Dywizor

Algebraiczna teoria liczb

Dywizor – uogólnienie pojęcia dzielnika elementu pierścienia przemiennego. Pojecie to pojawiło się po raz pierwszy, pod nazwą dzielnika idealnego, w pracach E. Kummera o arytmetyce ciał podziału koła.

Teoria dywizorów dla pierścienia przemiennego z jedynką $P$ bez dzielników zera polega na konstrukcji homomorfizmu $\varphi \colon P^{*}\to {\mathcal {D}}$ multiplikatywnej półgrupy $P^{*}$ niezerowych elementów $P$ w pewną półgrupę ${\mathcal {D}}$ z jednoznacznością rozkładu na czynniki, której elementy nazywają się (całkowitymi) dywizorami pierścienia $P.$ Pozwala to na sprowadzenie problemów związanych z rozkładem na czynniki elementów pierścienia $P$ do rozkładu na czynniki w ${\mathcal {D}}.$ Obraz $\varphi (a),$ gdzie $a\in P,$ oznaczany jest przez $(a)$ i nazywany dywizorem głównym elementu $a.$ Element $a\in P^{*}$ jest z definicji podzielny przez ${\mathfrak {a}}\in {\mathcal {D}},$ jeśli ${\mathfrak {a}}$ dzieli $(a)$ w ${\mathcal {D}}.$

Definicja

Niech ${\mathcal {D}}$ będzie wolną półgrupą abelową z jedynką, generatory której nazywają się dywizorami pierwszymi, i niech będzie dany homomorfizm $\varphi \colon P^{*}\to {\mathcal {D}}.$ Homomorfizm ten określa teorię dywizorów w pierścieniu $P,$ jeśli spełnione są następujące warunki:

1. Dla $\varphi :a,b\in P^{*}$ element $a$ dzieli element $b$ w pierścieniu $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(a)$ dzieli $(b)$ w ${\mathcal {D}}.$
2. Dla dowolnego ${\mathfrak {a}}\in {\mathcal {D}}$ zbiór $[{\mathfrak {a}}]=\{0\}\cup \{a\in P^{*}:{\mathfrak {a}}|(a)\}$ jest ideałem pierścienia $P.$
3. Jeśli ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\in {\mathcal {D}}$ i dla dowolnego $a\in P^{*}$ element $(a)$ jest podzielny przez ${\mathfrak {a}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(a)$ jest podzielny ${\mathfrak {b}},$ to ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}$.

Warunki te wyznaczają teorię dywizorów pierścienia $P,$ jeśli ona istnieje, jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Powyższa definicja jest równoważna następującej:

1. Dla $\varphi :a,b\in P^{*}$ element $a$ dzieli element $b$ w pierścieniu $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(a)$ dzieli $(b)$ w ${\mathcal {D}}.$
2. Niech $[{\mathfrak {a}}]=\{0\}\cup \{a\in P^{*}:{\mathfrak {a}}|(a)\}.$ Jeśli $\alpha ,\beta \in [{\mathfrak {a}}],$ to $\alpha \pm \beta \in [{\mathfrak {a}}].$
3. Jeśli $[{\mathfrak {a}}]=[{\mathfrak {b}}],$ to ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}$ i dla dowolnego ${\mathfrak {a}}$ zbiór $[{\mathfrak {a}}]$ zawiera elementy niezerowe.

Własności

1. Każdy pierścień, w którym spełnione jest podstawowe twierdzenie arytmetyki ma teorię dywizorów, w której wszystkie dywizory są główne.
2. Jeśli w pierścieniu istnieje teoria dywizorów, w której wszystkie dywizory są główne, to w pierścieniu tym spełnione jest podstawowe twierdzenie arytmetyki.

Powierzchnie Riemanna

Odwzorowanie ${\mathfrak {D}}\colon X\to \mathbb {(} Z),$ gdzie $X$ jest powierzchnią Riemanna, a $\mathbb {Z}$ – pierścieniem liczb całkowitych jest nazywane dywizorem na $X,$ jeśli dla każdego zwartego podzbioru $K\subset X$ zbiór $\{x\in K:{\mathfrak {D}}(x)\neq 0\}$ jest zbiorem skończonym.

