Forma dwuliniowa

Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowy – przekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym). Uogólnieniem form dwuliniowych są formy wieloliniowe.

Artykuł traktuje o formach, której argumenty należą do jednej przestrzeni; formy określone na dowolnej ich parze opisano w artykule o parze dualnej.

Definicja formy dwuliniowej

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K.$

Przekształcenie $B\colon V\times V\to K$ nazywa się formą dwuliniową (funkcjonałem dwuliniowym) na $V,$ jeżeli jest:

• liniowe ze względu na pierwszą zmienną, tzn. addytywne i jednorodne względem pierwszego argumentu

  $B(\mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=B(\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+B(\mathbf {y} ,\mathbf {z} )$

  oraz

  $B(c\,\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=c\,B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

• liniowe ze względu na drugą ze zmiennych, tzn. addytywne i jednorodne względem drugiej współrzędnej

  $B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} +\mathbf {z} )=B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )+B(\mathbf {x} ,\mathbf {z} )$

  oraz

  $B(\mathbf {x} ,c\,\mathbf {y} )=c\,B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

Rodzaje form dwuliniowych

Na formy dwuliniowe nakłada się dodatkowe warunki.

Forma refleksyjna

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\Leftrightarrow B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )=0$

Forma alternacyjna

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=0$

Forma symetryczna

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )$

Forma antysymetryczna

Forma zwana też formą symplektyczną

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=-B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )$

Uwagi

(1) Dwuliniowa forma antysymetryczna – to inna nazwa dwuliniowej formy symetrycznej lub alternującej: alternacyjność pociąga antysymetryczność w ciele dowolnej charakterystyki.

(2) W przypadku ciała liczb rzeczywistych pojęcia alternacyjności i antysymetryczności pokrywają się, jednak i w tym kontekście nazwa „antysymetryczna” jest nadal używana.

(3) Pojęcia te rozważa się także w modułach nad pierścieniami, gdzie żadne z nich nie musi pociągać pozostałych.

Twierdzenia

Tw. 1: Forma dwuliniowa jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna albo alternująca.

Tw. 2: W ciele charakterystyki różnej od 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest alternująca, a w ciele charakterystyki 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna.

Własności

W ciele charakterystyki różnej od 2 każdą formę dwuliniową $B$ można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy $B_{\mathrm {s} }+B_{\mathrm {a} }$ formy symetrycznej $B_{\mathrm {s} }$ i formy alternującej (antysymetrycznej) $B_{\mathrm {a} }$; w przypadku ciała charakterystyki 2 alternujące formy dwuliniowe są podzbiorem symetrycznych form dwuliniowych W ciele charakterystyki różnej od 2 symetryczna forma dwuliniowa $B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ wyznaczona jest całkowicie przez wartości $B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )$ „na przekątnej” – własność tę nazywa się polaryzacją (w szczególności $B\equiv 0\Leftrightarrow B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=0)$). Oznacza to, że badanie tego rodzaju form dwuliniowych sprowadza się do badania form kwadratowych.

Z formą dwuliniową $B$ można związać dwa przekształcenia liniowe $B_{\mathrm {L} },B_{\mathrm {R} }$ z przestrzeni $V$ w przestrzeń dualną $V^{*}$ dane wzorami

$B_{\mathrm {L} }(\mathbf {x} )(\mathbf {y} )=B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\quad {\mbox{ oraz }}\quad B_{\mathrm {R} }(\mathbf {y} )(\mathbf {x} )=B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),$

oznaczane często odpowiednio $B(\mathbf {x} ,\cdot )$ oraz $B(\cdot ,\mathbf {y} ),$ gdzie kropka oznacza miejsce przyłożenia argumentu dla powstałej formy liniowej (por. currying w rachunku lambda).

Przekształcenie $B_{\mathrm {R} }$ jest transpozycją (sprzężeniem) $B_{\mathrm {L} }$ na obrazie $V$ w drugiej przestrzeni dualnej $V^{**}$ (i na odwrót). Jeżeli $V$ jest skończeniewymiarowa, to istnieje naturalny izomorfizm między $V,$ a jej drugą dualną $V^{**},$ dzięki czemu $B_{\mathrm {R} }$ można uważać za transpozycję $B_{\mathrm {L} }$ na $V.$ W ten sposób dla danej formy dwuliniowej $B$ można zdefiniować jej transpozycję (sprzężenie) $B^{*}$ wzorem

