Kwaterniony

Kwaterniony – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.

Współczesna matematyka opisuje kwaterniony jako czterowymiarową, unormowaną algebrę z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez $\mathbb H$ od pierwszej litery nazwiska twórcy. Wspomniana algebra $\mathbb H$ zajmuje specjalne miejsce w algebrze, ponieważ zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa jest jednym z trzech skończenie wymiarowych pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste jako podpierścień.

Zapis

Jest kilka sposobów przedstawiania kwaternionów. Jednym z nich jest przedstawienie kwaternionów w postaci macierzowej, czyli jako macierzy z przestrzeni $M_{2 \times 2}(\mathbb C)$ takich, że

$\begin{bmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+bi & c+di\\ -c+di & a-bi \end{bmatrix}$, gdzie $z=a+bi,\; w=c+di$.

Innym sposobem zapisu macierzowego jest

$\begin{bmatrix} \;\; a & \;\; b & -d & -c \\ -b & \;\; a & -c & \;\; d \\ \;\; d & \;\; c & \;\; a & \;\; b \\ \;\; c & -d & -b & \;\; a \end{bmatrix}$, dla $: a, b, c, d \in \mathbb R$.

Kolejnym sposobem zapisu jest postać algebraiczna – wprowadzenie oznaczenia dla szczególnych macierzy (kwaternionów)

$i=\begin{bmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{bmatrix},\quad j=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad k=\begin{bmatrix} 0 & i\\ i & 0 \end{bmatrix}\quad$

pozwoli na zapis dowolnego kwaternionu w postaci

$q=a+bi+cj+dk$, gdzie $: a, b, c, d \in \mathbb R$.

Wtedy $a \in \mathbb R$ nazywa się czasami częścią rzeczywistą kwaternionu $q$.

Dodatkowo niech $r=\begin{bmatrix} r & 0\\ 0 & r \end{bmatrix}\quad$ dla $r \in \mathbb R$.

Sprzężenie, wyznacznik, moduł

Sprzężenie w kwaternionach definiujemy następującym wzorem:

$\overline \begin{bmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overline z & -w\\ \overline w & z \end{bmatrix}$,

w postaci algebraicznej:

$\overline{a+bi+cj+dk}=a-bi-cj-dk$.

Wyznacznik kwaternionu definiujemy wg wzoru

$\det q = |z|^2+|w|^2$.

Moduł to pierwiastek z wyznacznika:

$|q|=\sqrt{\det q}=\sqrt{\begin{vmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{vmatrix}} = \sqrt{|z|^2+|w|^2}$,

albo równoważnie w postaci algebraicznej:

$|a+bi+cj+dk|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$

Własności sprzężenia i modułu

• $|q|=|\overline q|=|-q|$,
• $q\cdot \overline q=|q|^2$,
• $|q\cdot w|=|q|\cdot|w|$,
• $|q+w|\leqslant|q|+|w|$ (nierówność trójkąta).

Własności

Wykorzystując wspomniany izomorfizm kwaternionów i ich postaci macierzowej otrzymujemy:

• z własności dodawania macierzy wnioskujemy, iż suma dwu kwaternionów jest kwaternionem;

$\begin{bmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} p & q\\ -\overline q & \overline p \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} z+p & w+q\\ -\overline {(w+q)} & \overline {z+p} \end{bmatrix}$

• podobnie iloczyn dwu kwaternionów jest kwaternionem,
• dla kwaternionu $q \ne 0$:
  • $\mathbb R \ni \det q > 0$,
  • istnieje kwaternion odwrotny zadany wzorem

$q^{-1} = \begin{bmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{bmatrix}^{-1} =\frac{\begin{bmatrix} \overline z & -w\\ \overline w & z \end{bmatrix}}{|z|^2+|w|^2}$.

Zauważmy jeszcze iż:

• mnożenie kwaternionów jest łączne, czyli $(ab)c = a(bc)$,
• zachodzą rozdzielności mnożenia względem dodawania, czyli
  • $x(y+z)=xy+xz$,
  • $(y+z)x=yx+zx$.

Tak zdefiniowane kwaterniony $i, j, k$ spełniają następujące zależności:

• $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$,
• $ij = -ji = k$,
• $jk = -kj = i$,
• $ki = -ik = j$,
• $1q=q1=q$ dla dowolnego $q$, czyli $1$ jest elementem neutralnym mnożenia,
• $rq=qr$ o ile $r \in \mathbb R$ (jest kwaternionem postaci $r+0i+0j+0k$), natomiast $q$ dowolnym kwaternionem.
• $q \overline q= |q|^2$.

Izomorficzność

Ponieważ kwaterniony są uogólnieniem pewnych ciał liczbowych, poniżej wskazujemy izomorfizmy pewnych podzbiorów kwaternionów z tymi ciałami:

• kwaterniony postaci $r+0i+0j+0k, r \in \mathbb R$ można utożsamiać z liczbami rzeczywstymi,
• następujące zbiory kwaternionów możemy utożsamiać z ciałem liczb zespolonych:
  • $\{q=a+bi: a, b\in \mathbb R\}$,
  • $\{q=a+bj: a, b\in \mathbb R\}$,
  • $\{q=a+bk: a, b\in \mathbb R\}$.

