Kwaterniony

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kwaternionystruktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.

Współczesna matematyka opisuje kwaterniony jako czterowymiarową, unormowaną algebrę z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez \mathbb H od pierwszej litery nazwiska twórcy. Wspomniana algebra \mathbb H zajmuje specjalne miejsce w algebrze, ponieważ zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa jest jednym z trzech skończenie wymiarowych pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste jako podpierścień.

Zapis[edytuj | edytuj kod]

Jest kilka sposobów przedstawiania kwaternionów. Jednym z nich jest przedstawienie kwaternionów w postaci macierzowej, czyli jako macierzy z przestrzeni M_{2 \times 2}(\mathbb C) takich, że

\begin{bmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a+bi & c+di\\
-c+di & a-bi
\end{bmatrix}, gdzie z=a+bi,\; w=c+di.

Innym sposobem zapisu macierzowego jest[1]

\begin{bmatrix}
 \;\; a & \;\; b & -d & -c \\ 
 -b & \;\; a & -c & \;\; d \\
 \;\; d & \;\; c & \;\; a & \;\; b \\
 \;\; c & -d & -b & \;\; a 
\end{bmatrix}, dla : a, b, c, d \in \mathbb R.

Kolejnym sposobem zapisu jest postać algebraiczna – wprowadzenie oznaczenia dla szczególnych macierzy (kwaternionów)


i=\begin{bmatrix}
i & 0\\
0 & -i
\end{bmatrix},\quad

j=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix},\quad

k=\begin{bmatrix}
0 & i\\
i & 0
\end{bmatrix}\quad

pozwoli na zapis dowolnego kwaternionu w postaci

q=a+bi+cj+dk, gdzie : a, b, c, d \in \mathbb R.

Wtedy a \in \mathbb R nazywa się czasami częścią rzeczywistą kwaternionu q.

Dodatkowo niech 
r=\begin{bmatrix}
r & 0\\
0 & r
\end{bmatrix}\quad
dla r \in \mathbb R.

Sprzężenie, wyznacznik, moduł[edytuj | edytuj kod]

Sprzężenie w kwaternionach definiujemy następującym wzorem:

\overline \begin{bmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\overline z & -w\\
\overline w & z
\end{bmatrix},

w postaci algebraicznej:

\overline{a+bi+cj+dk}=a-bi-cj-dk.

Wyznacznik kwaternionu definiuje wzór

\det q = |z|^2+|w|^2.

Moduł to pierwiastek z wyznacznika:

|q|=\sqrt{\det q}=\sqrt{\begin{vmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{vmatrix}} = \sqrt{|z|^2+|w|^2},

albo równoważnie w postaci algebraicznej:

|a+bi+cj+dk|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}

Własności sprzężenia i modułu[edytuj | edytuj kod]

Własności[edytuj | edytuj kod]

Wykorzystując wspomniany izomorfizm kwaternionów i ich postaci macierzowej otrzymujemy:

  • z własności dodawania macierzy wnioskujemy, iż suma dwu kwaternionów jest kwaternionem;
\begin{bmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
p & q\\
-\overline q & \overline p
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
z+p & w+q\\
-\overline {(w+q)} & \overline {z+p}
\end{bmatrix}
  • podobnie iloczyn dwu kwaternionów jest kwaternionem,
  • dla kwaternionu q \ne 0:
    • \mathbb R \ni \det q > 0,
    • istnieje kwaternion odwrotny zadany wzorem
q^{-1} = \begin{bmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{bmatrix}^{-1}
=\frac{\begin{bmatrix}
\overline z & -w\\
\overline w & z
\end{bmatrix}}{|z|^2+|w|^2}.

Zauważmy jeszcze iż:

  • mnożenie kwaternionów jest łączne, czyli (ab)c = a(bc),
  • zachodzą rozdzielności mnożenia względem dodawania, czyli
    • x(y+z)=xy+xz,
    • (y+z)x=yx+zx.

Tak zdefiniowane kwaterniony i, j,  k spełniają następujące zależności:

  • i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1,
  • ij = -ji = k,
  • jk = -kj = i,
  • ki = -ik = j,
  • 1q=q1=q dla dowolnego q, czyli 1 jest elementem neutralnym mnożenia,
  • rq=qr o ile r \in \mathbb R (jest kwaternionem postaci r+0i+0j+0k), natomiast q dowolnym kwaternionem.
  • q \overline q= |q|^2.

Izomorficzność[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ kwaterniony są uogólnieniem pewnych ciał liczbowych, poniżej wskazujemy izomorfizmy pewnych podzbiorów kwaternionów z tymi ciałami:

  • kwaterniony postaci r+0i+0j+0k, r \in \mathbb R można utożsamiać z liczbami rzeczywistymi,
  • następujące zbiory kwaternionów możemy utożsamiać z ciałem liczb zespolonych:
    • \{q=a+bi: a, b\in \mathbb R\},
    • \{q=a+bj: a, b\in \mathbb R\},
    • \{q=a+bk: a, b\in \mathbb R\}.

Własności algebraiczne[edytuj | edytuj kod]

Grupa kwaternionów[edytuj | edytuj kod]

Z powyższych własności i praw działań na macierzach wnioskujemy, iż zbiór \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\} z mnożeniem tworzy grupę oznaczaną symbolem Q_8 (od liczby elementów).