$B^{*}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} ).$

Rząd $B_{\mathrm {L} }$ jest równy rzędowi $B_{\mathrm {R} };$ nazywa się go rzędem formy dwuliniowej $B.$ Jeśli rząd tych przekształceń jest pełny (tzn. równy wymiarowi przestrzeni), to $B_{\mathrm {L} }$ i $B_{\mathrm {R} }$ są izomorfizmami liniowymi $V\to V^{*}.$ Wówczas formę dwuliniową $B$ nazywa się niezdegenerowaną lub nieosobliwą (w przeciwnym przypadku nazywa się ją zdegenerowaną lub osobliwą); podobnie nazywa się wtedy samą przestrzeń dwuliniową $(V,B).$ Gdy $V$ jest skończeniewymiarowa, na mocy twierdzenia o rzędzie jest to równoważne trywialności jądra $B_{\mathrm {L} }.$ Wówczas $B$ jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich $\mathbf {y}$ zachodzi

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\Rightarrow \mathbf {x} =\mathbf {0} ,$

bądź (na mocy kontrapozycji) gdy dla każdego niezerowego wektora $\mathbf {x}$ istnieje taki wektor $\mathbf {y} ,$ dla którego $B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\neq 0.$ Własność tę przyjmuje się często jako definicję niezdegenerowania w przypadku przestrzeni skończonego wymiaru.

Dla dowolnego przekształcenia $\mathrm {A} \colon V\to V^{*}$ wzór

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathrm {A} (\mathbf {x} )(\mathbf {y} ).$

definiuje formę dwuliniową $B$ na przestrzeni $V.$ Jest ona niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathrm {A}$ jest izomorfizmem.

Formy dwuliniowe $B_{1}$ oraz $B_{2}$ określone odpowiednio na $V_{1}$ i $V_{2}$ nazywa się równoważnymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm $\mathrm {C} \colon V_{1}\to V_{2},$ który spełniałby

$B_{2}{\big (}\mathrm {C} (\mathbf {x} ),\mathrm {C} (\mathbf {y} ){\big )}=B_{1}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).$

Zapisanie obu form dwuliniowych we współrzędnych oznacza przejście do przestrzeni współrzędnych; powyższa definicja mówi wtedy, że za równoważne uważa się te formy dwuliniowe, dla których istnieje liniowa zamiana zmiennych między ich przedstawieniami (w przypadku form symetrycznych wystarczy zadbać o przejście wartości „na przekątnych”; zob. kolejną sekcję).

Przestrzeń liniową $V$ z formą dwuliniową $B$ tworzy przestrzeń dwuliniową $(V,B);$ przestrzeń liniowa z symetryczną formą dwuliniową (tzw. „uogólnionym iloczynem skalarnym”) nazywa się przestrzenią ortogonalną, jeśli jest ona dodatkowo niezdegenerowana, to nazywa się ją przestrzenią unitarną; zaś przestrzeń z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą to przestrzeń symplektyczna. Z kolei dwie przestrzenie liniowe związane (zwykle niezdegenerowaną) formą dwuliniową tworzą parę dwoistą.

Macierz formy

W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru $n$ powyższe własności można przetłumaczyć na język macierzy. Ustalenie bazy $E=\{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}$ w $V$ oznacza wybranie izomorfizmu $V\to K^{n}$ odwzorowującego wektor $\mathbf {x}$ w wektor współrzędnych $\mathbf {x} _{E},$ którego współrzędne można zapisać w macierzy jednokolumnowej (tzw. wektorze kolumnowym) $\mathbf {X} .$ Dzięki temu w zupełnie analogiczny sposób jak ma to miejsce dla przekształceń liniowych i ich macierzy działanie formy dwuliniowej $B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ można zapisać w standardowej notacji macierzowej jako $\mathbf {X} \cdot \mathbf {BY} =\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\mathbf {BY} ,$ gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny przestrzeni współrzędnych $K^{n}.$ Macierz kwadratową

$\mathbf {B} ={\big [}B(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}){\big ]}_{ij}$

stopnia $n$ nazywa się wtedy macierzą formy dwuliniowej (macierzą funkcjonału dwuliniowego) $B$ w bazie $E$ (w przypadku przestrzeni unitarnej jest to odpowiednik macierzy Grama iloczynu skalarnego wyrażonego w tej bazie). Jest ona macierzą przekształcenia $B_{\mathrm {R} }$ przy czym wybór ten jest arbitralny: macierz $\mathbf {B}$ jest macierzą $B_{\mathrm {L} }$ przy wyborze działania $B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {BX} \cdot \mathbf {Y} =(\mathbf {BX} )^{\mathrm {T} }\mathbf {Y} .$ Przekształceń $B_{\mathrm {L} },B_{\mathrm {R} }\colon V\to V^{*},$ w przeciwieństwie do ich macierzy, nie można składać – podejście tłumaczące wynik złożenia macierzy na przekształcenia, a przy tym niewyróżniające żadnego z nich opisano dalej.

