Twierdzenie Sylowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenia Sylowatwierdzenia teorii grup autorstwa Petera Sylowa[1], czasem formułowane jako jedno twierdzenie Sylowa. Wynik ten jest częściowym odwróceniem twierdzenia Lagrange'a (rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu danej grupy), a zarazem uogólnieniem twierdzenia Cauchy'ego (o istnieniu podgrupy rzędu będącego liczbą pierwszą dzielącym rząd danej grupy).

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: p-grupa.

Niech \scriptstyle p będzie liczbą pierwszą, która ponadto jest względnie pierwsza z liczbą naturalną \scriptstyle r (tzn. największy wspólny dzielnik \scriptstyle \mathrm{nwd}(p, r) = 1). Niech \scriptstyle G będzie grupą rzędu \scriptstyle |G| = p^k r, gdzie \scriptstyle k jest pewną nieujemną liczbą całkowitą; dowolną jej podgrupę rzędu \scriptstyle p^i, gdzie \scriptstyle i = 1, \dots, k nazywa się \scriptstyle p-podgrupą tej grupy, przy czym podgrupy rzędu \scriptstyle p^k nazywane są \scriptstyle p-podgrupami Sylowa.

Pierwsze twierdzenie Sylowa 
W grupie \scriptstyle G istnieje (co najmniej jedna) \scriptstyle p-podgrupa Sylowa.
Drugie twierdzenie Sylowa 
Wszystkie \scriptstyle p-podgrupy Sylowa grupy \scriptstyle Gsprzężone, tzn. dla dowolnych \scriptstyle p-podgrup Sylowa \scriptstyle H, K grupy \scriptstyle G istnieje taki automorfizm wewnętrzny \scriptstyle \varphi_g tej grupy (\scriptstyle \varphi_g(a) = gag^{-1}), że \scriptstyle \varphi[H] = K.
Trzecie twierdzenie Sylowa 
Liczba \scriptstyle s_p wszystkich \scriptstyle p-podgrup Sylowa grupy \scriptstyle G przystaje do jedynki modulo \scriptstyle p, tzn. \scriptstyle s_p \equiv 1 \bmod p (czyli \scriptstyle p jest dzielnikiem \scriptstyle s_p - 1, tj. \scriptstyle p | s_p - 1).

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że \scriptstyle p-podgrupa Sylowa jest jej maksymalną (w sensie zawierania) \scriptstyle p-podgrupą, a jej indeks równy \scriptstyle r nie jest podzielny przez \scriptstyle p, innymi słowy \scriptstyle s_p|r. Z drugiego twierdzenia wynika, że warunek \scriptstyle s_p = 1 jest równoważny normalności (a nawet charakterystyczności) \scriptstyle p-podgrupy Sylowa[2]. Z pierwszego i drugiego twierdzenia Sylowa wynika, że jeżeli \scriptstyle H jest \scriptstyle p-podgrupą Sylowa w \scriptstyle G, zaś \scriptstyle K jest \scriptstyle p-podgrupą normalną w \scriptstyle G, to istnieje taki element \scriptstyle g \in G, dla którego \scriptstyle K jest podgrupą normalną w \scriptstyle gHg^{-1}.

Jeżeli \scriptstyle p jest dzielnikiem rzędu \scriptstyle |G| grupy \scriptstyle G, to w grupie tej istnieje element rzędu \scriptstyle p (tzw. twierdzenie Cauchy'ego); ponadto \scriptstyle s_p dzieli wtedy \scriptstyle |G|. Jeżeli każdy element \scriptstyle g \in G ma rząd postaci \scriptstyle p^k, to \scriptstyle G jest \scriptstyle p-grupą. Jeśli \scriptstyle p > q oraz \scriptstyle |G| = pq, gdzie \scriptstyle p, q są pewnymi liczbami pierwszymi, to w \scriptstyle G istnieje podgrupa normalna rzędu \scriptstyle p; jeżeli \scriptstyle q nie dzieli ponadto \scriptstyle p-1, to grupa \scriptstyle G jest cykliczna. W szczególności jeśli \scriptstyle q nie dzieli \scriptstyle p-1 oraz \scriptstyle p nie dzieli \scriptstyle q-1, to jedyną grupą rzędu \scriptstyle pq jest suma prosta grup cyklicznych o rzędach \scriptstyle p i \scriptstyle q.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle G będzie grupą rzędu \scriptstyle 33. Z twierdzeń Sylowa wynika, że grupa \scriptstyle G zawiera \scriptstyle 11-podgrupę \scriptstyle H_{11} rzędu \scriptstyle 11 (przynajmniej jedną), a ponadto \scriptstyle s_{11} | 3 oraz \scriptstyle 11 | s_{11} - 1, skąd wynika, że \scriptstyle s_{11} = 1 i normalność \scriptstyle H_{11}. Podobnie \scriptstyle s_3 | 11 oraz \scriptstyle 3 | s_3 - 1, skąd \scriptstyle 3-podgrupa Sylowa \scriptstyle H_3 rzędu \scriptstyle 3 grupy \scriptstyle G również jest normalna. Obie te podgrupy są cykliczne (a stąd przemienne), zaś ich suma prosta jest izomorficzna z \scriptstyle G, co oznacza, że również jest przemienna i jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) grupą rzędu \scriptstyle 33. W podobny sposób można dokonać klasyfikacji grup rzędu \scriptstyle 99[3].

Rozumując w analogiczny sposób można dowieść, że jedynymi grupami rzędu \scriptstyle 6 (z dokładnością do izomorfizmu) są grupa cykliczna \scriptstyle \mathbb Z_6 oraz grupa symetryczna \scriptstyle S_3.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1972, s. 31-33.
  • Jerzy Browkin: Teoria reprezentacji grup skończonych. Warszawa: PWN, 2010, s. 14-15. ISBN 978-83-01-16051-7.
  • Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. Warszawa: Script, 2002, s. 89-96. ISBN 83-904564-9-4.
  • Michaił Iwanowicz Kargapołow, Jurij Iwanowicz Mierzlakow: Podstawy teorii grup. Warszawa: PWN, 1989, s. 107-108. ISBN 83-01-08736-6.
  • Jean-Pierre Serre: Reprezentacje liniowe grup skończonych. Warszawa: PWN, 1988, s. 88-89. ISBN 83-01-07908-8.

Przypisy

  1. Peter Ludwig Mejdell Sylow. Théorèmes sur les groupes de substitutions. „Math. Ann.”. 5, s. 584-594, 1872. 
  2. Przykładem grupy, która ma podgrupy normalne niebędące podgrupami Sylowa, jest np. grupa symetryczna \scriptstyle S_4.
  3. James S. Milne: Group Theory. s. 81.