Warstwa (teoria grup)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Warstwa – w teorii grup podzbiór danej grupy będący jednym z równolicznych elementów jej podziału wyznaczonego przez ustaloną podgrupę, czyli klasa równoważności pewnej relacji równoważności związanej ze wspomnianą podgrupą; jako klasy ustalonej równoważności są one rozłączne, niepuste, a ich zbiór sumuje się do całej grupy.

Każda podgrupa wyznacza dwie relacje równoważności o tej samej liczbie warstw – liczbę tę nazywa się indeksem tej podgrupy względem danej grupy; elementy jednego podziału nazywa się warstwami lewostronnymi, zaś drugiego – prawostronnymi, co ma swoje źródło w charakteryzacji tych zbiorów (zob. Definicja i Własności). Jeżeli obie wspomniane relacje równoważności wprowadzają ten sam podział, to podgrupę wyznaczającą te relacje (ten podział) nazywa się podgrupą normalną. Pojęcie warstwy umożliwia więc algebraiczną charakteryzację klas tych relacji równoważności, które wprowadzają w grupie podział respektujący jej strukturę; przy założeniu normalności podgrupy wyznaczającej podział zbioru elementów grupy, można na nim (tj. zbiorze ilorazowym) określić strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową (zob. Normalność).

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Graf przedstawia funkcję, która wprowadza podział w zbiorze \scriptstyle X, mianowicie dzieli ona dziedzinę na dwa zbiory \scriptstyle \{1, 2\} oraz \scriptstyle \{3\} będące włóknami odpowiednio nad elementami \scriptstyle d, c \in Y tworzącymi obraz zbioru \scriptstyle X, który można utożsamiać z rzutem kanonicznym \scriptstyle \overline X wprowadzanej relacji równoważności. Uwaga: włókna mogą mieć dowolną, niezerową liczbę elementów; analogiczna konstrukcja dla grup wymusza, by włókna (warstwy) były równoliczne.

Podział zbioru \scriptstyle S można przeprowadzić określając na nim relację równoważności \scriptstyle \sim, która podzieli go na rozłączne, niepuste i sumujące się do \scriptstyle S klasy o wskazanej przez \scriptstyle \sim własności. Każdą relację \scriptstyle \sim na \scriptstyle S można z kolei wprowadzić za pomocą pewnej funkcji \scriptstyle f\colon S \to T; dwa elementy \scriptstyle x, y \in S pozostają ze sobą w relacji \scriptstyle \sim wtedy i tylko wtedy, gdy ich obrazy w funkcji \scriptstyle f są równe,

x \sim y \Leftrightarrow f(x) = f(y);

mówi się też wtedy, że \scriptstyle x, y należą do jądra \scriptstyle \ker f funkcji \scriptstyle f.

Innymi słowy utożsamiane są te elementy dziedziny, które w obrazie przekształcane są na ten sam element \scriptstyle t \in T; zbiór tych elementów dziedziny, czyli \scriptstyle f^{-1}[t] nazywa się włóknem bądź poziomicą albo warstwicą nad \scriptstyle t. Obraz \scriptstyle f[S] \subseteq T można z kolei utożsamiać ze zbiorem \scriptstyle \overline S klas równoważności \scriptstyle \sim, czyli funkcja \scriptstyle S \to f[S] wyznacza i jest wyznaczana przez odwzorowanie ilorazowe \scriptstyle S \to \overline S.

Powyższe obserwacje można zastosować do homomorfizmu grup \scriptstyle \varphi\colon G \to G' o jądrze \scriptstyle H równym z definicji \scriptstyle \ker \varphi = \big\{a \in G\colon \varphi(a) = \varphi(e) = e'\big\}, które jest podgrupą w \scriptstyle G[1]. Otrzymuje się wtedy relację równoważności (podział) w \scriptstyle G, której charakterystyczną własnością jest to, iż \scriptstyle H jest jedną z jej klas równoważności; w ogólności są one postaci \scriptstyle aH = \{ah\colon h \in H\} dla \scriptstyle a \in G[2][3], a ponadto są równoliczne (zob. Własności, por. rysunek obok). Bezpośrednio stąd wynika, tak jak w opisanym wyżej przypadku teoriomnogościowym, że elementy \scriptstyle \varphi(a) odpowiadają wprost warstwom \scriptstyle a(\ker \varphi)[4] tzn. obraz \scriptstyle \varphi[G] można utożsamiać ze zbiorem \scriptstyle \overline G warstw grupy \scriptstyle G względem \scriptstyle H[5].