W przestrzeni z ustaloną bazą równoważność przedstawień (macierzy) form dwuliniowych wyraża się następująco: jeśli $E,F$ są dwiema bazami $V,$ to macierze $\mathbf {B} _{E}$ i $\mathbf {B} _{F}$ przekształcenia dwuliniowego $B$ są przystające, tzn.

$\mathbf {B} _{F}=\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} _{E}\mathbf {C} ,$

gdzie $\mathbf {C}$ oznacza macierz zamiany współrzędnych $\mathrm {M} (\mathrm {id} )_{E}^{F}$ od $E$ do $F.$ Ogólniej: macierze $\mathbf {A}$ i $\mathbf {B}$ są przystające, tzn.

$\mathbf {B} =\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {C} ,$

dla pewnej macierzy odwracalnej $\mathbf {C} ,$ gdy są macierzami tej samej formy dwuliniowej.

Wprost z definicji wynika, że forma dwuliniowa jest symetryczna bądź antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest macierz symetryczna bądź antysymetryczna. Forma dwuliniowa jest alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest antysymetryczna i wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe zeru (co wynika z antysymetryczności dla ciał o charakterystyce różnej od 2).

Jeśli macierz $\mathbf {B}$ formy dwuliniowej $B$ jest nieosobliwa (odwracalna), to samą formę $B$ nazywa się niezdegenerowaną lub także nieosobliwą (podobnie mówi się wtedy o samej przestrzeni $(V,B)$); w przeciwnym przypadku formę (lub przestrzeń dwuliniową) nazywa się zdegenerowaną lub osobliwą. Rzędem formy dwuliniowej $B$ bądź przestrzeni $(V,B)$ nazywa się rząd macierzy $\mathbf {B}$ tej formy (jest on dobrze określony, gdyż nie zależy od wyboru bazy ze względu na fakt, iż macierze przystające mają równe rzędy).

Przykłady

• Przestrzeń trywialna (zerowymiarowa) ma jedną formę dwuliniową, która nie ma macierzy (ma macierz pustą, tzn. typu $0\times 0$).
• Jeśli $K^{n}$ jest przestrzenią współrzędnych z bazą standardową $\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n},$ to każda forma dwuliniowa $B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ na tej przestrzeni liniowej jest postaci

$\sum _{i,j=1}^{n}x_{i}y_{j}b_{ij},$

gdzie $b_{ij}=B(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}).$

• Jeśli $x_{0}$ jest ustalonym punktem przestrzeni liniowej $X^{*}$ form (funkcjonałów) na $X,$ to wzór

$B(f,g)=f(x_{0})g(x_{0})$

zadaje formę dwuliniową na tej przestrzeni.

• Jeśli $(V,B)$ jest przestrzenią dwuliniową, zaś $W$ jest podprzestrzenią $V,$ to zawężenie $B$ do $W$ daje podprzestrzeń dwuliniową $(W,B|_{W}),$ oznaczaną też po prostu $(W,B)$ (konstrukcję tę można również przeprowadzić za pomocą przestrzeni ilorazowej); podprzestrzeń dziedziczy własności refleksywności, alternacyjności, symetryczności i antysymetryczności z przestrzeni wyjściowej, lecz niekoniecznie jej niezdegenerowania; jeśli $K=\mathbb {R} ,$ zaś $B$ jest dodatnio określona (tzn. $B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0$ dla dowolnego $\mathbf {x} \neq 0$), to własność ta zachodzi dla dowolnej niezerowej podprzestrzeni $W\subseteq V,$ skąd $B|_{W}$ jest również dodatnio określona, a zatem niezdegenerowana.
• Jeżeli $(V_{1},B_{1})$ i $(V_{2},B_{2})$ są przestrzeniami dwuliniowymi na tym samym ciałem, to suma prosta $V_{1}\oplus V_{2}$ wraz z formą dwuliniową $(B_{1}\oplus B_{2})((\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}),(\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2}))=B_{1}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1})+B_{2}(\mathbf {x} _{2},\mathbf {y} _{2})$ staje się podprzestrzenią dwuliniową; jeśli obie formy $B_{1}$ oraz $B_{2}$ są jednocześnie symetryczne, alternujące, antysymetryczne bądź refleksywne, to $B_{1}\oplus B_{2}$ również ma tę samą własność. Konstrukcję tę nazywa się ortogonalną sumą prostą przestrzeni $V_{1}$ oraz $V_{2}.$
• Jeśli $\mathrm {C} [a,b]$ oznacza przestrzeń liniową funkcji ciągłych $[a,b]\to \mathbb {R} ,$ to funkcja $\mathrm {I} \colon \mathrm {C} [a,b]\times \mathrm {C} [a,b]\to \mathbb {R}$ dana wzorem

