Splot Hopfa

Trójwymiarowy model splotu Hopfa

Splot Hopfa – najprostszy nietrywialny splot. Składa się z dwóch okręgów jednokrotnie połączonych. Nazwany imieniem matematyka Heinza Hopfa. W notacji Alexandera-Briggsa jest oznaczany symbolem $2_{1}^{2}$. Jego symbolem w komputerowych bazach danych jest $L2a1$.

Realizacja geometryczna

Konkretny model składa się z dwóch okręgów jednostkowych na prostopadłych płaszczyznach, każdy przechodzący przez środek drugiego. Taki model minimalizuje długość sznurową tego splotu. Do 2002 splot Hopfa był jedynym, dla którego taka długość była znana. Otoczka wypukła tych dwóch okręgów tworzy kształt zwany oloidem .

Własności

• Indeks skrzyżowaniowy splotu wynosi $2$.
• Liczba gordyjska splotu to $1$.
• Nawias Kauffmana splotu Hopfa to

  $-A^{4}-A^{-4}$

• Bez narzuconej orientacji splot Hopfa nie wykazuje chiralności.
• Przy założeniu orientacji składników istnieją dwa różne warianty splotu Hopfa oznaczane słowem „prawy/lewy”, znakiem „+/−” bądź przyrostkiem $\{0\}$ lub $\{1\}$ w symbolu bazodanowym.

Indeks zaczepienia -1

Indeks zaczepienia +1

Dwie różne orientacje splotu Hopfa

Ze względu na różne orientacje następujące niezmienniki mają podwójne wyniki

• Indels zaczepienia wynosi $+1$ lub $-1$.
• Spin (liczba Taita) to $+2$ lub $-2$.
• Wielomiany HOMFLYPT mają postać

  $l^{3}m^{-1}+lm^{-1}-lm$

  $l^{-3}m^{-1}+l^{-1}m^{-1}-l^{-1}m$

• Wielomiany Jonesa to

  $-t^{1/2}-t^{5/2}$

  $-t^{-1/2}-t^{-5/2}$

Pozostałe własności

• Splot Hopfa to węzeł torusowy (2,2) grupy Bn ze słowem elementarnym $\sigma _{1}^{2}$.
• Jest to również splot Brunna.
• Dopełnieniem splotu Hopfa jest $R\times S^{1}\times S^{1},$ czyli walec nad torusem, iloczyn kartezjański torusa i odcinka. Stanowi on grupę przemienną $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$.

Historia

Strukturę w kształcie splotu Hopfa analizował Gauss w swojej pracy o elektrodynamice. Z wzajemnych zależności między polem magnetycznym i elektrycznym wyprowadził niezależny od praw fizyki wzór na relację między dwiema zamkniętymi krzywymi, którą obecnie w topologii określa się mianem indeksu zaczepienia. W swojej notatce z 22 stycznia 1833 opisał ten bezwymiarowy współczynnik jako liczbę zwojów. Stąd w przypadku prawa Ampère’a nazywany jest on liczbą Gaussa.

William Thomson opublikował w 1867 r. pracę, w której wysunął koncepcję budowy atomu opartą na węzłach i splotach. Wśród wymienianych przykładów wirowych rurek był obecny splot Hopfa, który miał reprezentować atom sodu.

W 1931 r. Heinz Hopf opublikował pracę o rozwłóknieniu sfery $S^{3}$ (hipersfery z 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej), czyli utworzeniu jej mapy z wykorzystaniem klasycznej sfery $S^{2}$ w przestrzeni trójwymiarowej. Dla każdego punktu sfery przyporządkowane jest włókno w postaci okręgu. Cechą tego przekształcenia jest to, że dla dowolnych dwóch punktów odpowiadająca im para okręgów tworzy charakterystyczny splot.

Biologia i chemia

• Struktury w postaci splotów Hopfa są obserwowane w budowie niektórych białek .
• W wyniku działania rezolwazy Tn3 powstaje najprostszy 2-katekan, którego budowa odzwierciedla splot Hopfa.

