki różnej od 2) powyższą postać.

Ortogonalność[edytuj]

Za pomocą formy dwuliniowej można wprowadzić pojęcie (uogólnionej) ortogonalności: wektory i są ortogonalne, co zapisuje się względem dwuliniowej formy wtedy i tylko wtedy, gdy

Dla podprzestrzeni oraz wektora przestrzeni pisze się jeżeli dla wszystkich z przestrzeni podobnie oraz gdzie jest pewną podprzestrzenią liniową (definicje te rozszerza się często na dowolne podzbiory). Relacja nie musi pociągać, ani być pociągana przez Najważniejszymi formami dwuliniowymi są te, dla których relacja jest symetryczna, tzn.

co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy forma ją definiująca jest refleksywna (tzn. symetryczna bądź alternująca[1]). Wówczas dla dowolnej podprzestrzeni można zdefiniować zbiór

[13]

tworzący przestrzeń liniową (gdyż jest to jądro bądź na mocy symetryczności) nazywaną dalej podprzestrzenią ortogonalną do [14]; w literaturze częściej spotyka się nazwę „dopełnienie ortogonalne”, choć w ogólnym przypadku wcale nie musi być dopełnieniem, gdyż może się zdarzyć, iż Wektory należące do tej części wspólnej (tzw. podprzestrzeni izotropowej), tzn. wektory spełniające (prostopadłe do samych siebie), nazywa się izotropowymi; wektory niespełniające tego warunku nazywane są czasem nieizotropowymi bądź anizotropowymi. Zachodzi wzór [15]. Podprzestrzeń ortogonalna jest trywialna (czyli dana przestrzeń nie ma niezerowych wektorów izotropowych), tzn. przestrzeń jest sumą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy forma dwuliniowa jest niezdegenerowana (jedynym anizotropowym wektorem przestrzeni unitarnej jest zero, gdyż dodatnia określoność iloczynu skalarnego pociąga jego niezdegenerowanie, zob. przedostatni przykład). Wówczas dla dowolnych podprzestrzeni przestrzeni jest oraz i zachodzi również zaś podprzestrzeń jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy jest niezdegenerowana. Warunki oraz nie są równoważne – pierwszy pociąga drugi, lecz implikacja odwrotna jest fałszywa: podprzestrzenie i mogą mieć nietrywialne przecięcie, choć suma ich wymiarów może uzupełniać się do wymiaru przestrzeni[16]; zgodnie z powyższymi obserwacjami wspomniana równość dotycząca wymiarów jest prawdziwa, gdy jest niezdegenerowana, a jest dowolna albo gdy jest dowolna, a jest niezdegenerowana.

Układ wektorów przestrzeni nazywa się ortogonalnym, jeżeli dla dowolnych zachodzi Dowolny układ ortogonalny wektorów anizotropowych jest liniowo niezależny[17]. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru wyposażonej w symetryczną formę dwuliniową jej bazę nazywa się ortogonalną, jeżeli tworzy ona układ ortogonalny; niech oznacza bazę ortogonalną przestrzeni Geometrycznie stanowi ona rozkład na ortogonalną sumę prostą prostych Pojęcie bazy ortonormalnej, czyli takiej bazy ortogonalnej, dla której (znanej z przestrzeni euklidesowych) nie znajduje właściwie zastosowań w ogólnej sytuacji, gdyż może ona po prostu nie istnieć[18]. Każda skończeniewymiarowa przestrzeń ortogonalna nad ciałem charakterystyki różnej od 2 ma bazę ortogonalną (wynika stąd, że każda macierz symetryczna przystaje do macierzy diagonalnej, zob. ostatni przykład; ponadto jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego [19], tzn. wektor anizotropowy nie może być elementem bazy ortogonalnej przestrzeni). Obserwacja ta, czasem formułowana z wykorzystaniem formy kwadratowej zamiast symetrycznej formy dwuliniowej, nazywana jest niekiedy twierdzeniem Lagrange'a.

