Kombinacja liniowa

Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.

Definicja

Niech $\mathbf{v_1, v_2, \dots, v_n}$ będą elementami przestrzeni liniowej $V$ nad pewnym ciałem, a $a_1, a_2, \dots a_n$ będą elementami tego ciała. W dalszej części elementy należące do $V$ nazywane będą często wektorami, a elementy ciała $K$ będą zwane nieraz skalarami.

Kombinacją liniową wektorów $\mathbf{v_1, v_2, \dots, v_n}$ o współczynnikach $a_1, a_2, \dots a_n$ nazywa się wektor

$a_1\mathbf{v_1} + a_2\mathbf{v_2} + \dots + a_n\mathbf{v_n}.$

Uwaga

Z definicji wynika, że pojęcie kombinacji liniowej ma skończony charakter, tzn. kombinacja liniowa zawiera tylko skończenie wiele wektorów (poza przypadkami opisanymi w sekcji Uogólnienia).

Jednakże sam zbiór $S,$ z którego brane są wektory (o ile został wspomniany), może być nieskończony; każda kombinacja liniowa z osobna składać się będzie ze skończenie wielu wektorów. Nie ma także powodów, aby $n$ nie mogło być zerem; w tym wypadku przyjmuje się, że wtedy kombinacją liniową jest wektor zerowy w $V.$

Przykłady

Wektory

Niech $K$ będzie ciałem $\mathbb R$ liczb rzeczywistych, a przestrzeń liniowa $V$ będzie przestrzenią euklidesową $\mathbb R^3.$ Rozpatrzmy wektory

$\mathbf{e_1} := (1, 0, 0),\; \mathbf{e_2} := (0, 1, 0)$ oraz $\mathbf{e_3} := (0, 0, 1).$

Wówczas dowolny wektor z $\mathbb R^3$ jest kombinacją liniową wektorów $\mathbf{e_1, e_2, e_3}.$

Aby się o tym przekonać, należy wziąć dowolny wektor $(a_1, a_2, a_3)$ z $\mathbb R^3;$ wtedy:

$\begin{align} (a_1 , a_2 , a_3) & = (a_1, 0, 0) + (0, a_2, 0) + (0, 0, a_3) \\ & = a_1 (1, 0, 0) + a_2 (0, 1, 0) + a_3 (0, 0, 1) \\ & = a_1 \mathbf{e_1} + a_2 \mathbf{e_2} + a_3 \mathbf{e_3} \end{align}$

Funkcje

Niech $V$ będzie przestrzenią rzeczywistych funkcji ciągłych o wartościach zespolonych $C(\mathbb R, \mathbb C).$

Rozważmy wektory (funkcje) $f, g$ określone wzorami

$f(t) := e^{it}, \quad g(t) := e^{-it},$

gdzie $e$ jest postawą logarytmu naturalnego, a $i$ to jednostka urojona.

Niektóre z kombinacji liniowych $f$ oraz $g:$

$\cosh t = \tfrac12 e^{it} + \tfrac12 e^{-it},$

$2\sin t = -ie^{it} + ie^{-it}.$

Z drugiej strony funkcja stała równa $3$ nie jest kombinacją liniową $f$ i $g.$ Aby się o tym przekonać, należy założyć, że $3$ może być zapisane jako kombinacja liniowa $e^{it}$ oraz $e^{-it}.$ Oznacza to, że istniałyby wówczas skalary zespolone $a, b$ takie, że

$ae^{it} - be^{-it} = 3$

dla wszystkich liczb rzeczywistych $t.$ Podstawienia $t = 0$ i $t = \pi$ dają jednak równania $a + b = 3$ oraz $a + b = -3,$ co prowadzi do sprzeczności.