Symbolika

• Symbolem trwałego małżeństwa są dwie splecione obrączki ułożone obok siebie.
• Dwa splecione pierścienie jeden nad drugim to symbol połączenia fizyczności i duchowości.
• W herbach niemieckich gmin Boos, Brieden, Gransdorf, Großlittgen, Idenheim, Maring-Noviand i Pommern znajdują się dwa splecione pierścienie, co ma podkreślać ich historyczne powiązania z opactwem Himmerod.
• Dwa splecione pierścienie widnieją także w herbie miasta Hettingen, które pochodzą z herbu pierwotnie oddzielnej gminy Inneringen, włączonej do miasta w 1975 r.
• W Australii w miejscu 33°51′45,3″S 151°12′37,2″E znajduje się pomnik o potocznej nazwie Więzy Przyjaźni, który ma kształt dwóch splecionych ogniw.

Zobacz też

• koła olimpijskie
• pierścienie boromejskie

Bibliografia

• Colin ConradC.C. Adams Colin ConradC.C., The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, 2004, ISBN 978-0-8218-3678-1 .
• CasimirC. Allard CasimirC., AdélaïdeA. Gauthier AdélaïdeA., Kombinatoryczna teoriawezłów, JulietteJ. Buis (tłum.), wyd. 3, Antykwariat Czarnoksięski, 2022 .
• Richard L.R.L. Amoroso Richard L.R.L., Fundaments of ontological-phase topological fields theory, [w:] Unified Field Mechanics II, World Scientific, 2018, ISBN 978-981-3232-03-7 .
• AbhayA. Ashtekar AbhayA., AlejandroA. Corichi AlejandroA., Gauss Linking Number and Electro-magnetic Uncertainty Principle, „Phys. Rev. D”, 56, 1997, s. 2073–2079, DOI: 10.1103/PhysRevD.56.2073, arXiv:hep-th/9701136 .
• Bai-LinB.L. Hao Bai-LinB.L., Wei-MouW.M. Zheng Wei-MouW.M., Applied symbolic dynamics and chaos, World Scientific Publishing, 1998, ISBN 981-02-3512-7 .
• DanailD. Bonchev DanailD., Dennis H.D.H. Rouvray Dennis H.D.H., Chemical Topology. Applications and Techniques, Gordon and Breach Science, 2000 (Mathematical Chemistry), ISBN 90-5699-240-6, ISSN 1049-2801 .
• BogusławB. Broda BogusławB., Fizyka i topologia, „Postępy Fizyki”, 55 (3), 2004, s. 120–122, ISSN 0032-5430 .
• JasonJ. Cantarella JasonJ., Robert B.R.B. Kusner Robert B.R.B., John M.J.M. Sullivan John M.J.M., On the minimum ropelength of knots and links, „Inventiones Mathematicae”, 150 (2), 2002, s. 257–286, DOI: 10.1007/s00222-002-0234-y, Bibcode: 2002InMat.150..257C, arXiv:math/0103224, MR 1933586 .
• Yoon-HoY.H. Choi Yoon-HoY.H., Yun KiY.K. Chung Yun KiY.K., DongseokD. Kim DongseokD., The complete list of prime knots whose flat plumbing basket number are 6 or less, „Arxiv”, 2014, arXiv:1408.3729v1 .
• PawelP. Dabrowski-Tumanski PawelP., Joanna I.J.I. Sulkowska Joanna I.J.I., Topological knots and links in proteins, „Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America”, 114 (13), 2017, s. 3415–3420, DOI: 10.1073/pnas.1615862114, PMID: 28280100, PMCID: PMC5380043 .
• HansH. Dirnböck HansH., HellmuthH. Stachel HellmuthH., The development of the oloid, „Journal for Geometry and Graphics”, 1 (2), 1997, s. 105–118, MR 1622664 .
• JanJ. Dobrowolski JanJ., Węzły i sploty DNA, „Polimery”, XLVIII (1), styczeń 2003, s. 3–15 .