$\mathrm {I} (f,g)=\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\ \mathrm {d} x$

definiuje zdegenerowaną formę dwuliniową na tej przestrzeni: nie jest ona surjektywna, gdyż np. forma delta Diraca należy do jej przestrzeni sprzężonej (topologicznie), ale nie ma wymaganej postaci; z drugiej strony forma $\mathrm {I}$ spełnia skończeniewymiarową definicję niezdegenerowania.

• Każdy iloczyn skalarny na przestrzeni unitarnej jest niezdegenerowaną formą dwuliniową, gdyż jego macierz w dowolnej bazie (macierz Grama) jest odwracalna: wyznacznik układu liniowo niezależnego jest różny od zera bądź wynika to wprost z dodatniej określoności iloczynu skalarnego. Z definicji jest on także symetryczny.
• Niech dla przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ dobrane będą nieujemne liczby całkowite $p,q$ spełniające $p+q=n.$ Wzór

$\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\ldots -x_{n}y_{n},$

gdzie $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})$ oraz $\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{n}),$ dany jest w notacji macierzowej jako

$\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {X} {\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{p}&{\boldsymbol {\Theta }}\\{\boldsymbol {\Theta }}&-\mathbf {I} _{q}\end{bmatrix}}\mathbf {Y} ,$

gdzie $\mathbf {X} =[x_{1}\ \dots \ x_{n}]$ oraz $\mathbf {Y} =[y_{1}\ \dots \ y_{n}]^{\mathrm {T} },$ zaś $\mathbf {I} _{k}$ oznacza kwadratową podmacierz jednostkową stopnia $k,$ a ${\boldsymbol {\Theta }}$ oznacza podmacierz zerową, definiuje formę dwuliniową, która czyni z przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n}$ tzw. przestrzeń pseudoeuklidesową $\mathbb {R} ^{p,q}.$ Przypadki $\mathbb {R} ^{1,3}$ oraz $\mathbb {R} ^{3,1}$ to modele przestrzeni Minkowskiego. Z twierdzenia Sylvestera o bezwładności form kwadratowych wynika, że każda niezdegenerowana (rezygnując z nieosobliwości dopuszcza się zera na przekątnej), symetryczna forma dwuliniowa ma w pewnej bazie (przestrzeni liniowej nad ciałem charakterystyki różnej od 2) powyższą postać.

Ortogonalność

Za pomocą formy dwuliniowej można wprowadzić pojęcie (uogólnionej) ortogonalności: wektory $\mathbf {x}$ i $\mathbf {y}$ są ortogonalne, co zapisuje się $\mathbf {x} \perp \mathbf {y} ,$ względem dwuliniowej formy $B$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.$

Dla podprzestrzeni $W$ oraz wektora $\mathbf {x}$ przestrzeni $V$ pisze się $\mathbf {x} \perp W,$ jeżeli $\mathbf {x} \perp \mathbf {w}$ dla wszystkich $\mathbf {w}$ z przestrzeni $W;$ podobnie $W\perp \mathbf {x}$ oraz $U\perp W,$ gdzie $U$ jest pewną podprzestrzenią liniową (definicje te rozszerza się często na dowolne podzbiory). Relacja $\mathbf {x} \perp \mathbf {y}$ nie musi pociągać, ani być pociągana przez $\mathbf {y} \perp \mathbf {x} .$ Najważniejszymi formami dwuliniowymi są te, dla których relacja $\perp$ jest symetryczna, tzn.

