Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki

Bryła w trójwymiarze

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki – jeden z wielościanów archimedesowych, zbudowany z 62 ścian – 30 kwadratowych, 20 sześciokątnych i 12 dziesięciokątnych, ma 120 wierzchołków i 180 krawędzi.

Oznaczany jest symbolem Schläfliego $t{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$ i symbolem Wythoffa $235|.$ Wielościanem dualnym do tej bryły jest dwudziestościan szóstkowy.

Wśród wszystkich wielościanów archimedesowych o tej samej długości krawędzi, ta bryła ma największą objętość i pole powierzchni.

Wielościan jest zonościanem (ang. zonohedron).

Bryłę tę skonstruował przy pomocy origami E. K. Herrstrom – konstrukcja wykorzystuje 900 jednostek sonobè.

Obracająca się bryła

Wzory i właściwości

Niech $a$ będzie długością krawędzi bryły.

• Pole powierzchni całkowitej

$S=30(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})a^{2}$

• Objętość

Siatka bryły

$V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}\approx 206{,}803a^{3}$

• Promień kuli opisanej

$R_{1}={\frac {a}{2}}{\sqrt {31+11{\sqrt {5}}}}\approx 3{,}80a$, z czego wynika, że objętość kuli opisanej na bryle wynosi ${\frac {4\pi {R_{1}}^{3}}{3}},$ czyli około $230{,}28a^{3}$

• Promień kuli wpisanej

$R_{2}={\frac {a}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 3{,}44a,$ a więc objętość tej kuli można wyrazić wzorem ${\frac {4\pi {R_{2}}^{3}}{3}},$ i wynosi ona w przybliżeniu $170{,}65a^{3}$

• Dystans normalny od środka bryły do jej ścian możemy wyrazić następującymi wzorami:
  • dla ściany kwadratowej ${\frac {3+2{\sqrt {5}}a}{2}}\approx 3{,}74a$
  • dla ściany sześciokątnej ${\frac {{\sqrt {3}}+(2+{\sqrt {5}})a}{2}}\approx 3{,}67a$
  • dla ściany dwunastokątnej $R_{2}={\frac {a}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 3{,}44a$

• Niech $\rho$ oznacza odległość od krawędzi do środka bryły. Opiszmy na bryle dwunastościan, i oznaczmy jego krawędź jako $b,$ dwudziestościan, którego krawędź oznaczymy jako $c$ oraz trzydziestościan rombowy, którego przekątna dłuższej ściany będzie posiadała oznaczenie $d.$ Zachodzą wtedy następujące równości:
  • ${\frac {a}{\rho }}={\sqrt {2}}{\frac {\operatorname {tg} 18^{\circ }}{\sqrt {3}}}={\sqrt {\frac {10-4{\sqrt {5}}}{15}}}$
  • ${\frac {a}{R_{1}}}=2{\sqrt {\frac {31-12{\sqrt {5}}}{241}}}$
  • ${\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{10}}$
  • ${\frac {a}{c}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{6}}$
  • ${\frac {a}{d}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{22}}$

Powiązane obiekty

Z bryłą powiązanych jest wiele innych obiektów geometrycznych: wielościany z [5, 3] grupy Coxetera, parkietaże: euklidesowy, hiperboliczny, sferyczny. Istnieją też różne rzuty bryły i owych parkietaży. Z bryła powiązany jest graf.

Graf

Ilustracja przedstawia graf zero-symetryczny utworzony z bryły.

Powiązane wielościany i parkietaże

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki jest elementem ciągu wielościanów rombowych i parkietaży, których grupa symetrii jest [5, 3] grupą Coxetera.

Wielościan								Parkietaż euklidesowy	Parkietaż hiperboliczny
Diagram Coextera	[5, 3]	t[5, 3]	r[5, 3]	t[3, 5]	[3, 5]	rr[5, 3]	tr[5, 3]	[6, 3]	[7, 3]	[8, 3]
Odpowiadający obiekt	Dwunastościan	Dwunastościan ścięty	Dwudziesto-dwunastościan	Dwudziestościan ścięty	Dwudziestościan	Dwudziesto-dwunastościan rombowy mały	Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki

Rzuty ortogonalne

Przykłady kilku rzutów ortogonalnych dwudziesto-dwunastościanu rombowego wielkiego.Wycentrowane na wierzchołek, trzy typy krawędzi oraz trzy rodzaje ścian bryły.

Rzuty ortogonalne bryły
Rzut wycentrowany na	Wierzchołek	Krawędzie 4-6	Krawędzie 4-10	Krawędzie 6-10	Ściana kwadratowa	Ściana sześciokątna	Ściana dziesięciokątna
Obraz

Parkietaże sferyczne i diagramy Schlegela

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki może być też ukazany jako element parkietażu sferycznego oraz podobnego diagramu Schlegela.

Bryła jako parkietaż sferyczny i diagram Schlegela, oraz rzuty tych obiektów
	Rzut ortograficzny	R. stereograficzny wycentrowany na:
		dziesięciokąt	sześciokąt	kwadrat
Jako parkietaż sferyczny
Jako diagram Schlegela

Linki zewnętrzne

Informacje o bryle

• Dogłębna analiza autorstwa H.Ch. Rajpoota
• http://polyhedra.mathmos.net/entry/greatrhombicosidodecahedron.html – Informacje przeglądowe, stosunki krawędzi do opisanych brył
• http://bulatov.org/polyhedra/uniform/u72.html – Podstawowe informacje i ilustracja

Strony z siatką bryły do wydruku

• http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=rhombicosidodecahedron
• http://www.maths-pro.com/New%20Polyhedra%20books/Polyhedra%20book%202012%20GPP%20-%20V6.pdf Plik w formacie PDF, siatki i porady umieszczone są na stronach 31, 33, 85