Jeśli podprzestrzeń ortogonalna przestrzeni nad ciałem charakterystyki różnej od 2 jest trywialna, to przekształcenie dane wzorem gdzie oznacza zbiór wszystkich podzbiorów przestrzeni tworzący przestrzeń rzutową, nazywa się biegunowością ortogonalną na przestrzeni W ten sposób powstają wszystkie biegunowości ortogonalne, a dwie symetryczne formy dwuliniowe indukują tę samą biegunowość wtedy i tylko wtedy, gdy są równe co do mnożenia przez skalar.

Symplektyczność[edytuj]

Zamieniając warunek symetryczności formy dwuliniowej na alternacyjność można wprowadzić analogon baz ortogonalnych w postaci tzw. baz symplektycznych. Niech dana będzie przestrzeń z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą. Wówczas jej wymiar jest dodatnią liczbą parzystą. Bazą symplektyczną przestrzeni nazywa się układ wektorów który spełnia oraz dla której płaszczyzny są ortogonalne. Ponadto z alternacyjności wynika Dowolne dwie przestrzenie z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą są równoważne; w szczególności w przestrzeni ustalonego parzystego wymiaru istnieje tylko jedna niezdegenerowana, alternująca forma dwuliniowa. Formę dwuliniową na która ma w bazie standardowej macierz złożoną z klatek postaci [20] na głównej przekątnej i podmacierzy zerowych w pozostałych miejscach, nazywa się standardową formą alternującą bądź formą objętości na tej przestrzeni. W bazie Darboux ma ona postać

gdzie jest podmacierzą jednostkową stopnia

Jak wspomniano wyżej, pojęcie podprzestrzeni ortogonalnej można również zdefiniować dla form alternujących; podprzestrzeń nazywa się

  • symplektyczną, jeżeli co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zawężona do jest niezdegenerowana.
  • izotropową, jeśli co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zawężona do jest tożsamościowo równa zeru (każda podprzedstrzeń jednowymiarowa jest izotropowa).
  • koizotropową, gdy czyli wtedy i tylko wtedy, gdy przeniesiona na przestrzeń ilorazową jest niezdegenerowana, co jest równoważne izotropowości (każda podprzestrzeń kowymiaru 1 jest koizotropowa).
  • Lagrange'a, jeżeli tzn. gdy jest zarazem izotropowa i koizotropowa; w przestrzeniach skończonego wymiaru podprzestrzenie te mają wymiar równy połowie wymiaru każdą podprzestrzeń izotropową można rozszerzyć tak, by była Lagrange'a (zob. grassmannian Lagrange'a).

Wyznacznik dowolnej nieosobliwej macierzy alternującej (antysymetrycznej) nad ciałem jest kwadratem pewnej liczby z [21], nazywa się go pfaffianem tej macierzy – jest to zatem uniwersalna konstrukcja pierwiastka wyznacznika odwracalnych macierzy alternujących (z dokładnością do znaku[22]). Dla dowolnych macierzy kwadratowych i parzystego stopnia zachodzi ponadto

gdzie jest macierzą alternującą[23]. Dodatkowo Jeżeli jest nieodwracalna, to jeśli jest macierzą zamiany współrzędnych do bazy standardowej odwracalnej macierzy (tzn. i są takimi macierzami odwracalnymi, że jest standardową formą alternującą na przestrzeni), to

Iloczyny tensorowe[edytuj]

 Osobny artykuł: iloczyn tensorowy.

