Twierdzenie Sylowa

Twierdzenia Sylowa – twierdzenia teorii grup opisujące zbiór podgrup specjalnego rodzaju (tzw. podgrup Sylowa). Ich autorem jest Peter Sylow.

Założenia

W dalszej części artykułu $p, q$ będą liczbami pierwszymi, z kolei $k, r$ będą liczbami naturalnymi. Niech $G$ będzie taką grupą, że

$|G| = p^k \cdot r$

i liczby $p$ i $r$ są względnie pierwsze, tj. ich największy wspólny dzielnik $(p, r)$ jest równy 1. Ponadto, niech $s_p$ oznacza ilość p-podgrup Sylowa w grupie G.

Tezy

Jeżeli liczba pierwsza $p$ dzieli rząd grupy $G$, to:

1. (Pierwsze twierdzenie Sylowa) Grupa $G$ zawiera podgrupy rzędów p ⁱ dla i = 1, 2, ..., k, przy czym każda podgrupa rzędu p ^{i - 1} jest podgrupą normalną przynajmniej jednej podgrupy rzędu p ⁱ.
2. Podgrupę rzędu p ^k nazywamy podgrupą Sylowa grupy G. Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że podgrupa Sylowa jest maksymalną p-grupą. Jej indeks nie jest podzielny przez p. Z pierwszego twierdzenia Sylowa wynika, że każda p-podgrupa grupy G jest dzielnikiem normalnym pewnej podgrupy Sylowa grupy G.
3. (Drugie twierdzenie Sylowa) Wszystkie p-podgrupy Sylowa grupy G są ze sobą sprzężone.
4. Drugie twierdzenie Sylowa mówi, że jeżeli $H_1$ oraz $H_2$ są p-podgrupami Sylowa grupy $G$, to istnieje taki automorfizm wewnętrzny $\varphi$ grupy G generowany przez element $g \in G$, że $\varphi(H_1) =gH_1g^{-1} = H_2$. Z pierwszego i drugiego twierdzenia Sylowa wynika, że jeżeli $H$ jest p-podgrupą Sylowa w $G$, zaś $K \triangleleft G$ dowolną p-podgrupą, to istnieje element $g \in G$ dla którego $K \triangleleft gHg^{-1}$.
5. (Trzecie twierdzenie Sylowa) Liczba $s_p$ p-podgrup Sylowa grupy $G$ przystaje do 1 modulo p, czyli

$s_p \equiv 1 \pmod p$.

Wnioski

• Jeżeli $p \bigg| |G|$, to istnieje w $G$ element rzędu $p$ (twierdzenie Cauchy'ego). Jeżeli każdy element $g \in G$ ma rząd postaci $p^k$, to $G$ jest p-grupą.
• Jeżeli $p > q$ oraz $|G|=pq$, to istnieje w $G$ podgrupa normalna rzędu $p$. Jeśli ponadto $q$ nie jest dzielnikiem liczby $p-1$, to grupa $G$ jest cykliczna.
• Jeżeli $p \bigg| |G|$, to $s_p \bigg| |G|$.
• Niech G będzie grupą rzędu 33. Z twierdzeń Sylowa wynika, że grupa G ma przynajmniej jedną podgrupę H₁ rzędu 11 oraz $s_{11} | 3$ i $s_{11} \equiv 1\pmod {11}$. Stąd wynika, że s₁₁ = 1 i H₁ jest podgrupą normalną. Podobnie $s_{3} | 11$ i $s_{3} \equiv 1\pmod 3$ i dlatego 3-podgrupa Sylowa H₂ grupy G jest również normalna. Obie grupy są cykliczne, czyli przemienne, a ich suma prosta jest izomorficzna z G, która jest w takim razie także przemienna i jest to jedyna grupa rzędu 33. W podobny sposób analizuje się grupy rzędu 99.
• Jeśli p i q są takimi liczbami pierwszymi, że $p \not \equiv 1\pmod q$ oraz $q \not \equiv 1\pmod p$, to jedyną grupą rzędu pq jest suma prosta grup cyklicznych rzędów p i q.

Bibliografia

1. Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1972, s. 31-33. 
2. Jerzy Browkin: Teoria reprezentacji grup skończonych. Warszawa: PWN, 2010, s. 14-15. ISBN 978-83-01-16051-7. 
3. Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. Warszawa: Script, 2002, s. 89-96. ISBN 83-904564-9-4. 
4. Jean-Pierre Serre: Reprezentacje liniowe grup skończonych (tłum. z franc.). Warszawa: PWN, 1988, s. 88, 89. ISBN 83-01-07908-8.