• SergeiS. Gukov SergeiS. i inni, Sequencing BPS spectra, „JHEP”, 2016, DOI: 10.1007/JHEP03(2016)004 .
• Tangle insertion invariants for pseudoknots, singular knots, and rigid vertex spatial graphs, [w:] AllisonA. Henrich AllisonA., Louis H.L.H. Kauffman Louis H.L.H., Knots, links, spatial graphs and algebraic invariants, AMS, 2017 (Contemporary Mathematics; 689), DOI: 10.1090/conm/689, ISBN 978-1-4704-2847-1 .???
• MichałM. Jabłonowski MichałM., Węzły i sploty w wymiarze 3 i 4 [online], 22 lipca 2023 [dostęp 2023-08-26] .
• Louis H.L.H. Kauffman Louis H.L.H., On Knots, Princeton University Press, 1987 (Annals of Mathematics Studies; 115), ISBN 0-691-08435-1 .???
• Arkady LeonidovichA.L. Kholodenko Arkady LeonidovichA.L., Applications of contact geometry and topology in physics, World Scientific, 2013, ISBN 978-981-4412-08-7 .
• Robert B.R.B. Kusner Robert B.R.B., John M.J.M. Sullivan John M.J.M., On distortion and thickness of knots, [w:] Topology and geometry in polymer science, t. 103, New York: Springer, 1998 (IMA Vol. Math. Appl.), s. 67–78, DOI: 10.1007/978-1-4612-1712-1_7, MR 1655037 .
• David W.D.W. Lyons David W.D.W., An Elementary Introduction to the Hopf Fibration, „Mathematics Magazine”, 76 (2), 2003, s. 87–98, DOI: 10.1080/0025570X.2003.11953158, arXiv:2212.01642, JSTOR: 3219300 .
• CharlesCh. Nash CharlesCh., Topology and Physics – a Historical Essay, [w:] I.M.I.M. James (red.), History of topology, Elsevier, 1999, ISBN 0-444-82375-1 .
• StevenS. Olderr StevenS., Symbolism. A comprehensive dictionary, wyd. 2, 2017, ISBN 978-0-7864-6955-0 .
• Viktor Vasil′evičV.V.′ Prasolov Viktor Vasil′evičV.V.′, Aleksej BronislavovičA.B. Sosinskij Aleksej BronislavovičA.B., Knots, links, braids and 3-manifolds: An introduction to the new invariants in low-dimensional topology, t. 154, Providence, RI: American Mathematical Society, 1997 (Translations of Mathematical Monographs), ISBN 0-8218-0588-6, MR 1414898 .
• Vladimir G.V.G. Turaev Vladimir G.V.G., Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds, Walter de Gruyter, 1994 (De Gruyter studies in mathematics; 18), s. 194, ISBN 3-11-013704-6 .???
• Jean-PierreJ.P. Sauvage Jean-PierreJ.P., ChristianeCh. Dietrich-Buchecker ChristianeCh., Molecular catacanes, rotaxanes and knots, Wiley, 1999, ISBN 3-527-29572-0 .
• TapioT. Simula TapioT., Quantised Vortices, Morgan & Claypool, 2019, DOI: 10.1088/2053-2571/aafb9d, ISBN 978-1-64327-126-2, ISBN 978-1-64327-123-1, ISBN 978-1-64327-124-8 .
• Joanna I.J.I. Sulkowska Joanna I.J.I., PiotrP. Sułkowski PiotrP., Entangled Proteins: Knots, Slipknots, Links and Lassos, [w:] SanjuS. Gupta, AvadhA. Saxena (red.), The role of topology in materials, Springer, 2018 (Solid-State Sciences), DOI: 10.1007/978-3-319-76596-9, ISBN 978-3-319-76595-2, ISSN 0171-1873 .

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hopf link, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• Topology of a Twisted Torus, [w:] Numberphile [online], YouTube, 27 stycznia 2014  (ang.).