Podział grupy na warstwy względem podgrupy jest więc pojęciem węższym, a przede wszystkim algebraicznie bardziej użytecznym, od dowolnego podziału (zbioru elementów) grupy. W ogólności przyjmuje się, że podgrupa \scriptstyle H może być dowolną podgrupą w \scriptstyle G, co sprawia, że wyznacza ona dwie, potencjalnie różne relacje równoważności; podgrupa wyznacza jeden podział wtedy i tylko wtedy, gdy jest jądrem homomorfizmu[6] – do tego zaś potrzeba a zarazem wystarcza, by była ona normalna (zob. osobna sekcja).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: grupapodgrupa.

Niech \scriptstyle G będzie dowolną grupą, \scriptstyle H jej dowolną podgrupą. Podzbiory grupy \scriptstyle G dane jako

aH = \{ah\colon h \in H\} \quad\mbox{ oraz }\quad Ha = \{ha\colon h \in H\}

dla \scriptstyle a \in G nazywa się odpowiednio warstwami lewostronną i prawostronną grupy \scriptstyle G względem \scriptstyle H wyznaczonymi przez element \scriptstyle a; jeżeli są one równe, tzn. \scriptstyle aH = Ha, to mówi się wtedy po prostu o warstwach (obustronnych).

Moc zbioru \scriptstyle G/H = \{aH\colon a \in G\}, oznaczanego też \scriptstyle G:H, wszystkich warstw lewostronnych nazywa się indeksem podgrupy \scriptstyle H względem grupy \scriptstyle G i oznacza jednym z symboli \scriptstyle [G:H], (G:H) lub \scriptstyle |G:H|; tak samo oznacza się i nazywa moc zbioru \scriptstyle G \backslash H = \{Ha\colon a \in G\} (nie mylić z różnicą zbiorów \scriptstyle G \smallsetminus H) wszystkich warstw prawostronnych, gdyż liczby te są równe (zob. dalej). Spotyka się również odwrócone oznaczenie zbioru warstw prawostronnych, mianowicie \scriptstyle H \backslash G (bywa ono stosowane jako element notacji warstw dwustronnych); jest ono o tyle „bezpieczniejsze”, iż zawsze \scriptstyle H \smallsetminus G = \varnothing. Jeżeli \scriptstyle N jest podgrupą normalną, to \scriptstyle G/N = G \backslash N (zob. Normalność) i wtedy zbiór warstw[7] oznacza się zwykle wyłącznie za pomocą pierwszego z przytoczonych symboli, tj. jak zbiór warstw lewostronnych.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \scriptstyle e oznacza element neutralny w \scriptstyle G, to warstwa lewostronna \scriptstyle eH równa jest podgrupie \scriptstyle H, a ta jest równa warstwie prawostronnej \scriptstyle He[8] (warstwa ta jest jedyną wśród nich podgrupą, gdyż tylko ona zawiera element neutralny); równości \scriptstyle aH = H oraz \scriptstyle Ha = H zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle a \in H[9]. Równość \scriptstyle aH = bH warstw lewostronnych zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle a = bh dla pewnego \scriptstyle h \in H[10], co wprost z definicji warstwy jest równoważne warunkowi \scriptstyle a \in bH, bądź \scriptstyle a^{-1}b \in H[11], który można również zastąpić równością \scriptstyle a^{-1}bH = H[12]; podobnie dla warstw prawostronnych[13].