$\mathbf {x} \perp \mathbf {y} \Leftrightarrow \mathbf {y} \perp \mathbf {x} ,$

co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy forma ją definiująca jest refleksywna (tzn. symetryczna bądź alternująca). Wówczas dla dowolnej podprzestrzeni $W$ można zdefiniować zbiór

$W^{\perp }=\{\mathbf {x} \colon \mathbf {x} \perp \mathbf {y} \mathrm {\;dla\;ka{\dot {z}}dego\;} \mathbf {y} \in W\}$

tworzący przestrzeń liniową (gdyż jest to jądro $B_{\mathrm {L} },$ bądź $B_{\mathrm {R} }$ na mocy symetryczności) nazywaną dalej podprzestrzenią ortogonalną do $W$; w literaturze częściej spotyka się nazwę „dopełnienie ortogonalne”, choć w ogólnym przypadku wcale nie musi być dopełnieniem, gdyż może się zdarzyć, iż $W+W^{\perp }\neq V.$ Wektory należące do tej części wspólnej (tzw. podprzestrzeni izotropowej), tzn. wektory $\mathbf {x}$ spełniające $\mathbf {x} \perp \mathbf {x}$ (prostopadłe do samych siebie), nazywa się izotropowymi; wektory niespełniające tego warunku nazywane są czasem nieizotropowymi bądź anizotropowymi. Zachodzi wzór $\dim W+\dim W^{\perp }=\dim V$. Podprzestrzeń ortogonalna jest trywialna (czyli dana przestrzeń nie ma niezerowych wektorów izotropowych), tzn. przestrzeń $V$ jest sumą prostą $W\oplus W^{\perp },$ wtedy i tylko wtedy, gdy forma dwuliniowa jest niezdegenerowana (jedynym anizotropowym wektorem przestrzeni unitarnej jest zero, gdyż dodatnia określoność iloczynu skalarnego pociąga jego niezdegenerowanie, zob. przedostatni przykład). Wówczas dla dowolnych podprzestrzeni $W_{1},W_{2}$ przestrzeni $V$ jest $(W_{1}+W_{2})^{\perp }=W_{1}^{\perp }\cap W_{2}^{\perp }$ oraz $(W_{1}\cap W_{2})^{\perp }=W_{1}^{\perp }+W_{2}^{\perp }$ i zachodzi również $\left(W^{\perp }\right)^{\perp }=W,$ zaś podprzestrzeń $W$ jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy $W^{\perp }$ jest niezdegenerowana. Warunki $V=W\oplus W^{\perp }$ oraz $\dim V=\dim W+\dim W^{\perp }$ nie są równoważne – pierwszy pociąga drugi, lecz implikacja odwrotna jest fałszywa: podprzestrzenie $W$ i $W^{\perp }$ mogą mieć nietrywialne przecięcie, choć suma ich wymiarów może uzupełniać się do wymiaru przestrzeni; zgodnie z powyższymi obserwacjami wspomniana równość dotycząca wymiarów jest prawdziwa, gdy $V$ jest niezdegenerowana, a $W$ jest dowolna albo gdy $V$ jest dowolna, a $W$ jest niezdegenerowana.

Układ $(\mathbf {x} _{i})_{i}$ wektorów przestrzeni $V$ nazywa się ortogonalnym, jeżeli dla dowolnych $i\neq j$ zachodzi $\mathbf {x} _{i}\perp \mathbf {x} _{j}.$ Dowolny układ ortogonalny wektorów anizotropowych jest liniowo niezależny. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru wyposażonej w symetryczną formę dwuliniową jej bazę nazywa się ortogonalną, jeżeli tworzy ona układ ortogonalny; niech $\{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}$ oznacza bazę ortogonalną przestrzeni $V.$ Geometrycznie stanowi ona rozkład $V$ na ortogonalną sumę prostą $W_{1}\oplus \ldots \oplus W_{n}$ prostych $W_{i}=K\mathbf {e} _{i}.$ Pojęcie bazy ortonormalnej, czyli takiej bazy ortogonalnej, dla której $B(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{i})=1$ (znanej z przestrzeni euklidesowych) nie znajduje właściwie zastosowań w ogólnej sytuacji, gdyż może ona po prostu nie istnieć. Każda skończeniewymiarowa przestrzeń ortogonalna nad ciałem charakterystyki różnej od 2 ma bazę ortogonalną (wynika stąd, że każda macierz symetryczna przystaje do macierzy diagonalnej, zob. ostatni przykład; ponadto $V$ jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathbf {e} _{i}\not \perp \mathbf {e} _{i}$ dane wzorem $W\mapsto W^{\perp },$ gdzie $\mathrm {PG} (V)$ oznacza zbiór wszystkich podzbiorów przestrzeni $V$ tworzący przestrzeń rzutową, nazywa się biegunowością ortogonalną na przestrzeni $\mathrm {PG} (W).$ W ten sposób powstają wszystkie biegunowości ortogonalne, a dwie symetryczne formy dwuliniowe indukują tę samą biegunowość wtedy i tylko wtedy, gdy są równe co do mnożenia przez skalar.