Własności algebraiczne

Grupa kwaternionów

Z powyższych własności i praw działań na macierzach wnioskujemy, iż zbiór $\{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$ z mnożeniem tworzy grupę oznaczaną symbolem $Q_8$ (od liczby elementów).

Zbiór kwaternionów z dodawaniem jako działaniem tworzy grupę abelową (zbiór z mnożeniem nie jest grupą abelową), a ponieważ działanie mnożenia jest łączne i zachodzi jego rozdzielność obustronna względem dodawania, to kwaterniony ze wspomnianymi dwoma działaniami tworzą pierścień nieprzemienny (ponieważ $ij \neq ji$), w którym rozwiązywalne są równania postaci $Ax+B=C$ oraz $xA+B=C,\quad A \ne 0$.

Pierścień z dzieleniem

Co więcej: zbiór kwaternionów z działaniami dodawania i mnożenia tworzy pierścień z dzieleniem, spełnione są w nim wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem warunku $ab = ba$.

Przykłady

Niech

$x=2+3i+4k$

$y=2+3j+2k$

Wtedy

$x+y=4+3i+3j+6k$,

$xy=(2+3i+4k)(2+3j+2k)=$

$=2(2+3j+2k)+3i(2+3j+2k)+4k(2+3j+2k)=$

$=4+6j+4k+6i+9ij+6ik+8k+12kj+8k^2=$

$=4+6j+4k+6i+9k+6(-j)+8k+12(-i)+8(-1)=$

$=-4-6i+21k$

Geometryczna interpretacja mnożenia

Jak liczbę zespoloną tak i kwaternion można przedstawić w postaci sumy części rzeczywistej oraz urojonej $a + \mathrm v$. W tej postaci $a \in \mathbb R$, zaś $\mathrm v \in \mathbb R^3$ wektorem trójwymiarowym. Wtedy iloczyn dwóch wektorów urojonych można wyrazić jako: $\mathrm{vw} = -(\mathrm v \cdot \mathrm w) + \mathrm v \times \mathrm w$, a dwóch kwaternionów - jako: $(a + \mathrm v)(b + \mathrm w) = ab - (\mathrm v \cdot \mathrm w) + a\mathrm w + b\mathrm v + \mathrm v \times \mathrm w$. We wzorach tych kropka oznacza iloczyn skalarny, a krzyżyk iloczyn wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.

Obroty przestrzeni trójwymiarowej

Kwaterniony jednostkowe tworzą sferę jednostkową $S^3$ w przestrzeni czterowymiarowej. Grupa ta jest blisko związana z grupą obrotów $SO^3$ przestrzeni trójwymiarowej. Przypiszmy mianowicie dowolnemu kwaternionowi $h$ obrót $T_h$ wg wzoru:

$T_h(x) = h x h^{-1}$.

Wówczas:

• przekształcenie $T_h$ jest obrotem w trójwymiarowej przestrzeni kwaternionów urojonych.
• przekształcenie $h \mapsto T_h$ definiuje podwójne nakrycie grupy $SO^3$ przez sferę $S^3$.
• jeśli wyrazimy kwaternion $h$ w postaci wykładniczej $e^{va}$, wtedy $T_h$ jest obrotem wokół osi $v$ kąt $2a$.

Zastosowania

Kwaterniony są używane w grafice komputerowej do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie DirectX. Ich zastosowania w matematyce są jednak o wiele szersze.

Sam Hamilton używał kwaternionów do linearyzacji równań różniczkowych, m.in. w mechanice niebieskiej - obrót to pomnożenie przez stałe kwaterniony. Kwaternionów Hamiltona używa się do konstrukcji wiązek wektorowych w geometrii różniczkowej. Użyto ich też w teorii liczb do badania liczby przedstawień liczby naturalnej jako sumy czterech kwadratów liczb całkowitych (co akurat przydaje się w równaniach różniczkowych cząstkowych).

Uogólnionych algebr kwaternionów używa się w teorii liczb (ładne sformułowanie zasady lokalno-globalnej Minkowskiego-Hasse), geometrii algebraicznej (stożkowe jako rozmaitości Severi-Brauera); pojawiają się w teorii kohomologii Galois (kohomologii etalnych) jako elementy rzędu 2 w grupie Brauera ciała (słynne twierdzenie Merkurjewa z 1981 identyfikuje owe elementy rzędu dwa jako klasy iloczynów tensorowych uogólnionych algebr kwaternionów); algebraiczna K-teoria rzutowej krzywej stożkowej wyraża się przez algebraiczną K-teorię ciała współczynników i K-teorię odpowiedniej uogólnionej algebry kwaternionów. Ogólniej, R. Swan udowodnił w 1985, że algebraiczna K-teoria kwadryki rzutowej wyraża się przez algebraiczne K-teorie ciała i odpowiedniej algebry Clifforda, która jest albo algebrą macierzy nad iloczynem tensorowym uogólnionych algebr kwaternionów, albo iloczynem kartezjańskim dwóch takich algebr (macierzy).

Zobacz też

• Oktawy Cayleya
• Kokwaterniony
• Tessariny

Bibliografia

• Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. PWN, 1968. 

Linki zewnętrzne

• kwaterniony w grafice komputerowej i mechanice (Gernot Hoffman)
• kalkulator dla kwaternionów