Teoria ergodyczna

Teoria ergodyczna (stgr. εργον, ergon - "praca", οδος, odos - "droga") jest dziedziną matematyki zajmującą się ergodycznymi układami dynamicznymi. W najszerszym rozumieniu, teoria ergodyczna zajmuje się analizą jakościową działań grupowych na przestrzeniach (takich jak topologiczne, metryczne czy rozmaitości). Ważne jest, aby każde działanie zachowywało konkretną strukturę przestrzeni.

Historia

Pojęcie "ergodyczności" jako pierwszy wprowadził Boltzmann, aby opisać hipotezę dotyczącą działania na powierzchni energii potencjalnej. Niech $H$ będzie hamiltonianem, typem występującym w mechanice statystycznej. $H^{-1}(e)$ jest wówczas powierzchnią energii. Oznaczając przez $T_{t}(x)$ stan punktu $x$ układu po czasie $t_{0}+t$, Boltzmann przypuszczał, że dla każdego $t\in \mathbb {R}$ i $x\in H^{-1}(e)$ orbita $O_{T_{t}}(x)$ będzie równa całej powierzchni. Zdanie to nazwał hipotezą ergodyczną. Hipoteza ta okazała się jednak być fałszywa.

W matematyce, pierwsze twierdzenia bliskie ogólnym wynikom ergodycznym dotyczyły rozmieszczenia ciągu $x_{n}=n\alpha \;({\text{mod }}1)=\{n\alpha \}$ (część ułamkowa) dla $\alpha$ niewymiernej w przedziale $(0,1)$. Powiemy, że $(x_{n})$ jest rozmieszczony jednostajnie na $(0,1)$, jeśli dla dowolnych $a,b\in [0,1]$, $a<b$ zachodzi

$\lim _{N\to \infty }{\frac {|\{n\in [1,N]\cap \mathbb {N} \;\colon \;x_{n}\in (a,b)\}|}{N}}=b-a$.

W latach 1909-1910 Bohl, Sierpiński i Weyl udowodnili niezależnie od siebie jednoznaczne rozmieszczenie ciągu $x_{n}=n\alpha \;({\text{mod }}1)$. Pierwsze dowody były elementarne, korzystały jedynie z analizy fourierowskiej. Niedługo później, w 1916 Weyl sformułował twierdzenie mówiące, że dowolny ciąg $(x_{n})$ o wyrazach w przedziale $[0,1)$ jest rozmieszczony jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej funkcji $f\colon [0,1]\to \mathbb {R}$, $f(0)=f(1)$ całkowalnej w sensie Riemanna zachodzi

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(x_{n})=\int _{0}^{1}f(x)dx$.

Twierdzenie to ma faktyczny charakter ergodyczny - szereg po lewej stronie możemy traktować jako "średnią w czasie", a całkę po prawej jako "średnią w przestrzeni". Funkcja $f$ ma okres równy 1. Zgodnie z teorią Fouriera, każdą funkcję okresową można wyrazić jako kombinacja liniowa specjalnych funkcji okresowych $e^{2\pi imx}$ dla $m\in \mathbb {Z}$. Weyl skorzystał z tej obserwacji, aby poprzedni warunek zastąpić przez

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi imx_{n}}=0$

dla dowolnego $m\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$. Powyższe pozwoliło mu udowodnić kolejne twierdzenie.

Twierdzenie (Weyla o jednostajnym rozmieszczeniu wielomianów). Niech $p(x)=\alpha _{k}x^{k}+\alpha _{k-1}x^{k-1}+\ldots +\alpha _{1}x+\alpha _{0}$ będzie danym wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Jeśli przynajmniej jeden ze współczynników $\alpha _{k},\alpha _{k-1},\ldots ,\alpha _{1}$ jest niewymierny, to ciąg $(p(n)\;({\text{mod }}1))$ jest rozmieszczony jednostajnie na $(0,1)$.

W 1931 r. Koopman opublikował krótki artykuł o znaczących obserwacjach. Jeśli $T\colon X\to X$ jest odwracalne i zachowuje miarę w przestrzeni $(X,{\mathcal {F}},\mu )$, to operator $U$ zdefiniowany na $L^{2}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ (przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem) poprzez $Uf(x)=f(Tx)$ jest unitarny. Halmos pisze:

Obserwacja Koopmana była jednocześnie wyzwaniem i wskazówką. Jeśli istnieje ścisły związek między transformacjami zachowującymi miarę i operatorami unitarnymi, to znana teoria analityczna takich operatorów musi z pewnością dawać pewne informacje o geometrycznym zachowaniu przekształceń. Do października 1931 r. von Neumann miał odpowiedź; tą odpowiedzią było średnie twierdzenie ergodyczne.

Twierdzenia ergodyczne

Twierdzenie Birkhoffa

Jeśli $(X,{\mathcal {F}},\mu ,T)$ jest układem ergodycznym, to dla dowolnej funkcji $f\in L_{1}(\mu )$ zachodzi

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(T^{n}x)=\int _{X}f\;d\mu$

dla $\mu -$prawie wszystkich $x\in X$.

Średnie twierdzenie ergodyczne (von Neumanna)

Jeśli $(X,{\mathcal {F}},\mu ,T)$ jest układem ergodycznym, a $P_{T}$ jest ortogonalną projekcją na podprzestrzeń

$I=\{g\in L_{2}(\mu )\colon \;U_{T}g=g\}\subseteq L_{2}(\mu )$,

to dla dowolnej funkcji $f\in L_{2}(\mu )$ zachodzi zbieżność w normie $L_{2}(\mu )$,

${\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(T^{n}x)\longrightarrow P_{T}f$

przy $N\to \infty$.

Zastosowania

Teoria liczb

Teoria ergodyczna znajduje wiele zastosowań w analizie klasycznych i nowych problemów teorii liczb.

W opublikowanym w 2018 r. artyklue Bartnicka, Kasjan, Kułaga-Przymus i Lemańczyk ogłosili wynik dotyczący powtarzania się "bloków" w tzw. zbiorach liczb B-wolnych. Wyniki te powstały jako rozszerzenie programu Sarnaka, który początkowo obejmował jedynie dynamiczną analizę liczb bezkwadratowych. W 2020 r. Kułaga-Przymus i Lemańczyk przedstawili hipotezę Chowli i Sarnaka z perspektywy teorii ergodycznej.