Grupa \scriptstyle G jest sumą parami rozłącznych warstw lewostronnych[14] i podobnie dla warstw prawostronnych; innymi słowy warstwy lewo- i prawostronne względem \scriptstyle H wprowadzają odpowiednio podziały \scriptstyle G/H oraz \scriptstyle G \backslash H w zbiorze elementów grupy \scriptstyle G (które nie muszą być identyczne, zob. kolejną sekcję i Przykłady). Ze wzajemnej odpowiedniości podziałów i relacji równoważności wynika, że wspomniane podziały można uzyskać za pomocą relacji równoważności \scriptstyle \sim bądź \scriptstyle \backsim utożsamiających elementy z jednej warstwy lewo- bądź prawostronnej, tzn. \scriptstyle a \sim b \Leftrightarrow aH = bH albo \scriptstyle a \backsim b \Leftrightarrow Ha = Hb; opierając się na powyższych własnościach równości warstw relacje te definiuje się zwykle za pomocą równoważnych wzorów[15]

a \sim b \Leftrightarrow a^{-1}b \in H \quad\mbox{ oraz }\quad a \backsim b \Leftrightarrow ab^{-1} \in H,

przy czym klasy równoważności \scriptstyle [a]_\sim mają postać warstw lewostronych \scriptstyle aH, a klasy równoważności \scriptstyle [a]_\backsim są warstwami prawostronnymi \scriptstyle Ha[16]. Wynika stąd, że zbiory ilorazowe \scriptstyle G/\sim oraz \scriptstyle G/\backsim odpowiadają odpowiednio podziałom \scriptstyle G/H oraz \scriptstyle G \backslash H; własności warstw można więc wywnioskować z własności klas równoważności: w szczególności dwie warstwy lewostronne (prawostronne) względem \scriptstyle H są rozłączne, każdy element grupy \scriptstyle G należy do jednej i tylko jednej z nich, a ponadto żadna z nich nie jest pusta (zawiera przynajmniej jeden element).

Sztywność struktury grupy gwarantuje więcej: warstwy lewostronne są równoliczne, podobnie ma się rzecz z warstwami prawostronnymi[17]. Podgrupa \scriptstyle H jest równocześnie warstwą lewo- i prawostronną – dlatego równoliczne są wszystkie warstwy (\scriptstyle aH oraz \scriptstyle Ha dla dowolnego \scriptstyle a \in G) grupy \scriptstyle G względem \scriptstyle H; w szczególności jeżeli rząd \scriptstyle |H| jest skończony, to \scriptstyle |aH| = |Ha| = |H| dla każdego \scriptstyle a \in G[18]. Sytuacja ta jest warta podkreślenia, gdyż klasy abstrakcji dowolnych relacji równoważności określonych na zbiorach, np. elementów grupy, nie muszą być równoliczne (zob. rysunek w sekcji Motywacja). Równoliczne są również same podziały \scriptstyle G/H oraz \scriptstyle G \backslash H złożone odpowiednio z warstw lewo- i prawostronnych[19], a ich wspólna moc \scriptstyle [G:H] nazywana jest indeksem \scriptstyle H w \scriptstyle G. Wprost stąd wynika, że na skończony rząd \scriptstyle G składa się rząd pojedynczej warstwy grupy \scriptstyle G względem podgrupy \scriptstyle H pomnożony przez ich liczbę, tzn. zachodzi wzór[20]

|G| = |H| \cdot [G:H]

(przy oznaczeniach z sekcji Motywacja jest \scriptstyle |G| = |\ker \varphi| \cdot |\mathrm{im}\ \varphi|[21]). Powyższy wynik, wyrażony zwykle w postaci: rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy, nazywa się zwykle twierdzeniem Lagrange'a, choć niekiedy nazwę tę nosi jego bezpośredni wniosek: rząd elementu jest dzielnikiem rzędu grupy[22] (zob. rząd elementu i grupy).

Normalność[edytuj | edytuj kod]

 Osobne artykuły: podgrupa normalnagrupa ilorazowa.