Wielomiany

Niech $K$ będzie dowolnym ciałem, a $V$ będzie zbiorem $P$ wszystkich wielomianów o współczynnikach z tego ciała. Rozważmy wektory (wielomiany)

$p_1 := 1, \quad p_2 := x + 1, \quad p_3 := x^2 + x + 1.$

Czy wielomian $x^2 - 1$ jest kombinacją liniową $p_1, p_2, p_3$? Rozpatrzmy dowolną kombinację liniową tych wektorów i sprawdźmy, kiedy równa się ona żądanemu wektorowi $x^2 - 1.$

Wybrawszy dowolnie współczynniki $a_1, a_2, a_3$ chcemy uzyskać

$a_1 (1) + a_2 (x + 1) + a_3 (x^2 + x + 1) = x^2 - 1,$

wymnożenie wielomianów daje równość

$(a_1) + (a_2 x + a_2) + (a_3 x^2 + a_3 x + a_3) = x^2 - 1,$

zaś zgrupowanie wg potęg $x$ daje tożsamość

$a_3 x^2 + (a_2 + a_3) x + (a_1 + a_2 + a_3) = 1 x^2 + 0 x + (-1).$

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie w nich współczynniki są sobie równe, a więc

$a_3 = 1, \quad a_2 + a_3 = 0, \quad a_1 + a_2 + a_3 = -1.$

Jedynym rozwiązaniem tego układu równań liniowych jest trójka

$a_1 = -1, \quad a_2 = -1, \quad a_3 = 1.$

Stąd jest to jedyny możliwy sposób uzyskania kombinacji liniowej za pomocą tych współczynników. Rzeczywiście,

$x^2 - 1 = -1 - (x + 1) + (x^2 + x + 1) = - p_1 - p_2 + p_3,$

a więc $x^2 - 1$ jest kombinacją liniową wektorów $p_1, p_2, p_3.$

Co zaś z wielomianem $x^3 - 1$? Chcąc uzyskać ten wektor jako kombinację liniową $p_1, p_2, p_3$ należy powtórzyć powyższe rozumowanie otrzymując tym samym równanie

$0 x^3 + a_3 x^2 + (a_2 + a_3) x + (a_1 + a_2 + a_3) = 1 x^3 + 0 x^2 + 0 x + (-1).$

W tym przypadku przyrównanie odpowiadających sobie współczynników da zawsze fałszywą równość

$0 = 1.$

Stąd nie można przedstawić $x^3 - 1$ jako kombinacji liniowej wektorów $p_1, p_2, p_3.$

Powłoka liniowa

Dla danego ciała $K$ oraz przestrzeni liniowej $V$ niech $\mathbf{v_1, v_2, \dots, v_n}$ będą wektorami (z $V$). Interesujące może być rozpatrywanie wszystkich kombinacji liniowych tych wektorów. Zbiór ten nazywa się powłoką liniową lub otoczką liniową tych wektorów. Niech $S = \{\mathbf{v_1, v_2, \dots, v_n}\},$ wówczas powłokę liniową $S$ oznacza się $\operatorname{span}(S)$ lub $\operatorname{lin}(S):$

$\operatorname{span}(\mathbf{v_1, \dots, v_n}) := \{a_1\mathbf{v_1} + \dots + a_n\mathbf{v_n}\colon a_1, \dots, a_n \in K \}.$

Wyżej opisany zbiór jest najmniejszą (w sensie zawierania) podprzestrzenią liniową w $V.$ Z tego powodu nazywa się ją także podprzestrzenią generowaną przez zbiór $S$ lub rozpiętą na zbiorze $S.$ Sam zbiór $S$ nazywa się też niekiedy zbiorem rozpinającym lub generującym tę przestrzeń.

Liniowa niezależność

Dla ustalonego zbioru wektorów $\mathbf{v_1, v_2, \dots, v_n}$ dany wektor można czasem zapisać na co najmniej dwa różne sposoby jako ich kombinację liniową

$\mathbf v = \sum a_i \mathbf v_i = \sum b_i \mathbf v_i, \mbox{ gdzie } (a_i) \neq (b_i).$

Równoważnie odejmując współczynniki, $c_i := a_i - b_i,$ uzyskuje się nietrywialną kombinację o sumie zerowej:

$\mathbf 0 = \sum c_i \mathbf v_i.$

Mówi się wtedy, że wektory $\mathbf{v_1, v_2, \dots, v_n}$ są liniowo zależne, w przeciwnym wypadku nazywa się je liniowo niezależnymi. Podobnie można mówić o liniowej zależności bądź niezależności dowolnego zbioru wektorów $S.$

Jeżeli $S$ jest układem wektorów liniowo niezależnych i rozpina całą przestrzeń $V,$ to nazywa się go bazą tej przestrzeni.