Symplektyczność

Zamieniając warunek symetryczności formy dwuliniowej na alternacyjność można wprowadzić analogon baz ortogonalnych w postaci tzw. baz symplektycznych. Niech dana będzie przestrzeń $(V,B)$ z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą. Wówczas jej wymiar $\dim V=2m$ jest dodatnią liczbą parzystą. Bazą symplektyczną przestrzeni $V$ nazywa się układ wektorów $\mathbf {e} _{1},\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{m},\mathbf {f} _{m},$ który spełnia $B(\mathbf {e} _{i},\mathbf {f} _{i})=1$ oraz dla której płaszczyzny $\langle \mathbf {e} _{i}\rangle +\langle \mathbf {f} _{i}\rangle$ są ortogonalne. Ponadto z alternacyjności wynika $B(\mathbf {f} _{i},\mathbf {e} _{i})=-1.$ Dowolne dwie przestrzenie z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą są równoważne; w szczególności w przestrzeni ustalonego parzystego wymiaru istnieje tylko jedna niezdegenerowana, alternująca forma dwuliniowa. Formę dwuliniową na $K^{2m},$ która ma w bazie standardowej $\mathbf {e} _{1},\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{m},\mathbf {f} _{m}$ macierz złożoną z klatek postaci $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right]$ na głównej przekątnej i podmacierzy zerowych ${\boldsymbol {\Theta }}$ w pozostałych miejscach, nazywa się standardową formą alternującą bądź formą objętości na tej przestrzeni. W bazie Darboux $\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{m},\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{m}$ ma ona postać

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\Theta }}&\mathbf {I} _{m}\\\mathbf {-I} _{m}&{\boldsymbol {\Theta }}\end{bmatrix}},$

gdzie $\mathbf {I} _{m}$ jest podmacierzą jednostkową stopnia $m.$

Jak wspomniano wyżej, pojęcie podprzestrzeni ortogonalnej można również zdefiniować dla form alternujących; podprzestrzeń $W$ nazywa się

• symplektyczną, jeżeli $W^{\perp }\cap W=\{\mathbf {0} \},$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $B$ zawężona do $W$ jest niezdegenerowana.
• izotropową, jeśli $W\subseteq W^{\perp },$ co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $B$ zawężona do $W$ jest tożsamościowo równa zeru (każda podprzedstrzeń jednowymiarowa jest izotropowa).
• koizotropową, gdy $W^{\perp }\subseteq W,$ czyli wtedy i tylko wtedy, gdy $B$ przeniesiona na przestrzeń ilorazową $W/W^{\perp }$ jest niezdegenerowana, co jest równoważne izotropowości $W^{\perp }$ (każda podprzestrzeń kowymiaru 1 jest koizotropowa).
• Lagrange’a, jeżeli $W=W^{\perp },$ tzn. gdy jest zarazem izotropowa i koizotropowa; w przestrzeniach skończonego wymiaru podprzestrzenie te mają wymiar równy połowie wymiaru $V;$ każdą podprzestrzeń izotropową można rozszerzyć tak, by była Lagrange’a (zob. grassmannian Lagrange'a).

Wyznacznik dowolnej nieosobliwej macierzy alternującej (antysymetrycznej) $\mathbf {M}$ nad ciałem $K$ jest kwadratem pewnej liczby z $K$, nazywa się go pfaffianem $\mathrm {Pf} (\mathbf {M} )$ tej macierzy – jest to zatem uniwersalna konstrukcja pierwiastka wyznacznika odwracalnych macierzy alternujących (z dokładnością do znaku). Dla dowolnych macierzy kwadratowych $\mathbf {M}$ i $\mathbf {C}$ parzystego stopnia $n$ zachodzi ponadto

