Cykl (teoria grafów)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.




Najważniejsze pojęcia
graf
drzewo
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
stopień grafu
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów


Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny


Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
wszerz
w głąb
najbliższego sąsiada


Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe
problem komiwojażera
problem chińskiego listonosza
problem marszrutyzacji
problem kojarzenia małżeństw


Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego
kod Prüfera


Rodzaje cykli[edytuj | edytuj kod]

Cykl prosty to droga zamknięta, czyli taka, której koniec (ostatni wierzchołek) jest identyczny z początkiem (pierwszym wierzchołkiem).

Cykl (niekoniecznie prosty) to ścieżka zamknięta, z takim samym ostatnim i pierwszym wierzchołkiem. (Dodatkowo ścieżka ta może posiadać wielokrotnie ten sam wierzchołek, również pod rząd - w przypadku tzw. pętli). Cykl prosty jest szczególnym (prostszym) przypadkiem cyklu.

Cykl Hamiltona – cykl prosty przebiegający przez wszystkie wierzchołki grafu i przechodzący przez nie dokładnie 1 raz (oprócz pierwszego wierzchołka) .

Cykl Eulera – cykl zawierający wszystkie krawędzie grafu i przechodzący przez nie dokładnie 1 raz.

Cykl własny – w multigrafie cykl złożony z jednej krawędzi, która zaczyna się i kończy w tym samym wierzchołku (zwany też pętlą własną wierzchołka).

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli najmniejszy stopień wierzchołka w grafie G jest nie mniejszy niż 2, to graf G zawiera cykl.

Dowód twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Oznaczmy najmniejszy stopień wierzchołka w grafie G przez \delta. Na podstawie lematu o uściskach dłoni wiemy, że:

2m = \deg(v_1) + \dots + \deg(v_n).

Ponieważ każdy wierzchołek grafu G (z założenia) jest stopnia co najmniej 2, możemy zapisać, że:

\deg(v_1) + \dots + \deg(v_n) \geqslant n\delta \geqslant 2n.

Po przekształceniu otrzymujemy:

2m \geqslant 2n \Longrightarrow m \geqslant n.

Jak widać, liczba krawędzi w grafie (m) jest większa lub równa od liczby wierzchołków (n). Łatwo zauważyć, że wobec tego w grafie G występuje przynajmniej jeden cykl, co kończy dowód.

Wyjaśnienie: stworzenie ścieżki (lub drzewa) o n wierzchołkach (nie zawierającej cykli) pozwala "zużyć" do połączenia co najwyżej n-1 krawędzi. Ostatnia, n-ta krawędź, jaką musimy "dołożyć" do grafu zgodnie z założeniami, utworzy cykl.