Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.




Najważniejsze pojęcia
graf
drzewo
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
stopień grafu
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów


Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny


Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
wszerz
w głąb
najbliższego sąsiada


Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe
problem komiwojażera
problem chińskiego listonosza
problem marszrutyzacji
problem kojarzenia małżeństw


Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego
kod Prüfera


Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw (twierdzenie Halla) – przypisywane zazwyczaj Philipowi Hallowi twierdzenie dotyczące istnienia pełnego skojarzenia grafu dwudzielnego, sformułowane w roku 1935. Jest ono często ilustrowane poprzez przedstawienie następującego problemu:

Mamy dwie grupy – dziewcząt i chłopców – oraz pewną sieć znajomości, to znaczy wiemy, których chłopców z tej grupy zna każda z dziewczyn. Kiedy zachodzi sytuacja, w której każdej dziewczynie można przyporządkować jednego kandydata na męża? Tacy kandydaci nie mogą się powtarzać.

Rozwiązanie tak postawionego problemu nosi nazwę twierdzenia o kojarzeniu małżeństw.

Okazuje się, że warunkiem koniecznym i warunkiem wystarczającym na to, by istniało takie skojarzenie par, jest to, by każda podgrupa dziewcząt licząca k osób znała co najmniej k chłopców.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie można przełożyć na język matematyki na kilka sposobów:

Wersja dla grafów[edytuj | edytuj kod]

Niech G=(V, E)\; będzie grafem, i niech V_1 \subseteq V, V_2 \subseteq V\; będą rozłącznymi podzbiorami zbioru wierzchołków, V_1 \cup V_2 = V\;, takimi, że jeśli e\; jest dowolną krawędzią grafu i e= \lbrace  v, u \rbrace\;, to spełniony jest warunek

(v \in V_1 \and u \in V_2) \or (v \in V_2 \and u \in V_1)\;,

czyli graf G\; jest grafem dwudzielnym. Wówczas w tym grafie istnieje skojarzenie, którego krawędzie są incydentne ze wszystkimi wierzchołkami z V_1\; wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru wierzchołków K\subseteq V_1\; zachodzi

\|W\| \geqslant \|K\|,\;

gdzie:

W=\{w \in V_2\colon (\exists k\in K) \lbrace k,w\rbrace \in E\}\;

to zbiór wierzchołków z V_2\; połączonych krawędzią z którymkolwiek wierzchołkiem z K\;

\|X\|\; to moc zbioru X\;

Jeżeli \|V_1\|=\|V_2\|,\; to takie skojarzenie jest pełne (doskonałe).

Wersja dla transwersal[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Halla dla transwersal mówi, że dla rodziny R istnieje transwersala wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej k-elementowej podrodziny rodziny R mnogościowa suma wszystkich składowych tej podrodziny ma k lub więcej elementów.

\left|\bigcup_{A\in\mathbb{A}}A \right|\geqslant|\mathbb{A}|

dla każdego \mathbb{A}\subseteq R .

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Podany dowód jest sformułowany dla transwersal, dla grafów jest on analogiczny.

Oczywiste jest, iż jest to warunek konieczny, bowiem gdyby nie był on spełniony i suma mnogościowa pewnej elementów pewnej rodziny zbiorów miała mniej niż k-elementów, to nie byłoby możliwe wybranie k-elementowego podzbioru złożonego z elementów tej sumy.

Wystarczalność warunku można udowodnić, korzystając z indukcji matematycznej. Przez n oznaczę ilość podzbiorów zbioru A= \lbrace 1, 2, \dots \rbrace . Zauważmy, że dla n=1 twierdzenie jest prawdziwe, bowiem można wybrać jeden dowolny element z S_1. Niech n>1. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla m=1, \dots, n-1.

Jeżeli dla danego n mnogościowa suma zbiorów S_1, S_2, \dots, S_n ma więcej niż n elementów, to twierdzenie jest prawdziwe, wystarczy bowiem wybrać dowolny element k zbioru \lbrace 1, 2, \dots, n \rbrace , utworzyć transwersalę dla n-1-elementowej rodziny zbiorów \lbrace A_i: i=1, 2, \dots, n; i \not = m   \rbrace (co jest możliwe na mocy założenia indukcyjnego) oraz dołączyć do niej element k.

W przeciwnym wypadku istnieje pewien podzbiór J (właściwy) zbioru \lbrace 1, 2, \dots, n \rbrace taki, że suma mnogościowa wszystkich elementów zbiorów A_j, j \in J jest równa ilości elementów zbioru J. Wybierzmy teraz transwersalę dla rodziny \lbrace A_j: j \in J \rbrace oraz rodziny \lbrace A_k - B: k \in K \rbrace, gdzie K= \lbrace 1, \dots, n \rbrace - J, zaś B= \bigcup A_j, j \in J . Dla obu rodzin na mocy założenia indukcyjnego istnieją transwersale, i są one rozłączne, co wynika z powyższych warunków. Poszukiwaną transwersalą jest więc zbiór, będący sumą tych transwersal[1].

Przypisy

  1. Halmos, Paul R. and Vaughan, Herbert E. "The marriage problem". American Journal of Mathematics 72, (1950) s. 214–215