$\mathrm {Pf} \left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\mathbf {MC} \right)=\det \mathbf {C} \ \mathrm {Pf} \,\mathbf {M} ,$

gdzie $\mathbf {M}$ jest macierzą alternującą. Dodatkowo $\mathrm {Pf} \left(\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\right)=(-1)^{n/2}\mathrm {Pf} \,\mathbf {M} .$ Jeżeli $\mathbf {M}$ jest nieodwracalna, to $\mathrm {Pf} \,\mathbf {M} =0;$ jeśli $\mathbf {C}$ jest macierzą zamiany współrzędnych do bazy standardowej odwracalnej macierzy $\mathbf {M}$ (tzn. $\mathbf {M}$ i $\mathbf {C}$ są takimi macierzami odwracalnymi, że $\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\mathbf {MC}$ jest standardową formą alternującą na przestrzeni), to $\mathrm {Pf} \,\mathbf {M} =1/\det \mathbf {C} .$

Iloczyny tensorowe

O formach dwuliniowych na przestrzeni liniowej można myśleć jak o przekształceniach liniowych danej przestrzeni w przestrzeń dualną, co opisano w sekcji o macierzy formy; konstrukcja iloczynu tensorowego umożliwia traktowanie form dwuliniowych jako przekształceń liniowych: na mocy własności uniwersalnej iloczynu tensorowego forma dwuliniowa $B$ na przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K$ pozostaje we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z formą liniową $V\otimes _{K}V\to K$ daną wzorem

$\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} \mapsto B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).$

Z definicji formy liniowe tworzą przestrzeń dualną; w ten sposób przestrzeń $\mathrm {Bil} (V)$ form dwuliniowych na $V$ jest naturalnie izomorficzna z $(V\otimes _{K}V)^{*},$ którą można z kolei w naturalny sposób utożsamiać z $V^{*}\otimes V^{*}=\left(V^{*}\right)^{\otimes 2}$ poprzez odwzorowanie $(\varphi \otimes \psi )(\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} )=\varphi (\mathbf {x} )\psi (\mathbf {y} ).$ Spojrzenie to tłumaczy zatem, złożeniem których przekształceń liniowych jest mnożenie macierzy form dwuliniowych.

Niech $\mathrm {Hom} _{K}(V,W)$ oznacza przestrzeń liniową przekształceń liniowych $V\to W.$ Przekształceniu dwuliniowemu $V\times W\to U,$ gdzie $U,V,W$ są dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K$ odpowiada przekształcenie liniowe $V\otimes _{K}W\to U,$ przy czym zachodzą następujące izomorfizmy naturalne:

$\mathrm {Hom} _{K}(V\otimes _{K}W,U)\simeq \mathrm {Hom} _{K}{\big (}V,\mathrm {Hom} _{K}(W,U){\big )}$

oraz

$\mathrm {Hom} _{K}(V\otimes _{K}W,U)\simeq \mathrm {Hom} _{K}{\big (}W,\mathrm {Hom} _{K}(V,U){\big )}.$

Pierwszy z nich przekształca $\mathrm {A} \in \mathrm {Hom} _{K}(V\otimes _{K}W,U)$ w $\mathbf {x} \mapsto [\mathbf {y} \mapsto \mathrm {A} (\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} )],$ drugi zaś w $\mathbf {y} \mapsto [\mathbf {x} \mapsto \mathrm {A} (\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} )].$ Jeśli $V=W,$ a $U=K$ (ciało taktowane jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa nad sobą), to stają się one dwoma różnymi izomorfizmami $(V\otimes _{K}V)^{*}$ na $\mathrm {Hom} _{K}(V,V^{*}),$ mianowicie $B\mapsto B_{\mathrm {L} }$ oraz $B\mapsto B_{\mathrm {R} }.$

Dwie szczególne klasy form dwuliniowych, formy symetryczne oraz alternujące, można opisać w języku potęg symetrycznej i zewnętrznej. Forma symetryczna postrzegana jako forma liniowa $V\otimes _{K}V\to K$ jest symetryczna, jeżeli znikają dla niej wszystkie tensory postaci $\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} -\mathbf {y} \otimes \mathbf {x}$ i alternująca, jeśli znikają dla niej tensory postaci $\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} .$ W ten sposób forma dwuliniowa symetryczna może być traktowana jako forma liniowa $\mathrm {Sym} ^{2}(V)\to K$ odwzorowująca $\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \mapsto B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),$ gdzie kropka oznacza iloczyn symetryczny (wewnętrzny) w $\mathrm {Sym} ^{2}(V);$ formy alternujące utożsamia się z kolei z przekształceniami $\mathrm {Alt} ^{2}(V)\to K$ danymi wzorem $\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} \mapsto B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),$ gdzie $\wedge$ oznacza iloczyn alternujący (zewnętrzny). Ponieważ formy liniowe tworzą przestrzeń dualną, to symetryczne formy dwuliniowe są elementami $\mathrm {Sym} ^{2}(V)^{*},$ zaś alternujące formy dwuliniowe to elementy $\mathrm {Alt} ^{2}(V)^{*},$ przy czym można utożsamić te przestrzenie odpowiednio z drugą potęgą symetryczną $\mathrm {Sym} ^{2}(V^{*})$ i drugą potęgą zewnętrzną $\mathrm {Alt} ^{2}(V^{*})$ przestrzeni $V^{*}.$