Każda warstwa prawostronna względem podgrupy \scriptstyle H może być postrzegana jako warstwa lewostronna względem podgrupy \scriptstyle H^a = a^{-1}Ha do niej sprzężonej, gdyż \scriptstyle aH^a = aa^{-1}Ha = Ha dla dowolnego \scriptstyle a \in G. Z tego powodu mylące może być mówienie o warstwach względem danej podgrupy bez wskazywania, czy chodzi o warstwy lewo-, czy prawostronne. Nie mniej uwaga ta podsuwa pomysł na to jak zapewnić, by relacje \scriptstyle \sim oraz \scriptstyle \backsim dawały jeden zbiór ilorazowy \scriptstyle G/\sim = G/\backsim, tzn. podgrupa \scriptstyle H wyznaczała jeden podział \scriptstyle G/H = G \backslash H w grupie \scriptstyle G. Mianowicie \scriptstyle [a]_\sim = [a]_\backsim, czyli \scriptstyle aH = Ha dla dowolnego \scriptstyle a \in G; podgrupy \scriptstyle H grupy \scriptstyle G spełniające podany warunek nazywa się normalnymi; innymi słowy podgrupy normalne to podgrupy, które (jako całość) są przemienne ze wszystkimi elementami grupy \scriptstyle G[23][24].

Jeżeli podgrupa \scriptstyle H nie jest normalna, to podziały \scriptstyle G na warstwy lewo- i prawostronne względem \scriptstyle H są istotnie różne. Mimo to mogą istnieć pojedyncze warstwy \scriptstyle aH, Ha dla pewnego \scriptstyle a \in G, które są równe, tzn. \scriptstyle aH = Ha; sytuacja ta zachodzi wtedy, gdy element \scriptstyle a jest przemienny z dowolnym elementem grupy, tj. należy do centrum \scriptstyle G.

Normalność podgrupy \scriptstyle H jest równoważna temu, by mogła być ona jądrem homomorfizmu grupy \scriptstyle G, co z kolei umożliwia określenie na zbiorze warstw \scriptstyle G/H działania ich mnożenia \scriptstyle \cdot danego wzorem

(aH) \cdot (bH) = (ab)H.

Zbiór \scriptstyle G/H tworzy wraz z tym działaniem grupę nazywaną grupą ilorazową. W grupach przemiennych, w których korzysta się zwykle z notacji addytywnej, warstwy lewo- i prawostronne grupy \scriptstyle A względem podgrupy \scriptstyle B wyznaczane przez element \scriptstyle a są zawsze równe, \scriptstyle a + B = B + a (wprost z ich definicji), czyli każda podgrupa jest normalna; stąd grupa ilorazowa \scriptstyle A/B istnieje dla dowolnej podgrupy \scriptstyle B grupy przemiennej \scriptstyle A.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle G = \mathbb Z będzie grupą liczb całkowitych z dodawaniem, a \scriptstyle H = 2\mathbb Z będzie zbiorem liczb parzystych. Ponieważ dla dowolnych elementów \scriptstyle a, b \in H zachodzi \scriptstyle a - b \in H[25], to zbiór \scriptstyle H spełnia definicję podgrupy w \scriptstyle G. Istnieją dwie warstwy lewostronne \scriptstyle G względem \scriptstyle H, które tworzą odpowiednio zbiory parzystych i nieparzystych liczb całkowitych:

0 + 2\mathbb Z = \{2k\colon k \in \mathbb Z\} \quad\mbox{ oraz }\quad 1 + 2\mathbb Z = \{1 + 2k\colon k \in \mathbb Z\};

istnieją również dokładnie dwie warstwy prawostronne postaci

2\mathbb Z + 0 = \{2k\colon k \in \mathbb Z\} \quad\mbox{ oraz }\quad 2\mathbb Z + 1 = \{2k + 1\colon k \in \mathbb Z\},

które są równe odpowiadającym im warstwom lewostronnym – ta sytuacja jest przypadkiem szczególnym dwóch ogólnych reguł mówiących, kiedy warstwy lewostronne są równe prawostronnym (kiedy podgrupa jest normalna):

  • istnieje jeden podział na warstwy względem danej podgrupy, o ile tylko działanie w grupie jest przemienne (grupa jest abelowa)[26];
  • wszystkie podziały dwuelementowe na warstwy względem danej podgrupy są równe (podgrupa jest indeksu 2)[27].

