Rozmaitość różniczkowa: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Dodano "Zobacz też" -> rozmaitość różniczkowalna -- powinno się scalić z tym artykułem. |
|||
Linia 16: | Linia 16: | ||
Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa '''uogólnionym dyfeomorfizmem''' lub po prostu [[dyfeomorfizm|dyfeomorfizmem,]] rozszerzając w ten sposób jego definicję. |
Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa '''uogólnionym dyfeomorfizmem''' lub po prostu [[dyfeomorfizm|dyfeomorfizmem,]] rozszerzając w ten sposób jego definicję. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Rozmaitości różniczkowe klasy <math>C^0</math>, <math>C^n</math> oraz <math>C^\omega</math> == |
== Rozmaitości różniczkowe klasy <math>C^0</math>, <math>C^n</math> oraz <math>C^\omega</math> == |
||
Linia 25: | Linia 22: | ||
* '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^n</math>''' nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy <math>C^n</math>, gdzie <math>n \in \mathbb N\cup \{\infty\}</math>. |
* '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^n</math>''' nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy <math>C^n</math>, gdzie <math>n \in \mathbb N\cup \{\infty\}</math>. |
||
* '''Rozmaitością klasy <math>C^\omega</math>''' nazywa się rozmaitość analityczną. |
* '''Rozmaitością klasy <math>C^\omega</math>''' nazywa się rozmaitość analityczną. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[Kategoria:Topologia]] |
[[Kategoria:Topologia]] |
||
[[Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy]] |
[[Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy]] |
Wersja z 19:32, 4 kwi 2018
Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem rozmaitość różniczkowalna (dyskusja). Nie opisano powodu propozycji integracji. |
Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem rozmaitość gładka (dyskusja). Nie opisano powodu propozycji integracji. |
Ten artykuł od 2012-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Rozmaitość różniczkowa (rozmaitość różniczkowalna) – rozmaitość topologiczna, którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych), przy czym każdy punkt poszczególnych podzbiorów da się opisać za pomocą współrzędnych uogólnionych będących funkcjami co najmniej klasy , tj. posiadających ciągłe pochodne w każdym punkcie tego podzbioru.
Podzbiory, na jakie dzieli się daną rozmaitość, nazywa się mapami, a zbiór map nazywa się atlasem. Bez założenia wielości map wiele rozmaitości nie można by zaliczyć do rozmaitości różniczkowych. Np. sferę, dla której nie istnieje globalny układ współrzędnych, można przedstawić jako sumę dwóch częściowo pokrywających się części, których punkty da się opisać za pomocą odpowiednio dobranych współrzędnych sferycznych (będących funkcjami klasy ).
Rozmaitość różniczkowa klasy
Definicja:
Zbiór nazywa się rozmaitością różniczkową (klasy i wymiaru , ), gdy:
- istnieje w otwarte otoczenie oraz zbiór otwarty i
- homeomorfizm taki, że odwzorowanie jest klasy i różniczka jest iniekcją dla każdego .
Funkcję nazywamy mapą rozmaitości, zaś jej parametryzacją.
Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa uogólnionym dyfeomorfizmem lub po prostu dyfeomorfizmem, rozszerzając w ten sposób jego definicję.
Rozmaitości różniczkowe klasy , oraz
W definicji rozmaitości można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez żądanie, by funkcja była nie klasy ale wyższej. Wprowadza się przy tym definicje:
- Rozmaitością różniczkową klasy nazywa się rozmaitość topologiczną, która nie posiada map klasy .
- Rozmaitością różniczkową klasy nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy , gdzie .
- Rozmaitością klasy nazywa się rozmaitość analityczną.