Kwadrat

Kwadrat (łac. quadratum „czworobok, kwadrat”) – wielokąt foremny o czterech bokach (czworokąt foremny), czyli czworobok o czterech przystających bokach (a stąd równej długości) i tyluż przystających kątach wewnętrznych (a stąd prostych). Można go również scharakteryzować jako prostokąt o przystających bokach (bądź równej długości), romb o przystających (bądź prostych) kątach wewnętrznych. Dowolne dwa kwadraty są podobne.

Kwadraty są ścianami sześcianu oraz niektórych wielościanów półforemnych, m.in. ośmiościanu ściętego.

Właściwości

Metoda kreślenia za pomocą cyrkla i liniału.

Z własności

• czworokątów:
  • suma miar wszystkich kątów wewnętrznych wynosi 2π (360°);
• równoległoboków:
  • przeciwległe boki są równoległe,
  • przekątne przecinają się w połowie,
  • punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii;
• prostokątów:
  • wszystkie kąty wewnętrzne są przystające (a stąd proste),
  • przekątne są przystające (a stąd mają równą długość);
• rombów:
• przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów wewnętrznych,
• przekątne są prostopadłe;

Dodatkowo następujące własności są charakterystyczne dla kwadratów:

• ma cztery osie symetrii: dwie z nich to proste zawierające przekątne (jak w rombie), pozostałe dwie to symetralne boków (jak w prostokącie).
• osie symetrii dzielą go na osiem przystających trójkątów prostokątnych równoramiennych.

Wzory

• kolor czarny - brzeg kwadratu,
• kolor niebieski: okrąg opisany;
• kolor brązowy: okrąg wpisany.

Niech $\scriptstyle a$ oznacza długość boku pewnego kwadratu, a $\scriptstyle d$ będzie równe długości jego przekątnej. Prawdziwe są następujące wzory na:

• pole powierzchni,

  $S = a^2 = \tfrac{d^2}{2} = \tfrac{\sqrt 2}{2}ad,$

• obwód,

  l = 4a,

• promień okręgu wpisanego,

  $r = \tfrac{a}{2},$

• promień okręgu opisanego,

  $R = \tfrac{\sqrt 2}{2} a = r\sqrt 2 = \tfrac{d}{2},$

• długość boku,

  $a = 2r = R\sqrt 2 = \tfrac{\sqrt 2}{2}d,$

• Długość przekątnej,

  $d = a\sqrt 2.$

Zobacz też

• kwadrat logiczny
• kwadraty: łaciński, grecko-łaciński (grecki lub Eulera),
• kwadrat magiczny
• kwadratura figury geometrycznej

Linki zewnętrzne

• Kwadrat w MathWorld (ang.)