Wspomniane podziały wyznaczane są przez (tożsame) relacje równoważności

a \sim b \Leftrightarrow - a + b \in 2\mathbb Z \quad\mbox{ oraz }\quad a \backsim b \Leftrightarrow a - b \in 2\mathbb Z,

które wyrażają tę samą własność: dwa elementy uważane są za równoważne, jeżeli ich różnica jest liczbą parzystą. Analogicznie rozpatrywać można warstwy \scriptstyle n\mathbb Z dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej \scriptstyle n; prowadzi to wprost do tzw. arytmetyki modulo \scriptstyle n (są to grupy ilorazowe przemiennej grupy \scriptstyle \mathbb Z względem ich podgrup \scriptstyle n\mathbb Z dla \scriptstyle n \in \mathbb N).

Niech dany będzie trójelementowy zbiór; jego elementy można uporządkować w różnorodny sposób uzyskując \scriptstyle 6 różnych ciągów. Zmiany uporządkowania możliwe są dzięki tzw. permutacjom, czyli przekształceniom zmieniającym porządek elementów danego zbioru; we wspomnianym przypadku wszystkie permutacje zbioru trójelementowego tworzą grupę permutacji \scriptstyle S_3 rzędu \scriptstyle 6[28] (jest to najmniejsza, w sensie liczby elementów, grupa nieprzemienna). Grupa ta ma cztery podgrupy (wszystkie cykliczne): trzy rzędu \scriptstyle 2 i jedną rzędu \scriptstyle 3; ostatnia z nich jest normalna, tj. wyznacza podział w \scriptstyle S_3 jednoznacznie (gdyż jest on dwuelementowy), każda z trzech pozostałych – nie jest normalna, czyli rozpatrywanie warstw lewo- i prawostonnych wprowadza dwa istotnie różne podziały. Niech przekształcenie \scriptstyle \iota\colon (1, 2, 3) \mapsto (1, 2, 3) oznacza zachowanie uporządkowania (element neutralny), a \scriptstyle \tau_3\colon (1, 2, 3) \mapsto (2, 1, 3) oznacza zmianę uporządkowania polegające na przestawieniu dwóch pierwszych elementów (zachowaniu wyłącznie trzeciego elementu) – wspomniane dwie permutacje \scriptstyle \iota, \tau_3 tworzą podgrupę \scriptstyle H grupy \scriptstyle G = S_3. Warstwami lewo- i prawostronnymi \scriptstyle G względem \scriptstyle H są odpowiednio

\{\iota, \tau_3\}, \{\sigma_\mathrm L, \tau_2\}, \{\sigma_\mathrm R, \tau_ 1\} \quad\mbox{ oraz }\quad \{\iota, \tau_3\}, \{\sigma_\mathrm R, \tau_2\}, \{\sigma_\mathrm L, \tau_ 1\},

które są istotnie różne (jedynym wspólnym elementem tych podziałów jest podgrupa \scriptstyle H), gdzie \scriptstyle \tau_i (\scriptstyle i = 1, 2, 3) to przestawienia dwóch elementów zachowujące \scriptstyle i-ty, zaś \scriptstyle \sigma_\mathrm L, \sigma_\mathrm R to cykliczne przestawienia wszystkich elementów odpowiednio „w lewo” i „w prawo”, tzn. \scriptstyle \sigma_\mathrm L\colon (1, 2, 3) \mapsto (3, 1, 2) oraz \scriptstyle \sigma_\mathrm R\colon (1, 2, 3) \mapsto (2, 3, 1).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. T. 49. Warszawa: 1978, seria: Biblioteka Matematyczna.

