Antyhomomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Antyhomomorfizmfunkcja określona na zbiorach z określonym na nich działaniem mnożenia odwracająca jego porządek; homomorfizm odwracający porządek mnożenia.

Antyautomorfizm – antyhomomorfizm będący zarazem przekształceniem wzajemnie jednoznacznym obiektu na siebie.

Grupy[edytuj | edytuj kod]

Niech G,H będą grupami. Mówimy, że przekształcenie \varphi\colon G\to H jest antyhomomorfizmem grup, jeśli

\forall_{g,h \in G}\;\varphi(gh) = \varphi(h)\varphi(g).

Pierścienie[edytuj | edytuj kod]

Niech P,R będą pierścieniami. Mówimy, że przekształcenie \varphi\colon P \to R jest antyhomomorfizmem pierścieni, jeśli

\varphi(x+y) = \varphi(x)+\varphi(y),
\varphi(xy) = \varphi(y)\varphi(x)

dla każdego x,y \in P, jeżeli pierścień ma jedynkę, to dodatkowo musi być spełniony warunek

\varphi(1) = 1.

Jeśli R jest pierścieniem przemiennym, to każdy antyhomomorfizm jest homomorfizmem pierścieni.

Dla algebr nad ciałem przekształcenie \varphi musi być liniowe nad daną przestrzenią liniową.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Warto zauważyć, że jeśli mnożenie w obrazie \varphi jest przemienne, to antyhomomorfizm jest tym samym co homomorfizm, zaś antyautomorfizm staje się wtedy zwykłym automorfizmem.
  • Antyhomomorfizm można zdefiniować również jako homomorfizm z X do obiektu odwróconego Y^{op} (który poza porządkiem mnożenia jest identyczny z X).
  • Oczywiście złożenie dwóch antyhomomorfizmów jest zawsze homomorfizmem, gdyż dwukrotne odwrócenie porządku zachowuje go. Podobnie złożenie antyhomomorfizmu z automorfizmem daje inny antyautomorfizm.
  • Częstokroć antyautomorfizmy są inwolucjami, tj. złożenie takich antyautomorfizmów ze sobą jest identycznością.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]