Pierścień kołowy

Pierścień kołowy – w geometrii euklidesowej zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej ograniczony dwoma okręgami współśrodkowymi o różnych promieniach.

Definicja

Niech $S = (x_0, y_0)$ będzie dowolnym punktem płaszczyzny euklidesowej $\Omega$, zaś $R$ oraz $r$ odcinkami na niej leżącymi. Bez straty ogólności możemy założyć, że $r<R$.

Pierścieniem kołowym nazywamy część wspólną dwóch kół o promieniach $R$ oraz $r$, czyli podzbiór płaszczyzny opisywany układem równań

$\begin{cases} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2 \le R^2 \\ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2 \ge r^2 \end{cases}$

lub równoważnie

$r \le \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \le R$.

Płaszczyzna zespolona

W analizie zespolonej pierścień kołowy $P(a; r, R)$ jest otwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej:

$\{z\colon\; r < |z-a| < R\}$.

Jeżeli $r=0$, to obszar ten nazywany jest czasem kołem (dyskiem) bez punktu o promieniu $R$ wokół punktu $a$.

Jako podzbiór płaszczyzny zespolonej pierścień kołowy może być rozważany jako powierzchnia Riemanna. Struktura zespolona pierścienia zależy wyłącznie od współczynnika $r/R$. Każdy pierścień kołowy $P(a; r, R)$ może być odwzorowany holomorficznie w wyśrodkowany pierścień o promieniu zewnętrznym równym $1$ za pomocą przekształcenia

$z \mapsto {z-a \over R}$.

Promień wewnętrzny jest wtedy związany relacją ${r \over R} < 1$.

Twierdzenie Hadamarda mówi o wartości maksymalnej jaką może przyjąć funkcja holomorficzna wewnątrz pierścienia kołowego.

Topologia

Otwarty pierścień kołowy jest topologicznie równoważny z otwartym walcem $S^1 \times (0,1)$ i płaszczyzną bez punktu.

Pole

Pole pierścienia jest różnicą pól kół o promieniach $R$ i $r$:

$P = \pi(R^2 - r^2)\,$.

Wynik ten może być otrzymany metodami analitycznymi przez podzielenie pierścienia na nieskończenie wiele pierścieni o nieskończenie małych szerokościach $d\rho$ i polach $2\pi\varrho\, d\varrho$ ( = długość okręgu razy szerokość) i całkowaniu od $\varrho = r$ do $\varrho = R$:

$P = \int\limits_r^R 2\pi\varrho\, d\varrho = \pi(R^2-r^2).$

Ciekawostką jest fakt, że pole pierścienia może zostać otrzymane również przez pomnożenie pi przez kwadrat połowy najdłuższego odcinka całkowicie zawartego w tym pierścieniu.

Zobacz też

• walec
• torus
• koło oraz okrąg

Linki zewnętrzne

• definicja i własności pierścienia kołowego z animacją interaktywną,
• wzór na pole pierścienia z animacją interaktywną.