Przypisy

  1. Elementy \scriptstyle a, b \in \ker \varphi wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle \varphi(a) = \varphi(b) = e'; z własności homomorfizmów grup wynika, że \scriptstyle e' = \varphi(a)\varphi(b)^{-1} = \varphi\left(ab^{-1}\right), co oznacza, że \scriptstyle ab^{-1} \in \ker \varphi, tzn. \scriptstyle \ker \varphi jest podgrupą w \scriptstyle G.
  2. Otóż niech \scriptstyle a \sim b, tzn. \scriptstyle \varphi(a) = \varphi(b) \in G', wówczas \scriptstyle e' = \varphi(a)^{-1}\varphi(b) = \varphi\left(a^{-1}b\right), czyli \scriptstyle a^{-1}b \in H, tj. \scriptstyle a^{-1}b = h \in H, skąd \scriptstyle b = ah \in aH, co oznacza, że element równoważny do \scriptstyle a należy do zbioru \scriptstyle aH. Odwrotnie, dowolny element \scriptstyle b zbioru \scriptstyle aH jest równoważny z \scriptstyle a, ponieważ wtedy \scriptstyle \varphi(b) = \varphi(ah) = \varphi(a)\varphi(h) = \varphi(a), gdyż \scriptstyle h \in H oznacza, że \scriptstyle \varphi(h) = e'.
  3. Przechodząc w poprzednim dowodzie od \scriptstyle \varphi(a) = \varphi(b) \in G' do \scriptstyle \varphi(a) \varphi(b)^{-1} = e' uzyskuje się, że klasy równoważności elementu \scriptstyle a można również zapisać w postaci \scriptstyle Ha = \{ha\colon h \in H\} dla \scriptstyle a \in G. Sytuacja ta jest typowa dla podgrup \scriptstyle H będących jądrami homomorfizmów; dla podgrup nie mogącymi być jądrami homomorfizmów istnieją \scriptstyle a \in G dla których \scriptstyle aH \ne Ha, por. dalsza część artykułu.
  4. A także \scriptstyle (\ker \varphi)a, co wskazano wyżej.
  5. Nieco uogólniona, obserwacja ta znana jest jako pierwsze twierdzenie o izomorfizmie.
  6. Tożsamość pojęć „podział ↔ relacja równoważności” jest prawdziwa na gruncie teorii mnogości; jednakże równoważność „relacja równoważności ↔ jądro homomorfizmu” oprócz teorii grup zachodzi tylko w teorii pierścieni; dla części struktur algebraicznych prawdziwa jest zależność „relacja równoważności → jądro homomorfizmu” (np. dla półgrup z jedynką), w ogólności pojęcia te nie muszą wykazywać żadnego związku „relacja równoważności – jądro homomorfizmu” (czyniąc pojęcie jądra nieużytecznym).
  7. A także określoną na nim grupę ilorazową.
  8. Wprost z definicji warstwy lewostronnej \scriptstyle eH = \{eh \in G\colon h \in H\} = \{h \in G\colon h \in H\} = H i podobnie dla warstwy prawostronnej.
  9. Jeśli \scriptstyle aH = H, to \scriptstyle a = ae \in \{ah \in G\colon h \in H\} = aH = H, czyli \scriptstyle a \in H. Odwrotnie: jeżeli \scriptstyle a \in H, to również \scriptstyle a^{-1} \in H, zatem \scriptstyle ah \in H oraz \scriptstyle a^{-1}h \in H dla wszystkich \scriptstyle h \in H (gdyż \scriptstyle H jako podgrupa jest zamknięta ze względu na mnożenie), czyli \scriptstyle h = a\left(a^{-1}h\right) \in aH dla dowolnego \scriptstyle h \in H, zatem \scriptstyle aH \subseteq H oraz \scriptstyle H \subseteq aH, a więc \scriptstyle aH = H. Podobnie dla warstw prawostronnych.
  10. Jeśli \scriptstyle aH = bH, to \scriptstyle a \in aH = bH, czyli \scriptstyle a = bh dla pewnego \scriptstyle h \in H; odwrotnie: jeśli \scriptstyle a = bh, to \scriptstyle b = ah^{-1}, zatem \scriptstyle ah_1 = bhh_1 \in bH oraz \scriptstyle bh_1 = ah^{-1}h_1 \in aH dla wszystkich \scriptstyle h_1 \in H (z zamkniętości \scriptstyle H na mnożenie), skąd \scriptstyle aH \subseteq bH oraz \scriptstyle bH \subseteq aH, czyli \scriptstyle aH = bH.