Ponieważ $\mathrm {Sym} ^{2}(V)$ i $\mathrm {Alt} ^{2}(V)$ są dobrze określone jako przestrzenie ilorazowe $V^{\otimes 2},$ to poza ciałem charakterystyki 2 można je utożsamiać z odpowiednimi podprzestrzeniami $V^{\otimes 2},$ mianowicie pisząc $\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} +\mathbf {y} \otimes \mathbf {x}$ zamiast $\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \in \mathrm {Sym} ^{2}(V)$ oraz $\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} -\mathbf {y} \otimes \mathbf {x}$ w miejsce $\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} \in \mathrm {Alt} ^{2}(V).$ W ten sposób $V^{\otimes 2}=\mathrm {Sym} ^{2}(V)\oplus \mathrm {Alt} ^{2}(V)$ na mocy wzoru $\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} +\mathbf {y} \otimes \mathbf {x} )+{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} -\mathbf {y} \otimes \mathbf {x} ).$ Zamieniając $V$ na $V^{*}$ otrzymuje się $\left(V^{*}\right)^{\otimes 2}=\mathrm {Sym} ^{2}(V^{*})\oplus \mathrm {Alt} ^{2}(V^{*})$ poza ciałem charakterystyki 2, czyli przedstawienie ogólnej formy dwuliniowej w postaci jednoznacznej sumy form dwuliniowych symetrycznej i antysymetrycznej (zob. własności).

Zastosowania

Teoria form dwuliniowych znajduje zastosowanie w wielu działach matematyki:

• w analizie wielowymiarowej formą dwuliniową jest druga pochodna w przestrzeni euklidesowej – przy odpowiednich założeniach (twierdzenie Clairaut bądź Schwarza) jest ona symetryczna (a jej macierzą w ustalonej bazie jest macierz Hessego)
• w rachunku wariacyjnym określoność tej formy dwuliniowej mówi o kształcie hiperpowierzchni (ekstremum, siodło) wokół punktu krytycznego danej formy (funkcjonału)
• w geometrii rzutowej formy dwuliniowe służą ustaleniu dualności i umożliwiają zdefiniowanie kolineacji, a przede wszystkim korelacji (konstrukcja dopełnienia ortogonalnego dla niezdegenerowanej formy dwuliniowej stanowi jej uogólnienie), dodanie warunku inwolutywności korelacji pozwala na badanie biegunowości
• w analizie funkcjonalnej ograniczone i eliptyczne (koercywne) formy dwuliniowe na przestrzeni Hilberta występujące w twierdzeniu Laxa-Milgrama mówią o jednoznaczności słabych rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych (z różnymi zagadnieniami brzegowymi), w tym równania Poissona pojawiającego się m.in. w elektrostatyce czy w problemach mechaniki ośrodków ciągłych;
• rzeczywiste przestrzenie liniowe wyposażone w niezdegenerowane dwuliniowe formy alternujące są lokalnymi modelami dla przestrzeni fazowych w mechanice hamiltonowskiej.
• dodatnio określone, symetryczne formy dwuliniowe odgrywają istotną rolę w analizie (rzeczywiste przestrzenie Hilberta), jak i w geometrii (rozmaitości riemannowskie);
• niezdegenerowane symetryczne formy dwuliniowe pojawiają się w szczególnej teorii względności, gdzie bada się przestrzenie pseudoeuklidesowe (zob. ostatni przykład)
• niezdegenerowane symetryczne formy dwuliniowe pojawiają się w ogólnej teorii względności, gdzie bada się rozmaitości pseudoriemannowskie

Zobacz też

Typy form

• forma
• forma kwadratowa
• forma liniowa
• forma półtoraliniowa
• forma wieloliniowa

Własności

• określoność formy

Przykłady form w geometrii

• metryka euklidesowa
• metryka pseudoriemannowska
• metryka riemannowska

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.brak strony w książce
• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.