Zbiór kwaternionów z dodawaniem jako działaniem tworzy grupę abelową (zbiór z mnożeniem nie jest grupą abelową), a ponieważ działanie mnożenia jest łączne i zachodzi jego rozdzielność obustronna względem dodawania, to kwaterniony ze wspomnianymi dwoma działaniami tworzą pierścień nieprzemienny (ponieważ ij \neq ji), w którym rozwiązywalne są równania postaci Ax+B=C oraz xA+B=C,\quad A \ne 0.

Pierścień z dzieleniem[edytuj | edytuj kod]

Co więcej: zbiór kwaternionów z działaniami dodawania i mnożenia tworzy pierścień z dzieleniem, spełnione są w nim wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem warunku ab = ba.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech

x=2+3i+4k
y=2+3j+2k

Wtedy

x+y=4+3i+3j+6k,
xy=(2+3i+4k)(2+3j+2k)=
=2(2+3j+2k)+3i(2+3j+2k)+4k(2+3j+2k)=
=4+6j+4k+6i+9ij+6ik+8k+12kj+8k^2=
=4+6j+4k+6i+9k+6(-j)+8k+12(-i)+8(-1)=
=-4-6i+21k

Geometryczna interpretacja mnożenia[edytuj | edytuj kod]

Jak liczbę zespoloną tak i kwaternion można przedstawić w postaci sumy części rzeczywistej oraz urojonej a + \mathrm v. W tej postaci a \in \mathbb R, zaś \mathrm v \in \mathbb R^3 jest wektorem trójwymiarowym. Wtedy iloczyn dwóch wektorów urojonych można wyrazić jako: \mathrm{vw} = -(\mathrm v \cdot \mathrm w) + \mathrm v \times \mathrm w, a dwóch kwaternionów - jako: (a + \mathrm v)(b + \mathrm w) = ab - (\mathrm v \cdot \mathrm w) + a\mathrm w + b\mathrm v + \mathrm v \times \mathrm w. We wzorach tych kropka oznacza iloczyn skalarny, a krzyżyk iloczyn wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.

Obroty przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Kwaterniony jednostkowe tworzą sferę jednostkową S^3 w przestrzeni czterowymiarowej. Grupa ta jest blisko związana z grupą obrotów SO^3 przestrzeni trójwymiarowej. Przypiszmy mianowicie dowolnemu kwaternionowi h obrót T_h według wzoru:

T_h(x) = h x h^{-1}.

Wówczas:

  • przekształcenie T_h jest obrotem w trójwymiarowej przestrzeni kwaternionów urojonych.
  • przekształcenie h \mapsto T_h definiuje podwójne nakrycie grupy SO^3 przez sferę S^3.
  • jeśli wyrazimy kwaternion h w postaci wykładniczej e^{va}, wtedy T_h jest obrotem wokół osi v kąt 2a.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Kwaterniony są używane w grafice komputerowej do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie DirectX[2]. Klasy pozwalające wykonywać operacje na kwaternionach dostępne są również w OpenGL oraz wielu istniejących silnikach 3D. Części urojone kwaternionu służą do zdefiniowania płaszczyzny obrotu (opisują wektor prostopadły do płaszczyzny obrotu), część rzeczywista do określenia kąta obrotu. Zalety użycia kwaternionów to brak możliwości wystąpienia efektu Gimbal Lock (utraty stopnia swobody) oraz proste obliczeniowo metody służące interpolacji SLERP i LERP.

Ich zastosowania w matematyce są jednak o wiele szersze.

Sam Hamilton używał kwaternionów do linearyzacji równań różniczkowych, m.in. w mechanice niebieskiej - obrót to pomnożenie przez stałe kwaterniony. Kwaternionów Hamiltona używa się do konstrukcji wiązek wektorowych w geometrii różniczkowej. Użyto ich też w teorii liczb do badania liczby przedstawień liczby naturalnej jako sumy czterech kwadratów liczb całkowitych (co akurat przydaje się w równaniach różniczkowych cząstkowych).

Uogólnionych algebr kwaternionów używa się w teorii liczb (ładne sformułowanie zasady lokalno-globalnej Minkowskiego-Hasse), geometrii algebraicznej (stożkowe jako rozmaitości Severi-Brauera); pojawiają się w teorii kohomologii Galois (kohomologii etalnych) jako elementy rzędu 2 w grupie Brauera ciała (słynne twierdzenie Merkurjewa z 1981 identyfikuje owe elementy rzędu dwa jako klasy iloczynów tensorowych uogólnionych algebr kwaternionów); algebraiczna K-teoria rzutowej krzywej stożkowej wyraża się przez algebraiczną K-teorię ciała współczynników i K-teorię odpowiedniej uogólnionej algebry kwaternionów. Ogólniej, R. Swan udowodnił w 1985, że algebraiczna K-teoria kwadryki rzutowej wyraża się przez algebraiczne K-teorie ciała i odpowiedniej algebry Clifforda, która jest albo algebrą macierzy nad iloczynem tensorowym uogólnionych algebr kwaternionów, albo iloczynem kartezjańskim dwóch takich algebr (macierzy).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]