Czas własny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
(1) Pionowy odcinek reprezentuje czas jaki minął pomiędzy dwoma zdarzeniami czasoprzestrzennymi i mierzony przez obserwatora w układzie inercjalnym. (2) Czerwona krzywa między punktami i – to trajektoria w czasoprzestrzeni (linia świata) układu nieinercjalnego; jej tzw. pseudodługość jest wielkością niezmienniczą (skalarną) równa czasowi własnemu , mierzonemu zegarem poruszającym się, pomnożonemu przez prędkość światła Czas własny jest mniejszy niż czas t – mimo że długość krzywej w przestrzeni euklidesowej byłaby większa niż odcinek pionowy czasu t, to w przestrzeni Minkowskiego jest inaczej – bo jest to przestrzeń nieeuklidesowa.

Czas własnyczas wskazywany przez zegar poruszający się wraz z ciałem. Czas własny pomnożony przez prędkość światła jest równy długości linii świata ciała pomiędzy zdarzeniem włączenia zegara a jakimś zdarzeniem późniejszym. Linia świata jest krzywą, jaką kreśli w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni poruszające się ciało. Ponieważ długość krzywej mierzona między dowolnymi punktami w czasoprzestrzeni jest niezmiennikiem przekształceń Lorentza (dokładniej: jest wielkością geometryczną czasoprzestrzeni generowanej przez grupę przekształceń Lorentza), to i czas własny jest niezmiennikiem.

(Dokładniej: grupa transformacji Lorentza generuje geometrię 4-wymiarową – wg ujęcia geometrii przez program erlangeński Kleina).

Pojęcie czasu własnego wprowadza szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności.

Związek między czasem własnym a czasem [edytuj | edytuj kod]

Jeżeli cząstka porusza się ruchem dowolnie zmiennym, to upływ czasu własnego będzie różnił się od upływu czasu jaki zostanie zmierzony zegarami w układzie spoczynkowym, oddzielającym dwa zdarzenia na linii świata cząstki (patrz rysunek).

Znajdziemy związek między tymi czasami.

Opis ruchu w układzie spoczynkowym[edytuj | edytuj kod]

Niech cząstka porusza się w czasoprzestrzeni po trajektorii, którą w układzie nieruchomym opisuje wektor styczny

Dwu punktom krzywej

oraz

związanym z upływem czasu odpowiada różniczkowe przemieszczenie się cząstki w czasoprzestrzeni (zwane interwałem czasoprzestrzennym), takie że

Opis ruchu w układzie poruszającym się[edytuj | edytuj kod]

W szczególnej teorii względności postuluje się, że interwał jest niezmiennikiem, tj. jest wielkością geometryczną, a więc niezależną od tego w jakim układzie współrzędnych się ją wyraża. Dlatego w układzie poruszającym się interwał ten jest taki sam; wyraża go wzór

przy czym – upływ czasu w układzie poruszającym się, oraz

gdyż cząstka spoczywa w swoim układzie. Stąd dostaniemy

Ostatni wzór oznacza, że:

Różniczkowy upływ czasu własnego danego ciała mnożony przez prędkość światła jest równy długości różniczkowej linii świata tego ciała, kreślonej w czasoprzestrzeni.

Tym samym różniczka

jest również niezmiennikiem relatywistycznym podobnie jak interwał

Związek między różniczkami czasu a [edytuj | edytuj kod]

Podstawiając do wzoru wyrażenie na interwał wyrażony przez współrzędne w układzie spoczywającym

otrzymamy

Wyciągając przed nawias otrzymamy:

czyli

Ponieważ prędkość ciała jest zawsze mniejsza niż to z powyższego wzoru wynika, iż:

Różniczkowy upływ czasu własnego mierzony zegarem poruszającym się z ciałem podczas infinitezymalnego przemieszczenia się siała w czasoprzestrzeni jest zawsze mniejszy niż różniczkowy upływ czasu mierzony w układzie spoczywającym, rejestrującym to przemieszczenie się ciała.

Związek między czasem a [edytuj | edytuj kod]

Całkowity czas własny, jaki upłynął pomiędzy zdarzeniami i obliczy się jako całkę

gdzie – wskazania zegarów spoczywających, gdy zaszły zdarzenia i

Ostatecznie mamy wyrażenie na związek między upływem czasu w układzie poruszającym się:

gdzie:

czynnik Lorentza zależny od chwilowej prędkości układu poruszającego się.

Ponieważ jest zawsze mniejsze lub równe jedności, to:

Czas własny, upływający między dwoma zdarzeniami na linii świata danego ciała, jest zawsze mniejszy niż czas upływający między tymi dwoma zdarzeniami, zmierzony w układzie spoczywającym.

Gdy prędkość ciała poruszającego się jest stała, to i otrzymamy prosty wzór na dylatację czasu w przypadku ruchu jednostajnego:

Czas własny w ogólnej teorii względności[edytuj | edytuj kod]

Czas własny w ogólnej teorii względności definiuje się następująco: niech dana będzie rozmaitość pseudoriemannowska w której zdefiniowano lokalny układ współrzędnych krzywoliniowych wyposażona w tensor metryczny Cząstka porusza się po krzywej danej równanie parametrycznym Zależność czasu własnego między włączeniem zegara własnego cząstki, a dowolnym zdarzeniami późniejszym wzdłuż linii świata cząstki określa interwał

Wyrażenie to jest niezmiennicze ze względu na zmianę układu współrzędnych. W płaskiej czasoprzestrzeni wyrażenie to redukuje się do wzoru podanego wyżej.

W układzie cząstki mamy 4-wektory położeń cząstki w chwilach oraz odpowiednio oraz

Stąd otrzymamy

Wyrażenie to uogólnia wcześniej podany wzór na związek między czasem własnym a różniczką współrzędnej czasowej w układzie poruszającym się.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola, Warszawa: PWN, 2009.