Liczba przeciwna: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja nieprzejrzana]

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 16:11, 5 lip 2018

Liczba przeciwna do danej liczby $a,\;$ to taka liczba $-a,\;$ że zachodzi:

a+(-a)=0\;

gdzie $0\;$ jest elementem zerowym działania dodawania.

Przykład:

liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3

W szczególności:

liczbą przeciwną do zera jest zero.
liczbą przeciwną do przeciwnej do x jest liczba x.

W zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. grup – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.

W zbiorach liczb naturalnych, oraz w klasach liczb kardynalnych i porządkowych nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w liczbach nadrzeczywistych.

Uogólnienie na grupy uporządkowane

Z punktu widzenia algebry jest to pojęcie elementu odwrotnego do danego wyrażone w terminologii addytywnej.

Jeżeli w grupie jest określony porządek liniowy $\leqslant$ spełniający^[1]^[2]

a\leqslant b\implies (a+c\leqslant b+c\land c+a\leqslant c+b)

to

elementy dla których $a\leqslant 0$ , nazywamy niedodatnimi
elementy dla których $0\leqslant a$ , nazywamy nieujemnymi
elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi
elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi

Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).

Wówczas, jak łatwo sprawdzić:

element przeciwny do dodatniego jest ujemny
element przeciwny do ujemnego jest dodatni

Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem modulo n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.

Zobacz też

Przypisy

↑ PlanetMath: ordered group
↑ Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres [online], books.google.com [dostęp 2017-11-24] .

[1] PlanetMath: ordered group

[2] Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres [online], books.google.com [dostęp 2017-11-24] .

[1]

[2]

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-'''Liczba przeciwna do danej liczby <math>a,\;</math> to taka liczba <math>-a,\;</math> że zachodzi:'''
+'''Liczba przeciwna''' do danej liczby <math>a,\;</math> to taka liczba <math>-a,\;</math> że zachodzi:
+:<math>a+(-a)=0\;</math>
+gdzie <math>0\;</math> jest [[element neutralny|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]].
+Przykład:
-:'''<math>a+(-a)=0\;</math>'''
+* liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3
+W szczególności:
-'''gdzie <math>0\;</math> jest [[element neutralny|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]].'''
+* liczbą przeciwną do zera jest zero.
+* liczbą przeciwną do przeciwnej do ''x'' jest liczba ''x''.
+W zbiorach liczb [[liczby całkowite|całkowitych]], [[liczby wymierne|wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[liczby zespolone|zespolonych]] dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. [[grupa (matematyka)|grup]] – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.
-'''Przykład:'''
+W zbiorach liczb [[liczby naturalne|naturalnych]], oraz w [[klasa (matematyka)|klasach]] [[liczby kardynalne|liczb kardynalnych]] i [[liczby porządkowe|porządkowych]] nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w [[liczby nadrzeczywiste|liczbach nadrzeczywistych]].
-* '''liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3'''
+== Uogólnienie na grupy uporządkowane ==
-'''W szczególności:'''
+Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] jest to pojęcie [[element odwrotny|elementu odwrotnego]] do danego wyrażone w terminologii addytywnej.
+Jeżeli w [[grupa (matematyka)|grupie]] jest określony [[porządek liniowy]] <math>\leqslant</math> spełniający<ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/OrderedGroup.html PlanetMath: ordered group<!-- Tytuł wygenerowany przez bota -->]</ref><ref>{{Cytuj | url=http://books.google.com/books?id=Nmj7LtsOT0sC&pg=PA9&dq=%22ordered+group%22&lr= | tytuł=Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> | opublikowany=books.google.com | data dostępu=2017-11-24}}</ref>
-* '''liczbą przeciwną do zera jest zero.'''
+:<math>a \leqslant b \implies (a + c \leqslant b + c \and c + a \leqslant c + b)</math>
-* '''liczbą przeciwną do przeciwnej do ''x'' jest liczba ''x''.'''
+to
+* elementy dla których <math>a \leqslant 0</math>, nazywamy niedodatnimi
+* elementy dla których <math>0 \leqslant a</math>, nazywamy nieujemnymi
+* elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi
+* elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi
+Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).
+Wówczas, jak łatwo sprawdzić:
-'''W zbiorach liczb [[liczby całkowite|całkowitych]], [[liczby wymierne|wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[liczby zespolone|zespolonych]] dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. [[grupa (matematyka)|grup]] – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.'''
+* element przeciwny do dodatniego jest ujemny
+* element przeciwny do ujemnego jest dodatni
+Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem [[arytmetyka modulo|modulo]] n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.
-'''W zbiorach liczb [[liczby naturalne|naturalnych]], oraz w [[klasa (matematyka)|klasach]] [[liczby kardynalne|liczb kardynalnych]] i [[liczby porządkowe|porządkowych]] nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w [[liczby nadrzeczywiste|liczbach nadrzeczywistych]].'''
+== Zobacz też ==
-== '''Uogólnienie na grupy uporządkowane''' ==
+* [[arytmetyka]]
-'''Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] jest to pojęcie [[element odwrotny|elementu odwrotnego]] do danego wyrażone w terminologii addytywnej.'''
+* [[liczba odwrotna]]
+* [[liczba]]
+== Przypisy ==
-'''Jeżeli w [[grupa (matematyka)|grupie]] jest określony [[porządek liniowy]] <math>\leqslant</math> spełniający'''
+{{Przypisy}}
-:'''<math>a \leqslant b \implies (a + c \leqslant b + c \and c + a \leqslant c + b)</math>'''
-'''to'''
-* '''elementy deeeeela których <math>a \leqslant 0</math>, nazywamy niedodatnimi'''
-* '''elementy dla których <math>0 \leqslant a</math>, nazywamy nieujemnymi'''
-* '''elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi'''
-* '''elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi'''
-'''Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).'''
-'''Wówczas, jak łatwo sprawdzić:'''
-* '''element przeciwny do dodatniego jest ujemny'''
-* '''element przeciwny do ujemnego jest dodatni'''
-'''Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem [[arytmetyka modulo|modulo]] n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebi'''{{Przypisy}}
 [[Kategoria:Arytmetyka]]