Warstwa (teoria grup)

Warstwa – w teorii grup podzbiór danej grupy wyznaczony przez jeden z jej elementów i ustaloną jej podgrupę. Definiuje się warstwy lewostronne i warstwy prawostronne, a terminu warstwa używa się tylko wtedy, gdy warstwy jednostronne wyznaczane przez jeden element pokrywają się. Warstwy są zbiorami rozłącznymi, w sumie dającymi całą grupę, dlatego zbiór warstw jest rozbiciem zbioru jej elementów. Indeksem grupy względem jej podgrupy nazywa się ilość warstw podgrupy w grupie (ilości warstw lewostronnych i prawostronnych są sobie równe).

Definicja

Niech $G$ będzie dowolną grupą, $H$ jej podgrupą. Zbiory

$gH = \{gh: h \in H\} \subseteq G$

oraz

$Hg = \{hg: h \in H\} \subseteq G$

nazywa się odpowiednio warstwami lewostronną i prawostronną względem $H$ wyznaczonymi przez element $g \in G$.

Zbiór warstw lewostronnych $gH$ oznacza się symbolami $G/H$ bądź $G \colon H$, zaś zbiór warstw prawostronnych zapisuje się niekiedy symbolem $G \backslash H$ (który należy wyraźnie odróżnić od różnicy zbiorów $G \setminus H$).

Warstwa to warstwa lewostronna lub prawostronna pewnej podgrupy w $G$. Ponieważ $Hg = g(g^{-1}Hg)$, to warstwy prawostronne $Hg$ (względem $H$ ) i warstwy lewostronne $g(g^{-1}Hg)$ (względem podgrupy sprzężonej $g^{-1}Hg$ ) są równe. Dlatego mylące może być mówienie o warstwach lewostronnych czy prawostronnych bez wskazania podgrupy, względem której została ona określona.

Równoważnie warstwy lewostronne można zadać za pomocą relacji równoważności. Niech $\sim$ będzie relacją dwuczłonową określoną na $G$ wzorem

$a \sim b \iff a^{-1}b \in H$.

Relacja ta jest równoważnością, a jej klasy abstrakcji są warstwami lewostronnymi względem podgrupy $H$. Podobnie, przez wprowadzenie relacji $\backsim$, można definiować warstwy prawostronne:

$a \backsim b \iff ab^{-1} \in H$.

W grupach przemiennych zapisywanych w notacji addytywnej warstwy oznacza się symbolami $g+H$ oraz $H+g$ i w tym przypadku warstwy te są sobie równe:

$g+H = H+g$.

Moc zbioru warstw lewostronnych (równa mocy zbioru warstw prawostronnych) względem podgrupy $H$

$\{gH\colon g \in G\}$

nazywa się indeksem grupy $G$ względem podgrupy $H$, co oznacza się $[G:H]$ bądź $(G:H)$ lub $|G:H|$.

Własności i wnioski

Niech $H$ będzie podgrupą grupy $G$.

• Równość $gH = H$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $g \in H$.
• Każde dwie warstwy lewostronne względem $H$ są równe bądź rozłączne.
• Zbiór wszystkich warstw lewostronnych (względem $H$) jest podziałem zbioru $G$. W szczególności, każdy element grupy $G$ należy do wyłącznie jednej warstwy lewostronnej. Ponieważ element neutralny leży w dokładnie jednej warstwie, mianowicie $H$, to wyłącznie ona stanowi podgrupę.
• Odwzorowania mnożenia elementów podgrupy $H$ przez ustalony element $g \in G$ z lewej jak i z prawej strony,

  $l_g\colon H \to gH,\; h \mapsto gh$

  $p_g\colon H \to Hg,\; h \mapsto hg$

są bijekcjami zbioru $H$ i odpowiednio warstw lewostronnej $gH$ i prawostronnej $Hg$. Zatem dowolne dwie warstwy lewostronne jak i prawostronne względem podgrupy $H$ są równoliczne (mają tę samą moc, w przypadku skończonym – tyle samo elementów).

• Twierdzenie Lagrange'a umożliwia wyznaczenie indeksu, jeśli $G$ i $H$ są skończone:

  $|G| = |G : H| \cdot |H|$.

• Jeżeli podgrupa $H$ jest normalna w skończonej grupie $G$, to indeks tej podgrupy w całej grupie jest równy mocy grupy ilorazowej tych grup:

  $|G:H| = |G/H|$.

Analogiczne stwierdzenia są też prawdziwe dla warstw prawostronnych.

Normalność

Jeżeli podgrupa $H$ nie jest normalna, to jej warstwy lewostronne różnią się od prawostronnych, czyli istnieje $a \in G$ taki, że żaden element $b \in G$ nie spełnia $aH = Hb$. Oznacza to, że podział $G$ na warstwy prawostronne względem $H$ różni się od podziału $G$ na warstwy lewostronne względem $H$. Należy mieć na uwadze, że niektóre warstwy mogą być jednak sobie równe, np. jeżeli $a$ należy do centrum $G$, to $aH = Ha$.

Jeśli wszystkie warstwy lewostronne względem podgrupy $H$ są także warstwami prawostronnymi względem tej podgrupy, to $H$ jest nazywane podgrupą normalną grupy $G$ (co zapisuje się $H \vartriangleleft G$). Tak więc podgrupa $H$ grupy $G$ jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy $gH = Hg$ dla dowolnego $g \in G$. Wówczas można zdefiniować działanie $\circ$ na warstwach wzorem

$(aH) \circ (bH) = (ab)H$.

Zbiór wszystkich warstw wraz z tym działaniem stanowi wtedy grupę $G/H$ nazywaną grupą ilorazową.

Zobacz też

• iloczyn kompleksowy
• podgrupa normalna
• grupa ilorazowa