O formach dwuliniowych na przestrzeni liniowej można myśleć jak o przekształceniach liniowych danej przestrzeni w przestrzeń dualną, co opisano w sekcji o macierzy formy; konstrukcja iloczynu tensorowego umożliwia traktowanie form dwuliniowych jako przekształceń liniowych: na mocy własności uniwersalnej iloczynu tensorowego forma dwuliniowa na przestrzeni liniowej nad ciałem pozostaje we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z formą liniową daną wzorem

Z definicji formy liniowe tworzą przestrzeń dualną; w ten sposób przestrzeń form dwuliniowych na jest naturalnie izomorficzna z którą można z kolei w naturalny sposób utożsamiać z poprzez odwzorowanie Spojrzenie to tłumaczy zatem, złożeniem których przekształceń liniowych jest mnożenie macierzy form dwuliniowych.

Niech oznacza przestrzeń liniową przekształceń liniowych Przekształceniu dwuliniowemu gdzie są dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem odpowiada przekształcenie liniowe przy czym zachodzą następujące izomorfizmy naturalne:

oraz

Pierwszy z nich przekształca w drugi zaś w Jeśli a (ciało taktowane jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa nad sobą), to stają się one dwoma różnymi izomorfizmami na mianowicie oraz

Dwie szczególne klasy form dwuliniowych, formy symetryczne oraz alternujące, można opisać w języku potęg symetrycznej i zewnętrznej. Forma symetryczna postrzegana jako forma liniowa jest symetryczna, jeżeli znikają dla niej wszystkie tensory postaci i alternująca, jeśli znikają dla niej tensory postaci W ten sposób forma dwuliniowa symetryczna może być traktowana jako forma liniowa odwzorowująca gdzie kropka oznacza iloczyn symetryczny (wewnętrzny) w formy alternujące utożsamia się z kolei z przekształceniami danymi wzorem gdzie oznacza iloczyn alternujący (zewnętrzny). Ponieważ formy liniowe tworzą przestrzeń dualną, to symetryczne formy dwuliniowe są elementami zaś alternujące formy dwuliniowe to elementy przy czym można utożsamić te przestrzenie odpowiednio z drugą potęgą symetryczną i drugą potęgą zewnętrzną przestrzeni

Ponieważ i są dobrze określone jako przestrzenie ilorazowe to poza ciałem charakterystyki 2 można je utożsamiać z odpowiednimi podprzestrzeniami mianowicie pisząc zamiast oraz w miejsce W ten sposób na mocy wzoru Zamieniając na otrzymuje się poza ciałem charakterystyki 2, czyli przedstawienie ogólnej formy dwuliniowej w postaci jednoznacznej sumy form dwuliniowych symetrycznej i antysymetrycznej (zob. własności)[5].