  11. Z pierwszego warunku równości \scriptstyle aH = bH wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle a = hb dla pewnego \scriptstyle h \in H, które można wtedy zapisać jako \scriptstyle h = a^{-1}b \in H.
  12. Z poprzedniego warunku \scriptstyle aH = bH wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle a^{-1}b \in H, co jest równoważne \scriptstyle a^{-1}bH = H na mocy poprzedniego stwierdzenia.
  13. Analogicznie \scriptstyle Ha = Hb zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle a = hb dla pewnego \scriptstyle h \in H, co można zastąpić warunkiem \scriptstyle a \in Hb, który jest równoważny \scriptstyle ab^{-1} \in H, bądź \scriptstyle Hab^{-1} = H.
  14. Skoro \scriptstyle aH \subseteq G dla każdego \scriptstyle a \in G, to \scriptstyle \bigcup_{a \in G} aH \subseteq G; ponadto dla dowolnego \scriptstyle g \in G jest \scriptstyle g \in gH, zatem \scriptstyle g \in \bigcup_{a \in G} aH, a więc \scriptstyle G \subseteq \bigcup_{a \in G} aH; stąd \scriptstyle G = \bigcup_{a \in G} aH. Warstwy lewostronne względem \scriptstyle H są parami rozłączne, gdyż w przeciwnym przypadku dla pewnych \scriptstyle aH, bH byłoby \scriptstyle aH \cap bH \ne \varnothing, czyli istniałby element \scriptstyle c \in aH \cap bH należący do obu tych warstw: \scriptstyle c \in aH oraz \scriptstyle c \in bH, co z charakteryzacji równości warstw oznaczałoby, iż \scriptstyle cH = aH oraz \scriptstyle cH = bH, czyli \scriptstyle aH = bH. Stąd nierozłączne warstwy są równe.
  15. Relacja \scriptstyle \sim istotnie jest równoważnością. Zwrotność: dla dowolnego \scriptstyle a zachodzi \scriptstyle a^{-1}a = 1 \in H, skąd \scriptstyle a \sim a. Symetryczność: jeżeli \scriptstyle a \sim b, tj. \scriptstyle a^{-1}b \in H, skąd \scriptstyle (a^{-1}b)^{-1} \in H, czyli \scriptstyle b^{-1}a \in H, tzn. \scriptstyle b \sim a. Przechodniość: jeżeli \scriptstyle a \sim b oraz \scriptstyle b \sim c, tj. \scriptstyle a^{-1}b \in H oraz \scriptstyle b^{-1}c \in H, to również \scriptstyle \left(a^{-1}b\right)\left(b^{-1}c\right) \in H, skąd \scriptstyle a^{-1}c \in H, tzn. \scriptstyle a \sim c.
    W istocie zwrotność, symetryczność i przechodniość wynikają z faktu, iż \scriptstyle H jest podgrupą: kolejno z \scriptstyle 1 \in H oraz zamkniętości \scriptstyle H ze względu na branie odwrotności i mnożenie.
  16. Wprost z określenia relacji równoważności \scriptstyle \sim prawdziwe są równoważności \scriptstyle a \sim b \Leftrightarrow a^{-1}b = h \in H \Leftrightarrow b = ah dla \scriptstyle h \in H, z obserwacji tej i definicji warstwy lewostronnej wynika wtedy, że \scriptstyle [a]_\sim = \{b \in G\colon a \sim b\} = \{b \in G\colon b = ah, h \in H\} = \{ah \in G\colon h \in H\} = aH. Dowód dla warstw prawostronnych jest analogiczny.
  17. Wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość ustalają mnożenia lewo- i prawostronne elementów \scriptstyle H przez elementy \scriptstyle G, mianowicie funkcje \scriptstyle H \to aH dana wzorem \scriptstyle h \mapsto ah oraz \scriptstyle H \to Ha określona wzorem \scriptstyle h \mapsto ha dla dowolnego \scriptstyle a \in G. Iniektywność: jeżeli \scriptstyle ah = ah' \in aH, bądź \scriptstyle ha = h'a \in Ha, to \scriptstyle h = h' \in H; suriektywność: zbiory \scriptstyle aH oraz \scriptstyle Ha składają się ze wszystkich elementów postaci odpowiednio \scriptstyle ah lub \scriptstyle ha (są to w istocie odwzorowania ilorazowe).
