Dywizor

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Algebraiczna teoria liczb[edytuj]

Dywizor - uogólnienie pojęcia dzielnika elementu pierścienia przemiennego. Pojecie to pojawiło się po raz pierwszy, pod nazwą dzielnika idealnego, w pracach E. Kummera o arytmetyce ciał podziału koła.

Teoria dywizorów dla pierścienia przemiennego z jedynką P bez dzielników zera polega na konstrukcji homomorfizmu multyplikatywnej półgrupy niezerowych elementów P w pewną półgrupę z jednoznacznością rozkładu na czynniki, której elementy nazywają się (całkowitymi) dywizorami pierścienia P. Pozwala to na sprowadzenie problemów związanych z rozkładem na czynniki elementów pierścienia P do rozkładu na czynniki w . Obraz , gdzie , oznaczany jest przez (a) i nazywany dywizorem głównym elementu a. Element jest z definicji podzielny przez , jeśli dzieli (a) w .

Definicja[edytuj]

Niech będzie wolną półgrupą abelową z jedynką, generatory której nazywają się dywizorami pierwszymi, i niech będzie dany homomorfizm . Homomorfizm ten określa teorię dywizorów w pierścieniu P, jeśli spełnione są następujące warunki:

  1. Dla element a dzieli element b w pierścieniu P wtedy i tylko wtedy, gdy (a) dzieli (b) w .
  2. Dla dowolnego zbiór jest ideałem pierścienia P.
  3. Jeśli i dla dowolnego element (a) jest podzielny przez wtedy i tylko wtedy, gdy (a) jest podzielny , to [1].

Warunki te wyznaczają teorię dywizorów pierścienia P, jeśli ona istnieje, jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu[2].

Powyższa definicja jest równoważna następującej[3]:

  1. Dla element a dzieli element b w pierścieniu P wtedy i tylko wtedy, gdy (a) dzieli (b) w .
  2. Niech Jeśli , to .
  3. Jeśli to i dla dowolnego zbiór zawiera elementy niezerowe.

Własności[edytuj]

  1. Każdy pierścień, w którym spełnione jest podstawowe twierdzenie arytmetyki ma teorię dywizorów, w której wszystkie dywizory są główne.
  2. Jeśli w pierścieniu istnieje teoria dywizorów, w której wszystkie dywizory są główne, to w pierścieniu tym spełnione jest podstawowe twierdzenie arytmetyki.

Powierzchnie Riemanna[edytuj]

Odwzorowanie , gdzie jest powierzchnią Riemanna, a - pierścieniem liczb całkowitych jest nazywane dywizorem na , jeśli dla każdego zwartego podzbioru zbiór jest zbiorem skończonym[4].

Zbiór wszystkich dywizorów tworzy grupę abelową ze względu na dodawanie przekształceń. Jest on również uporządkowany częściowo relacją:

[4].

Dywizor funkcji meromorficznej[edytuj]

Jeśli jest podzbiorem otwartym powierzchni Riemanna , to dla dowolnej funkcji meromorficznej oraz punktu można określić funkcję , która jest równa:

  1. 0, jeśli funkcja jest holomorficzna i różna od zera w ,
  2. k, jeśli funkcja ma w punkcie zero rzędu k,
  3. - k, jeśli funkcja ma w punkcie biegun rzędu k,
  4. , jeśli w pewnym otoczeniu punktu .

Odwzorowanie jest dywizorem na , nazywane jest dywizorem funkcji i oznaczane przez .

Funkcja jest podzielna przez dywizor , jeśli , a holomorficzna, jeśli .

Geometria algebraiczna[edytuj]

W geometrii algebraicznej, dywizor można interpretować jako uogólnienie pojęcia podrozmaitości rozmaitości algebraicznych. Rozważa się wtedy dwa rodzaje dywizorów: dywizory Cartiera i dywizory Weila. Te dwie definicje pokrywają się w przypadku nieosobliwych rozmaitości nad ciałami domkniętymi algebraicznie, w ogólności jednak sa różne.

Dywizory Weila[edytuj]

Dywizor Weila to lokalnie skończona kombinacja liniowa nierozkładalnych podrozmaitości kowymiaru 1. Zbiór dywizorów Weila tworzy grupę abelową z działaniem dodawania. W klasycznej teorii dywizorów warunek lokalnej skończoności jest pomijany jako zawsze spełniony; w takiej sytuacji grupa dywizorów Weila rozmaitości wymiaru to po prostu wolna grupa abelowa nad nierozkładalnymi podrozmaitościami wymiaru . Na przykład, dywizor na krzywej algebraicznej to suma formalna (o skończonej ilości niezerowych współczynników) jej punktów. W przypadku krzywej eliptycznej sytuacja jest jeszcze prostsza - każdy dywizor jest liniowo równoważny pewnemu dywizorowi , tzn. dla pewnego , gdzie jest pewnym jednoznacznie wyznaczonym punktem na , zaś jest zerem (punktem bazowym) na krzywej. Odpowiedniość ta pozwala wprowadzić i uzasadnić nieintuicyjne w swej postaci algebraicznej działanie grupowe dla krzywych eliptycznych, wychodząc z pojęć geometrii algebraicznej.

Grupę dywizorów rozmaitości oznacza się przez

Dywizor efektywny Weila to taki, w którym wszystkie współczynniki w sumie są nieujemne.


Przypisy

  1. И. М. Виноградов: Математическая Энциклопедия. Wyd. 1. Cz. 2 Д - Коо. Москва: Советская Энциклопедия, 1979, s. 129. (ros.)
  2. Боревич З. И., Шафаревич И. Р.: Теория чисел. Wyd. 3. Москва: Наука, 1985, s. 185-186. (ros.)
  3. M. М. Постников: Введение в теорию алгебраических чисел. Wyd. 1. Москва: Наука, 1982, s. 96-97. (ros.)
  4. a b Otto Forster: Римановы поверхности (tłum. ros.). Mocквa: Миp, 1980, s. 132-133. (ros.)

Zobacz też[edytuj]

Literatura[edytuj]

  • И. М. Виноградов: Математическая Энциклопедия. Wyd. 1. Cz. 2 Д - Коо. Москва: Советская Энциклопедия, 1979. (ros.)
  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р.: Теория чисел. Wyd. 3. Москва: Наука, 1985. (ros.)
  • M. М. Постников: Введение в теорию алгебраических чисел. Wyd. 1. Москва: Наука, 1982. (ros.)
  • J.S. Milne, [1] Algebraic Geometry course notes