Kombinacje afiniczne, stożkowe i wypukłe

Można zdefiniować inne powiązane z kombinacją liniową pojęcia poprzez narzucenie ograniczeń na współczynniki kombinacji liniowej: kombinację afiniczną, kombinację stożkową, kombinację wypukłą i związane z nimi pojęcia zbiorów zamkniętych ze względu na te operacje.

Rodzaj kombinacji	Ograniczenia na współczynniki	Nazwa zbioru	Model przestrzeni
Kombinacja liniowa	brak	podprzestrzeń liniowa	$\mathbb R^n$
Kombinacja afiniczna	$\sum a_i = 1$	podprzestrzeń afiniczna	hiperpłaszczyzna afiniczna
Kombinacja stożkowa	$a_i \geqslant 0$	stożek wypukły	ćwiartka/oktant
Kombinacja wypukła	$a_i \geqslant 0$ oraz $\sum a_i = 1$	zbiór wypukły	sympleks

Ponieważ powyższe są działaniami bardziej ograniczającymi, to dawać będą one więcej zbiorów zamkniętych ze względu na nie, stąd podzbiory afiniczne, stożki wypukłe i zbiory wypukłe są uogólnieniami podprzestrzeni liniowych: podprzestrzeń liniowa jest zarazem podprzestrzenią afiniczną, stożkiem afinicznym i zbiorem wypukłym, ale zbiór wypukły nie musi być podprzestrzenią liniową, afiniczną lub stożkiem wypukłym.

Pojęcia te pojawiają się często, jeżeli możliwe jest wybranie określonej, lecz nie dowolnej, kombinacji liniowej obiektów: przykładowo rozkłady prawdopodobieństwa są zamknięte ze względu na kombinacje wypukłe (tworzą zbiór wypukły), ale nie są ze względu na kombinacje stożkowe, czy afiniczne (czy liniowe), a miary dodatnie są zamknięte ze względu na kombinacje stożkowe, ale nie kombinacje afiniczne, czy liniowe – stąd miary ze znakiem definiuje się jako liniowe domknięcie.

Kombinacje liniowe i afiniczne mogą być zdefiniowane nad dowolnym ciałem (czy pierścieniem), ale kombinacje stożkowe i wypukłe wymagają pojęcia „dodatniości” i dlatego mogą być zdefiniowane tylko nad ciałem uporządkowanym (lub pierścieniem uporządkowanym), zwykle nad liczbami rzeczywistymi.

Jeżeli dopuści się wyłącznie mnożenie przez skalar, lecz nie dodawanie wektorów, otrzymuje się (niekoniecznie wypukły) stożek; często zawęża się definicję poprzez ograniczenie do mnożenia przez skalary dodatnie.

Wszystkie te pojęcia są zwykle definiowane jako podzbiory danej przestrzeni liniowej (z wyjątkiem przestrzeni afinicznych, które uważa się za „przestrzenie liniowe bez początku”), a nie poprzez ich niezależną aksjomatyzację.

