Dywizor

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Algebraiczna teoria liczb[edytuj | edytuj kod]

Dywizor - uogólnienie pojęcia dzielnika elementu pierścienia przemiennego. Pojecie to pojawiło się po raz pierwszy, pod nazwą dzielnika idealnego, w pracach E. Kummera o arytmetyce ciał podziału koła.

Teoria dywizorów dla pierścienia przemiennego z jedynką P bez dzielników zera polega na konstrukcji homomorfizmu \varphi: P^* \to \mathcal{D} multyplikatywnej półgrupy P^*\; niezerowych elementów P w pewną półgrupę \mathcal{D} z jednoznacznością rozkładu na czynniki, której elementy nazywają się (całkowitymi) dywizorami pierścienia P. Pozwala to na sprowadzenie problemów związanych z rozkładem na czynniki elementów pierścienia P do rozkładu na czynniki w \mathcal{D}. Obraz \varphi(a), gdzie a \in P, oznaczany jest przez (a) i nazywany dywizorem głównym elementu a. Element a \in P^* jest z definicji podzielny przez \mathfrak{a} \in \mathcal{D}, jeśli \mathfrak{a} dzieli (a) w \mathcal{D}.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal{D} będzie wolną półgrupą abelową z jedynką, generatory której nazywają się dywizorami pierwszymi, i niech będzie dany homomorfizm \varphi: P^* \to \mathcal{D}. Homomorfizm ten określa teorię dywizorów w pierścieniu P, jeśli spełnione są następujące warunki:

  1. Dla \varphi: a, b \in P^* element a dzieli element b w pierścieniu P wtedy i tylko wtedy, gdy (a) dzieli (b) w \mathcal{D}.
  2. Dla dowolnego \mathfrak{a} \in \mathcal{D} zbiór [\mathfrak{a}] = \{0 \} \cup \{a \in P^*: \mathfrak{a} | (a)\} jest ideałem pierścienia P.
  3. Jeśli \mathfrak{a}, \mathfrak{b} \in \mathcal{D} i dla dowolnego a \in P^* element (a) jest podzielny przez  \mathfrak{a} wtedy i tylko wtedy, gdy (a) jest podzielny  \mathfrak{b}, to \mathfrak{a} = \mathfrak{b}[1].

Warunki te wyznaczają teorię dywizorów pierścienia P, jeśli ona istnieje, jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu[2].

Powyższa definicja jest równoważna następującej[3]:

  1. Dla \varphi: a, b \in P^* element a dzieli element b w pierścieniu P wtedy i tylko wtedy, gdy (a) dzieli (b) w \mathcal{D}.
  2. Niech [\mathfrak{a}] = \{0 \} \cup \{a \in P^*: \mathfrak{a} | (a)\}. Jeśli \alpha, \beta \in [\mathfrak{a}], to \alpha \pm \beta \in [\mathfrak{a}].
  3. Jeśli [\mathfrak{a}] = [\mathfrak{b}], to \mathfrak{a} = \mathfrak{b} i dla dowolnego \mathfrak a zbiór  [\mathfrak{a}] zawiera elementy niezerowe.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  1. Każdy pierścień, w którym spełnione jest podstawowe twierdzenie arytmetyki ma teorię dywizorów, w której wszystkie dywizory są główne.
  2. Jeśli w pierścieniu istnieje teoria dywizorów, w której wszystkie dywizory są główne, to w pierścieniu tym spełnione jest podstawowe twierdzenie arytmetyki.

Powierzchnie Riemanna[edytuj | edytuj kod]

Odwzorowanie \mathfrak{D}: X \to \mathbb(Z), gdzie X\; jest powierzchnią Riemanna, a \mathbb{Z} - pierścieniem liczb całkowitych jest nazywane dywizorem na X\;, jeśli dla każdego zwartego podzbioru K \subset X zbiór \{x \in K: \mathfrak{D} (x) \ne 0 \} jest zbiorem skończonym[4].

