Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
drobne techniczne |
drobne redakcyjne |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Wartość oczekiwana''' |
'''Wartość oczekiwana''' – w [[teoria prawdopodobieństwa|rachunku prawdopodobieństwa]] wartość wskazująca spodziewany wynik doświadczenia losowego; należy mieć na uwadze, że wartość ta nie musi oznaczać żadnego z elementów [[przestrzeń zdarzeń elementarnych|przestrzeni próbek]]. Innymi słowy jest to pierwszy [[moment zwykły]]. [[Estymator]]em wartości oczekiwanej [[rozkład cechy|rozkładu cechy]] w populacji jest [[średnia arytmetyczna]]. Wartość oczekiwana nazywana jest też '''wartością średnią''' lub '''wartością przeciętną''', dawniej używano także nazwy „nadzieja matematyczna” (od fr. ''espérance mathématique''), stąd też pochodzi częste jej oznaczenie w postaci różnego rodzaju stylizacji [[E|litery „E”]]. |
||
== Definicja == |
== Definicja == |
||
Linia 11: | Linia 11: | ||
=== Zmienna ciągła === |
=== Zmienna ciągła === |
||
Jeżeli <math>X</math> jest [[ciągły rozkład prawdopodobieństwa|zmienną losową typu ciągłego]] zdefiniowaną na [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)</math>, to '''wartość oczekiwaną''' zmiennej losowej <math>X</math> definiuje się jako [[całka Lebesgue'a|całkę]] |
Jeżeli <math>X</math> jest [[ciągły rozkład prawdopodobieństwa|zmienną losową typu ciągłego]] zdefiniowaną na [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)</math>, to '''wartość oczekiwaną''' zmiennej losowej <math>X</math> definiuje się jako [[całka Lebesgue'a|całkę Lebesgue'a]] |
||
: <math>\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P</math> |
: <math>\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P</math> |
||
o ile |
o ile <math>X</math> jest [[funkcja całkowalna|sumowalna]], tzn. jeżeli |
||
: <math>\mathbb E|X| = \int\limits_\Omega |X| d\mathbb P < +\infty</math>. |
: <math>\mathbb E|X| = \int\limits_\Omega |X| d\mathbb P < +\infty</math>. |
||
Linia 30: | Linia 30: | ||
* <math>\mathbb E|X| \geqslant |\mathbb EX|</math>. |
* <math>\mathbb E|X| \geqslant |\mathbb EX|</math>. |
||
== Mechanika kwantowa == |
|||
== Wartość oczekiwana w mechanice kwantowej == |
|||
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]]. Wartość oczekiwana [[ |
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]]. Wartość oczekiwana [[obserwabla|obserwabli]], której odpowiada [[operator hermitowski]] <math>\hat{A}</math> dla [[stan kwantowy|stanu kwantowego]] układu opisywanego [[funkcja falowa|funkcją falową]] <math>\psi</math> wynosi |
||
: <math>\langle\hat{A}\rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi d \tau </math>, |
|||
gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu. |
|||
W [[notacja Diraca|notacji Diraca]] wzór ten |
W [[notacja Diraca|notacji Diraca]] wzór ten przybiera postać: |
||
<math>\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle</math>. |
: <math>\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle</math>. |
||
[[Zasada nieoznaczoności|Nieoznaczoność]] wartości oczekiwanej <math>\hat{A}</math>, czyli [[wariancja]] <math>\hat{A}</math>, wynosi <math>(\Delta\hat{A})^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2</math>. |
[[Zasada nieoznaczoności|Nieoznaczoność]] wartości oczekiwanej <math>\hat{A}</math>, czyli [[wariancja]] <math>\hat{A}</math>, wynosi |
||
: <math>(\Delta\hat{A})^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2</math>. |
|||
== Zobacz też == |
== Zobacz też == |
Wersja z 03:00, 23 sie 2010
Wartość oczekiwana – w rachunku prawdopodobieństwa wartość wskazująca spodziewany wynik doświadczenia losowego; należy mieć na uwadze, że wartość ta nie musi oznaczać żadnego z elementów przestrzeni próbek. Innymi słowy jest to pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna. Wartość oczekiwana nazywana jest też wartością średnią lub wartością przeciętną, dawniej używano także nazwy „nadzieja matematyczna” (od fr. espérance mathématique), stąd też pochodzi częste jej oznaczenie w postaci różnego rodzaju stylizacji litery „E”.
Definicja
Zmienna dyskretna
Niech będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw, z jakimi są one przyjmowane.
Formalnie, jeżeli dyskretna zmienna losowa przyjmuje wartości z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio , to wartość oczekiwana zmiennej losowej wyraża się wzorem
- .
Jeżeli zmienna przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, to wzór na jej wartość oczekiwaną ma w miejsce (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny).
Zmienna ciągła
Jeżeli jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej , to wartość oczekiwaną zmiennej losowej definiuje się jako całkę Lebesgue'a
o ile jest sumowalna, tzn. jeżeli
- .
Własności
Jeśli jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa , to jej wartość oczekiwana wynosi
- .
Jeżeli jest funkcją mierzalną, to
- .
Jeśli istnieją oraz , to:
- , gdzie jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
- (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
- jeżeli są niezależne, to ,
- jeżeli prawie wszędzie, to ,
- .
Mechanika kwantowa
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator hermitowski dla stanu kwantowego układu opisywanego funkcją falową wynosi
- ,
gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
W notacji Diraca wzór ten przybiera postać:
- .
Nieoznaczoność wartości oczekiwanej , czyli wariancja , wynosi
- .