Zbieżność prawie wszędzie

Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary – rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.

Definicja

Teoria miary

Niech $(X,{\mathfrak {M}})$ będzie przestrzenią mierzalną oraz niech $\mu \colon {\mathfrak {M}}\longrightarrow [0,\infty ]$ będzie miarą. Niech $(Y,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $A\in {\mathfrak {M}}$ oraz $f_{n},f\colon A\longrightarrow Y.$

Mówimy, że ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f$ (względem miary $\mu$ na zbiorze $A$), jeśli istnieje zbiór mierzalny $B\subset A,\mu (B)=0$ taki, że

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ dla $x\in A\setminus B.$

Ciąg funkcji $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji $f,$ jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji $f$ poza zbiorem miary zero.

Teoria prawdopodobieństwa

Niech $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech $X,X_{1},X_{2},\dots :\Omega \to \mathbb {R}$ będą zmiennymi losowymi. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych $(X_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do zmiennej $X,$ jeżeli

$P\left(\{\omega \in \Omega :\lim \limits _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\}\right)=1.$

Przypadek wielowymiarowy

Niech $X,X_{1},X_{2},\dots :\Omega \to \mathbb {R} ^{s}$ będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych $(X_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora $X,$ jeżeli

$\bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim \limits _{n\to \infty }P\left(\bigcap \limits _{k=n}^{\infty }\{\omega \in \Omega :||X_{k}(\omega )-X(\omega )||<\varepsilon \}\right)=1,$

gdzie $||\cdot ||:\mathbb {R} ^{s}\to [0,\infty )$ oznacza normę euklidesową w $\mathbb {R} ^{s}.$

Uwagi

• Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
• Zdanie: „ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f$”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:

$f_{n}{\xrightarrow {p.w.}}f$

Własności

• Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie.
• Jeśli miara $\mu$ jest skończona oraz ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest $\mu$-prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f,$ to ciąg ten jest zbieżny według miary (do tej samej funkcji). W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej przestrzeni probabilistycznej jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on zbieżny według prawdopodobieństwa.

Zobacz też

• zbieżność według miary
• zbieżność według rozkładu
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

Bibliografia

• Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 52. ISBN 83-01-09054-5.