Pierścień kołowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pierścień kołowy – w geometrii euklidesowej zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej ograniczony dwoma okręgami współśrodkowymi o różnych promieniach[1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Pierścień kołowy (ubt).svg

Niech S = (x_0, y_0) będzie dowolnym punktem płaszczyzny euklidesowej \Omega, zaś R oraz r odcinkami na niej leżącymi. Bez straty ogólności możemy założyć, że r<R[1].

Pierścieniem kołowym nazywamy różnicę zbiorów dwóch kół o promieniach R oraz r, czyli podzbiór płaszczyzny opisywany układem równań

\begin{cases} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2 \le R^2 \\ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2 \ge r^2 \end{cases}

lub równoważnie

r \le \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \le R.

Płaszczyzna zespolona[edytuj | edytuj kod]

W analizie zespolonej pierścień kołowy P(a; r, R) jest otwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej:

\{z\colon\; r < |z-a| < R\}.

Jeżeli r=0, to obszar ten nazywany jest czasem kołem (dyskiem) bez punktu o promieniu R wokół punktu a.

Jako podzbiór płaszczyzny zespolonej pierścień kołowy może być rozważany jako powierzchnia Riemanna. Struktura zespolona pierścienia zależy wyłącznie od współczynnika r/R. Każdy pierścień kołowy P(a; r, R) może być odwzorowany holomorficznie w wyśrodkowany pierścień o promieniu zewnętrznym równym 1 za pomocą przekształcenia

z \mapsto {z-a \over R}.

Promień wewnętrzny jest wtedy związany relacją {r \over R} < 1.

Twierdzenie Hadamarda mówi o wartości maksymalnej jaką może przyjąć funkcja holomorficzna wewnątrz pierścienia kołowego.

Topologia[edytuj | edytuj kod]

Otwarty pierścień kołowy jest topologicznie równoważny z otwartym walcem S^1 \times (0,1) i płaszczyzną bez punktu.

Pole[edytuj | edytuj kod]

Pole pierścienia jest różnicą pól kół o promieniach R i r:

P = \pi(R^2 - r^2)\, .

Wynik ten może być otrzymany metodami analitycznymi przez podzielenie pierścienia na nieskończenie wiele pierścieni o nieskończenie małych szerokościach d\rho i polach 2\pi\varrho\, d\varrho ( = długość okręgu razy szerokość) i całkowaniu od \varrho = r do \varrho = R:

P = \int\limits_r^R 2\pi\varrho\, d\varrho = \pi(R^2-r^2).

Ciekawostką jest fakt, że pole pierścienia może zostać otrzymane również przez pomnożenie pi przez kwadrat połowy najdłuższego odcinka całkowicie zawartego w tym pierścieniu.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 jeżeli są one równe, to pierścień jest zdegenerowany, czyli opisuje okrąg

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]