Tancredi wychował się w klubie Giulianova Calcio pochodzącym z jego rodzinnego miasta. W latach 1972–1974 występował w Serie C, ale wówczas ściągnięto go do AC Milan. Jednak na skutek przegrania rywalizacji z Enriciem Albertosim był tylko rezerwowym nie zdołał zadebiutować w ligowym meczu. W 1976 roku odszedł do Rimini Calcio FC, gdzie stał się czołowym bramkarzem Serie B i pobyt w drugiej lidze trwał tylko rok.
Latem 1977 Tancredi przeszedł do AS Roma. Do zespołu ściągnął go szwedzki szkoleniowiec Nils Liedholm. W pierwszej lidze zadebiutował jednak dopiero w sezonie 1978/1979 pierwotnie będąc rezerwowym dla Paola Contiego. Fakt ten miał miejsce 28 stycznia 1979, a Roma pokonała 2:0 zespół Hellas Werona. W sezonie 1979/1980 trenerem znów został Liedholm, ale Tancredi grał już w większej liczbie meczów, a rywalizację z Contim wygrał głównie dzięki finałowi Pucharu Włoch, w którym Roma zwyciężyła Torino Calcio po serii rzutów karnych. W sezonie 1980/1981 był już pierwszym bramkarzem „giallo-rossich”. Został wicemistrzem kraju, wystąpił w rozgrywkach Pucharu Zdobywców Pucharów i po raz drugi z rzędu zdobył krajowy puchar. W 1982 roku zajął 3. miejsce w lidze, ale rok później był jednym z głównych autorów pierwszego od 1942 roku mistrzostwa Włoch. W sezonie 1983/1984 Tancredi osiągnął kolejne sukcesy. Po raz drugi został wicemistrzem kraju, po raz trzeci zdobywcą Coppa Italia oraz dotarł z Romą do finału Pucharu Mistrzów. Wystąpił w finale z Liverpoolem (1:1), ale nie zapobiegł porażce w rzutach karnych nie broniąc żadnego strzału rywali. W 1986 roku z drużyną prowadzoną przez Svena-Görana Erikssona zdobył kolejny w karierze krajowy puchar oraz wicemistrzostwo Włoch. W 1987 roku został trafiony przez kibiców Milanu petardą, stracił przytomność, ale przeżył. W kolejnych latach nie osiągał już sukcesów, a w sezonie 1989/1990 przegrał rywalizację z młodszym o 7 lat Giovannim Cervone. Po sezonie odszedł do Torino Calcio, gdzie nie miał miejsca w składzie i ostatecznie latem 1991 zakończył piłkarską karierę w wieku 36 lat.
Po skończeniu kariery Tancredi został trenerem bramkarzy w Romie do 2004 roku. Wtedy wraz z Fabiem Capello przeniósł się Juventusu, a w sezonie 2006/2007 wraz z tym szkoleniowcem pracował w Realu Madryt.