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

Przypisy

  1. a b Dostateczność: refleksywność wynika wprost z równości Konieczność: niech warunek daje skąd np. oraz z refleksywności warunek daje wtedy Z podstawienia otrzymuje się co oznacza, że pociąga (podobnie ). Wystarczy teraz pokazać, że niesymetryczna forma refleksywna jest alternująca; z założenia istnieją więc spełniające dla których jeśli lub to daje w przeciwnym przypadku czyli zatem analogicznie Stąd zaś dlatego ze względu na a więc
  2. Wynika to z równości skąd
  3. Ponieważ to a więc w ciele charakterystyki różnej od 2 jest w ciele charakterystyki 2 zachodzi z kolei
  4. Jeżeli będzie liczbą parzystą, a jest macierzą formy dwuliniowej która jest antysymetryczna, lecz nie jest ani symetryczna, ani alternująca dla z pierścienia rozpatrywanego jako -moduł.
  5. a b Dodając i odejmując stronami równości oraz otrzymuje się przedstawienia oraz Jednoznaczność otrzymuje się z odwrócenia rozumowania.
  6. Wynika to wprost z powyższej uwagi dotyczącej ciał charakterystyki 2.
  7. Zachodzi
  8. Czasem nietrywialność jądra nazywana bywa „niezdegenerowaniem”, a pełność rzędu – „nieosobliwością”; w ten sposób niezdegenerowanie nie musi pociągać nieosobliwości.
  9. Jeśli i to gdzie
  10. Kontrprzykład (zob. ostatni przykład): choć przestrzeń jest niezdegenerowana, to płaszczyzna rozpinana przez wektory oraz w jest zdegenerowana (czyli zdegenerowane jest zawężenie do tej płaszczyzny), gdyż oraz Istnieją w wektory, które nie są prostopadłe do np. ale nie leżą one we wspomnianej płaszczyźnie.
  11. Czasami oznacza się ją symbolem − odpowiada ona wtedy tzw. zewnętrznej ortogonalnej sumie prostej; symbol ten stosuje się również do oznaczania ortogonalności podprzestrzeni danej przestrzeni (z formami dwuliniowymi z niej indukowanymi) − ogólnie mówi się wówczas o wewnętrznej ortogonalnej sumie prostej; w ogólności symbol można stosować względem dowolnych podzbiorów danej przestrzeni, zob. ortogonalność.
  12. Tak jak przestrzeń lokalnie podobną do przestrzeni euklidesowej nazywa się rozmaitością riemannowską (rozmaitość różniczkowa, dla której przestrzeń styczna w każdym jej punkcie wyposażona jest w dodatnio określoną symetryczną formę dwuliniową, tzn. iloczyn skalarny), tak przestrzeń lokalnie podobną do przestrzeni pseudoeuklidesowej nazywa się rozmaitością pseudoriemannowską (rozmaitość różniczkowa, która w dowolnym punkcie ma przestrzeń styczną z niezdegenerowaną, symetryczną formą dwuliniową, tzn. uogólnionym iloczynem skalarnym); odpowiednikiem rozmaitości pseudoriemannowskiej dla niezdegenerowanych alternujących form dwuliniowych (nazywanych też formami symplektycznymi) różniczkowych zamkniętych jest rozmaitość symplektyczna.
  13. Zbiór definiuje się również jako zbiór wówczas jest on podprzestrzenią w a nie izomorfizmem między nimi jest zwykle lub
  14. Pojęcie to jest przypadkiem szczególnym tzw. anihilatora danego podzbioru przestrzeni bądź radykału czyli zbioru tych dla których dla wszystkich który tworzy podprzestrzeń liniową w w powyższym przypadku zachodzi
  15. Dla dowolnej niezdegenerowanej, niekoniecznie refleksywnej, formy oraz podprzestrzeni przestrzeni można zdefiniować zbiory oraz które mają wymiar równy i dla których zachodzi
  16. Niech oznacza płaszczyznę w przestrzeni pseudoeuklidesowej (zob. ostatni i czwarty przykład) rozpinaną przez wektory oraz ponieważ jest niezdegenerowana na to skąd jest jednowymiarowa, a bezpośrednie obliczenia wskazują, iż czyli co oznacza, że nie jest sumą (prostą) oraz co pozostaje w zgodzie ze zdegenerowaniem podprzestrzeni w
  17. Jeśli jest układem ortogonalnym, to zakładając dla każdego zachodzi czyli
  18. Przestrzeń nie ma bazy ortonormalnej względem gdyż równanie nie ma rozwiązań wymiernych, choć jest bazą ortonormalną przestrzeni względem tej samej formy
  19. Macierz formy w tej bazie jest diagonalna z elementami na przekątnej, których nieznikanie jest równoważne odwracalności tej macierzy.
  20. Macierz tej postaci jest macierzą jednostki urojonej w macierzowej reprezentacji liczb zespolonych.
  21. Odpowiadająca tej macierzy niezdegenerowana forma dwuliniowa alternująca ma w pewnej bazie postać przechodząc do bazy standardowej otrzymuje się
  22. Często ustala się go w następujący sposób: współczynnik przy w jest równy
  23. Wzór ten wynika z równoważności wszystkich niezdegenerowanych form dwuliniowych alternujących na przestrzeni liniowej ustalonego wymiaru.