Zbiór wszystkich dywizorów tworzy grupę abelową $Div(X)$ ze względu na dodawanie przekształceń. Jest on również uporządkowany częściowo relacją:

${\mathfrak {D}}_{1}\leqslant {\mathfrak {D}}_{2}\Leftrightarrow \forall _{x\in X}{\mathfrak {D}}_{1}(x)\leqslant {\mathfrak {D}}_{2}(x)$.

Dywizor funkcji meromorficznej

Jeśli $V$ jest podzbiorem otwartym powierzchni Riemanna $X,$ to dla dowolnej funkcji meromorficznej $f\colon V\to {\bar {\mathbb {C} }}$ oraz punktu $a\in V$ można określić funkcję $\operatorname {ord} _{a}(f),$ która jest równa:

1. 0, jeśli funkcja $f$ jest holomorficzna i różna od zera w $a,$
2. $k,$ jeśli funkcja $f$ ma w punkcie $a$ zero rzędu $k,$
3. $-k,$ jeśli funkcja $f$ ma w punkcie $a$ biegun rzędu $k,$
4. $\infty ,$ jeśli $f\equiv 0$ w pewnym otoczeniu punktu $a.$

Odwzorowanie $x\mapsto \operatorname {ord} _{x}(f)$ jest dywizorem na $X,$ nazywane jest dywizorem funkcji $f$ i oznaczane przez $(f).$

Funkcja $f$ jest podzielna przez dywizor ${\mathfrak {D}},$ jeśli ${\mathfrak {D}}\leqslant (f),$ a holomorficzna, jeśli $0\leqslant (f).$

Geometria algebraiczna

W geometrii algebraicznej, dywizor można interpretować jako uogólnienie pojęcia podrozmaitości rozmaitości algebraicznych. Rozważa się wtedy dwa rodzaje dywizorów: dywizory Cartiera i dywizory Weila. Te dwie definicje pokrywają się w przypadku nieosobliwych rozmaitości nad ciałami domkniętymi algebraicznie, w ogólności jednak są różne.

Dywizory Weila

Dywizor Weila to lokalnie skończona kombinacja liniowa nierozkładalnych podrozmaitości kowymiaru 1. Zbiór dywizorów Weila tworzy grupę abelową z działaniem dodawania. W klasycznej teorii dywizorów warunek lokalnej skończoności jest pomijany jako zawsze spełniony; w takiej sytuacji grupa dywizorów Weila rozmaitości wymiaru $n$ to po prostu wolna grupa abelowa nad nierozkładalnymi podrozmaitościami wymiaru $n-1.$ Na przykład dywizor na krzywej algebraicznej to suma formalna (o skończonej ilości niezerowych współczynników) jej punktów. W przypadku krzywej eliptycznej $E$ sytuacja jest jeszcze prostsza – każdy dywizor $D$ jest liniowo równoważny pewnemu dywizorowi $D_{0}=[P]-[O],$ tzn. $D=kD_{0}$ dla pewnego $k\in \mathbb {Z} ,$ gdzie $P$ jest pewnym jednoznacznie wyznaczonym punktem na $E,$ zaś $O$ jest zerem (punktem bazowym) na krzywej. Odpowiedniość ta pozwala wprowadzić i uzasadnić nieintuicyjne w swej postaci algebraicznej działanie grupowe dla krzywych eliptycznych, wychodząc z pojęć geometrii algebraicznej.

Grupę dywizorów rozmaitości $V$ oznacza się przez $Div(V).$

Dywizor efektywny Weila to taki, w którym wszystkie współczynniki w sumie są nieujemne.

Zobacz też

• dywizor pierwszy
• krzywa hipereliptyczna
• rozmaitość algebraiczna
• teoria przecięcia

Literatura

• И.М. Виноградов: Математическая Энциклопедия. Wyd. 1. Cz. 2 Д - Коо. Москва: Советская Энциклопедия, 1979. (ros.).brak strony w książce
• Боревич З.И., Шафаревич И.Р.: Теория чисел. Wyd. 3. Москва: Наука, 1985. (ros.).brak strony w książce
• M.М. Постников: Введение в теорию алгебраических чисел. Wyd. 1. Москва: Наука, 1982. (ros.).brak strony w książce
• J.S. Milne, Algebraic Geometry course notes