Zbiór analityczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiory analityczne – podzbiory przestrzeni polskiej które są ciągłymi obrazami zbiorów borelowskich. Dopełnienia zbiorów analitycznych to zbiory koanalityczne.

Zbiory analityczne były wprowadzone w 1917 przez rosyjskiego matematyka Michała Suslina[1].

Zbiory analityczne w przestrzeniach polskich[edytuj]

Niech oznacza przestrzeń Baire'a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Dla przestrzeni polskiej X definiujemy klasy i następująco:

  • jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego zbioru borelowskiego mamy ,
  • jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że .

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy (zamiast ).

Zbiory należące do klasy nazywane są analitycznymi podzbiorami przestrzeni , a zbiory z klasy są nazywane koanalitycznymi podzbiorami przestrzeni . Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości rodzinę zbiorów analitycznych oznacza się przez A, a klasę zbiorów koanalitycznych oznacza się przez CA.

Przykłady[edytuj]

  • Każdy borelowski podzbiór przestrzeni polskiej jest analityczny i koanalityczny.
  • Dla ciągu niech . Tak więc, dla każdego , zbiór jest relacją dwuargumentową na zbiorze liczb naturalnych . Rozważmy zbiór
jest dobrym porządkiem na
Wówczas jest zbiorem koanalitycznym który nie jest borelowski. (A więc jego dopełnienie jest przykładem zbioru analitycznego który nie jest borelowski.)

Własności[edytuj]

  • Jeśli Y jest przestrzenią polską, jest funkcją ciągłą oraz , to . W szczególności, każdy ciągły obraz zbioru borelowskiego jest analityczny.
  • Przeliczalne sumy i przekroje zbiorów analitycznych (koanalitycznych, odpowiednio) są analityczne (koanalityczne, odpowiednio).
  • Nieskończony zbiór analityczny jest albo przeliczalny albo mocy continuum, nawet bez założenia hipotezy continuum. Co więcej, każdy nieprzeliczalny zbiór analityczny zawiera zbiór doskonały.
  • Przy założeniu aksjomatu konstruowalności, istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.
  • Jeśli rozłącznymi podzbiorami analitycznymi przestrzeni polskiej X, to można znaleźć taki zbiór borelowski , że oraz . W szczególności, jedynymi zbiorami które są jednocześnie analityczne i koanalityczne są zbiory borelowskie.
  • Wszystkie zbiory z mają własność Baire'a.
  • Wszystkie zbiory z są mierzalne w sensie miary Lebesgue'a.
  • Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z są zdeterminowane[2].
  • Przypuśćmy, że X,Y są przestrzeniami polskimi i jest zbiorem koanalitycznym. Wówczas można znaleźć zbiór koanalityczny który jest wykresem funkcji o dziedzinie .
Powyższe twierdzenie przy założeniu że A jest zbiorem borelowskim było udowodnione przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego[3] a w sformułowaniu przedstawionym powyżej udowodnił je Motokiti Kondo[4].

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Souslin, M.: Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis. "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris", 164 (1917), s. 88-91.
  2. Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), s. 287-291.
  3. Sierpinski, Wacław: Sur l'uniformisation des ensembles mesurables (B). "Fundamenta Math." 16 (1930), s. 136-139.
  4. Kondô, Motokiti: Sur l'uniformisation des complémentaires analytiques et les ensembles projectifs de la seconde classe. "Japan. J. Math." 15 (1938), s. 197-230.