Liczba nieosiągalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczba nieosiągalna – regularna graniczna liczba kardynalna. Regularne silnie graniczne liczby kardynalne nazywane są liczbami silnie nieosiągalnymi. Liczby nieosiągalne są najprostszymi przykładami tzw. dużych liczb kardynalnych.

Istnieją pewne niekonsekwencje w terminologii dotyczącej liczb nieosiągalnych. Niektórzy autorzy używają nazwy liczby słabo nieosiągalne na oznaczenie granicznych liczb regularnych rezerwując nazwę liczba nieosiągalna dla silnie granicznych regularnych liczb kardynalnych.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

  • Liczba porządkowa \alpha jest początkową liczbą porządkową jeśli \alpha nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe są też nazywane liczbami kardynalnymi.
  • Dla liczby kardynalnej \kappa określamy:
\kappa^+ jest pierwszą liczbą kardynalną większą od \kappa (jest to tzw następnik \kappa),
2^\kappa jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów \kappa.
  • Liczba kardynalna \kappa jest regularną liczbą kardynalną jeśli dla każdej rodziny zbiorów \{A_i:i\in I\} takich że |A_i|<\kappa dla wszystkich i\in I oraz |I|<\kappa mamy, że \left|\bigcup\limits_{i\in I} A_i\right|<\kappa.
  • Liczba kardynalna \kappa jest graniczną liczbą kardynalną jeśli \kappa jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej \mu<\kappa mamy \mu^+<\kappa. Powiemy, że \kappa jest silnie graniczną liczbą kardynalną jeśli \kappa jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej \mu<\kappa mamy 2^\mu<\kappa.

Nieprzeliczalna liczba kardynalna \kappa jest (słabo) nieosiągalna jeśli jest ona graniczna i regularna, a jest nazywana liczbą silnie nieosiągalną jeśli jest ona silnie graniczna i regularna.

Własności i przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Definicja liczb nieosiągalnych jest sformułowana dla liczb nieprzeliczalnych tylko, aby wyeliminować trochę patologiczny przypadek pierwszej nieskończonej liczby kardynalnej \aleph_0, która jest regularna i silnie graniczna. Podobieństwo liczb nieosiągalnych do liczby \aleph_0 jest czasami wyrażane w stwierdzeniu, że liczby nieosiągalne mają się do liczb mniejszych tak jak \aleph_0 ma się do liczb skończonych.
  • Jeśli \kappa jest liczbą nieosiągalną, to \aleph_\kappa=\kappa.
  • Jeśli \kappa jest liczbą silnie nieosiągalną, to \beth_\kappa=\kappa.
  • Jeśli GCH jest spełnione, to każda liczba (słabo) nieosiągalna jest silnie nieosiągalna.
  • W ZFC, jeśli \kappa jest liczbą silnie nieosiągalną, to Vκ jest modelem ZFC. Zakładając ZF, jeśli \kappa jest liczbą (słabo) nieosiągalną, to Lκ jest modelem ZFC. Zatem "ZF+ istnieje liczba nieosiągalna" implikuje, że "ZFC jest niesprzeczne". Na mocy drugiego twierdzenia Gödla o niezupełności, nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby nieosiągalne.
  • Jeśli istnieją liczby nieosiągalne i \kappa jest pierwszą taką liczbą, to Lκ jest modelem dla "ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne". Zatem jeśli teoria ZFC jest niesprzeczna, to także teoria "ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne" jest niesprzeczna.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]