Teoria operadów

W bardziej abstrakcyjnym języku teorii operadów można rozważać przestrzenie liniowe jako algebrę nad operadem $\mathbb R^\infty$ (nieskończona suma prosta, w której tylko skończenie wiele wyrazów jest niezerowych; odpowiada to braniu wyłącznie sum skończonych), które parametryzują kombinacje liniowe: wektor $(2, 3, -5, 0, \dots)$ odpowiada na przykład kombinacji liniowej $2\mathbf v_1 + 3\mathbf v_2 - 5\mathbf v_3 + 0\mathbf v_4 + \cdots.$ W podobny sposób można rozpatrywać kombinacje afiniczne, stożkowe, czy sferyczne tak, by odpowiadały podoperadom, których odpowiednio suma współczynników wynosi jeden, wszystkie współczynniki są nieujemne oraz oba te ograniczenia na raz. Graficznie tworzą one nieskończoną hiperpłaszczyznę afiniczną, nieskończony hiperoktant i nieskończony sympleks. Formalizuje to, co rozumie się przez standardowe modele $\mathbb R^n,$ czy sympleksów i takie obserwacje jak każda ograniczona wielokomórka wypukła jest obrazem sympleksu. Podoperady odpowiadają tu bardziej ograniczającym operacjom, a przez to ogólniejszym teoriom.

Z tego punktu widzenia o kombinacjach liniowych można myśleć jako o najogólniejszych możliwych operacjach na przestrzeni liniowej – stwierdzenie, iż przestrzeń liniowa jest algebrą nad operadem kombinacji liniowych jest dokładnie tym samym, co stwierdzenie, że kombinacje liniowe obejmują wszystkie możliwe operacje na przestrzeni liniowej.

Podstawowe operacje dodawania i mnożenia przez skalar, wraz z istnieniem elementu neutralnego i odwrotnych dodawania, nie mogą być połączone w bardziej skomplikowany sposób niż w zwykłej kombinacji liniowej: wspomniane podstawowe operacje są zbiorem generującym operadów wszystkich kombinacji liniowych.

Ostatecznie fakt ten tłumaczy użyteczność kombinacji liniowych podczas studiowania przestrzeni liniowych.

Uogólnienia

Jeżeli $V$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną, to być może istnieje sposób na sensowne określenie nieskończonych kombinacji liniowych za pomocą topologii w $V.$ Przykładowo, być może można mówić o sumie

$a_1 \mathbf{v_1} + a_2 \mathbf{v_2} + a_3 \mathbf{v_3} + \dots$

ciągnącej się w nieskończoność. Nie zawsze takie nieskończone kombinacje liniowe mają sens; jednakże jeżeli tak jest, to nazywa się je zbieżnymi. Rozpatrywanie większej liczby kombinacji liniowych może prowadzić w tym przypadku do różnych definicji powłoki liniowej, liniowej niezależności i bazy. Artykuły opisujące przestrzenie liniowo-topologiczne traktują o nich bardziej szczegółowo.

Jeżeli $K$ jest pierścieniem przemiennym, nie zaś ciałem, to wszystko, co zostało napisane wyżej, uogólnia się do tego przypadku bez żadnych zmian. Jedyną różnicą jest, iż przestrzenie $V$ nazywa się wtedy modułami, a nie przestrzeniami liniowymi. Każdą grupę abelową można w naturalny sposób rozpatrywać jako moduł nad pierścieniem liczb całkowitych; prowadzi to do pojęć takich jak (liniowa) niezależność oraz ranga rozpatrywanych w tych grupach.

Jeżeli $K$ jest pierścieniem nieprzemiennym, to pojęcie to nadal uogólnia się w analogiczny sposób z jednym zastrzeżeniem: moduły nad pierścieniami nieprzemiennymi mogą być lewostronne bądź prawostronne, zatem istnieją tak lewo- jak i prawostronne kombinacje liniowe – zależnie od rozpatrywanego modułu – należy zatem zwracać uwagę na branie mnożenia skalarnego z właściwej strony.

Bardziej złożony jest przypadek, gdy $V$ jest bimodułem nad dwoma pierścieniami $K_L$ oraz $K_P.$ W tym wypadku najogólniejsza kombinacja liniowa ma postać

$a_1 \mathbf{v_1} b_1 + \dots + a_n \mathbf{v_n} b_n,$

gdzie $a_1, \dots, a_n$ należą do $K_L,$ a $b_1, \dots, b_n$ należą do $K_P,$ zaś $\mathbf{v_1, \dots, v_n}$ należą do $V.$