  18. Wzór ten jest prawdziwy, jeśli przyjąć, że gdy warstwa \scriptstyle aH nie jest zbiorem skończonym, to \scriptstyle |aH| = \infty.
  19. Odpowiedniość \scriptstyle aH \mapsto Ha jest źle określona (zob. podgrupę \scriptstyle G = S_3 w Przykładach, dla której żadne z warstw lewo- i prawostronnych, poza \scriptstyle H, nie są równe); odpowiednią bijekcją jest \scriptstyle f\colon aH \mapsto Ha^{-1}. Odwzorowanie to jest dobrze określone, ponieważ \scriptstyle aH = bH pociąga \scriptstyle f(aH) = f(bH), istotnie: \scriptstyle aH = bH oznacza \scriptstyle a^{-1}b \in H, skąd też \scriptstyle \left(a^{-1}b\right)^{-1} = b^{-1}a \in H, a więc \scriptstyle Ha^{-1} = Hb^{-1}, czyli \scriptstyle f(aH) = f(bH). Ponadto jest ono różnowartościowe (wystarczy odwrócić wynikanie w poprzednim rozumowaniu) oraz „na” ze względu na to, że dowolna warstwa prawostronna \scriptstyle Hb jest obrazem warstwy lewostronnej \scriptstyle b^{-1}H w przekształceniu \scriptstyle f, mianowicie \scriptstyle f(b^{-1}H) = H\left(b^{-1}\right)^{-1} = Hb.
  20. Jeżeli \scriptstyle |G| lub \scriptstyle |H| nie są skończone, to można przyjąć, iż \scriptstyle |G| = \infty bądź \scriptstyle |H| = \infty; wtedy wzór mówi o tym, że nieskończoność rzędu \scriptstyle H pociąga i jest pociągana przez nieskończoność rzędu \scriptstyle G.
  21. Por. z twierdzeniem o rzędzie \scriptstyle \dim V = \dim \ker \mathrm A + \dim \mathrm{im\ A} dla przekształcenia liniowego \scriptstyle \mathrm A\colon V \to W między przestrzeniami liniowymi.
  22. Wystarczy rozważyć podgrupę (cykliczną) \scriptstyle H = \langle g \rangle = \{g, g^2, \dots, g^n\} generowaną przez element \scriptstyle g \in G rzędu \scriptstyle n.
  23. Warunek \scriptstyle aH = Ha dla dowolnego \scriptstyle a \in G nie oznacza \scriptstyle ah = ha dla \scriptstyle a \in G oraz \scriptstyle h \in H, lecz że dla dowolnego \scriptstyle a \in G istnieją \scriptstyle h_1, h_2 \in H, dla których \scriptstyle ah_1 = h_2a.
  24. Podgrupy normalne nazywane były też niegdyś samosprzężonymi, gdyż spełniają one \scriptstyle H^a = H albo niezmienniczymi (ze względu na sprzężenia); dziś określeń tych, podobnie jak „dzielnik normalny” (nazwa związana z konstrukcją grupy ilorazowej, nie stosuje się jako mylących.
  25. Elementy \scriptstyle a, b \in 2\mathbb Z są postaci \scriptstyle a = 2m oraz \scriptstyle a = 2n dla pewnych \scriptstyle m, n \in \mathbb Z, zatem istotnie \scriptstyle a - b = 2m - 2n = 2(m - n) = 2k \in 2\mathbb Z dla pewnego \scriptstyle k \in \mathbb Z (różnica liczb parzystych jest liczbą parzystą).
  26. Niech \scriptstyle G będzie grupą przemienną, wtedy \scriptstyle aH \ni ah = ha \in Ha dla dowolnego \scriptstyle h \in H na mocy przemienności, czyli \scriptstyle aH = Ha dla każdego \scriptstyle a \in G.
  27. Jeżeli jednym z elementów dwuelementowego podziału jest \scriptstyle H = eH = He, gdzie \scriptstyle e \in G jest elementem neutralnym (podgrupa ta jest zarazem warstwą lewo- jak i prawostronną), to drugim musi być dopełnienie \scriptstyle G \smallsetminus H podgrupy \scriptstyle H w \scriptstyle G.
  28. Grupa \scriptstyle S_3 nazywana również grupą symetryczną rzędu \scriptstyle 6 ma strukturę identyczną z grupą diedralną \scriptstyle D_3 będąca grupą izometrii własnych trójkąta równobocznego (zob. grupa euklidesowa).