Zbiór wszystkich dywizorów tworzy grupę abelową Div (X) ze względu na dodawanie przekształceń. Jest on również uporządkowany częściowo relacją:

\mathfrak{D}_1 \leqslant \mathfrak{D}_2 \Leftrightarrow \forall_{x \in X} \mathfrak{D}_1 (x) \leqslant \mathfrak{D}_2 (x)[4].

Dywizor funkcji meromorficznej[edytuj | edytuj kod]

Jeśli V\; jest podzbiorem otwartym powierzchni Riemanna X\;, to dla dowolnej funkcji meromorficznej f: V \to \bar{\mathbb{C}} oraz punktu a \in V można określić funkcję \operatorname{ord}_a(f), która jest równa:

  1. 0, jeśli funkcja f\; jest holomorficzna i różna od zera w a\;,
  2. k, jeśli funkcja f\; ma w punkcie a\; zero rzędu k,
  3. - k, jeśli funkcja f\; ma w punkcie a\; biegun rzędu k,
  4. \infty, jeśli f \equiv 0 w pewnym otoczeniu punktu a\;.

Odwzorowanie x \mapsto \operatorname{ord}_x(f) jest dywizorem na X\;, nazywane jest dywizorem funkcji f i oznaczane przez (f).

Funkcja f\; jest podzielna przez dywizor \mathfrak{D}, jeśli \mathfrak{D} \leqslant (f), a holomorficzna, jeśli 0 \leqslant (f).

Geometria algebraiczna[edytuj | edytuj kod]

W geometrii algebraicznej, dywizor można interpretować jako uogólnienie pojęcia podrozmaitości rozmaitości algebraicznych. Rozważa się wtedy dwa rodzaje dywizorów: dywizory Cartiera i dywizory Weila. Te dwie definicje pokrywają się w przypadku nieosobliwych rozmaitości nad ciałami domkniętymi algebraicznie, w ogólności jednak sa różne.

Dywizory Weila[edytuj | edytuj kod]

Dywizor Weila to lokalnie skończona kombinacja liniowa nierozkładalnych podrozmaitości kowymiaru 1. Zbiór dywizorów Weila tworzy grupę abelową z działaniem dodawania. W klasycznej teorii dywizorów warunek lokalnej skończoności jest pomijany jako zawsze spełniony; w takiej sytuacji grupa dywizorów Weila rozmaitości wymiaru n to po prostu wolna grupa abelowa nad nierozkładalnymi podrozmaitościami wymiaru n-1. Na przykład, dywizor na krzywej algebraicznej to suma formalna (o skończonej ilości niezerowych współczynników) jej punktów. W przypadku krzywej eliptycznej E sytuacja jest jeszcze prostsza - każdy dywizor D jest liniowo równoważny pewnemu dywizorowi D_0 = [P]-[O], tzn. D=k D_0 dla pewnego k\in\mathbb Z, gdzie P jest pewnym jednoznacznie wyznaczonym punktem na E, zaś O jest zerem (punktem bazowym) na krzywej. Odpowiedniość ta pozwala wprowadzić i uzasadnić nieintuicyjne w swej postaci algebraicznej działanie grupowe dla krzywych eliptycznych, wychodząc z pojęć geometrii algebraicznej.

Grupę dywizorów rozmaitości V oznacza się przez Div(V)

Dywizor efektywny Weila to taki, w którym wszystkie współczynniki w sumie są nieujemne.


Przypisy

  1. И. М. Виноградов: Математическая Энциклопедия. Wyd. 1. Cz. 2 Д - Коо. Москва: Советская Энциклопедия, 1979, s. 129. (ros.)
  2. Боревич З. И., Шафаревич И. Р.: Теория чисел. Wyd. 3. Москва: Наука, 1985, s. 185-186. (ros.)
  3. M. М. Постников: Введение в теорию алгебраических чисел. Wyd. 1. Москва: Наука, 1982, s. 96-97. (ros.)
  4. 4,0 4,1 Otto Forster: Римановы поверхности (tłum. ros.). Mocквa: Миp, 1980, s. 132-133. (ros.)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • И. М. Виноградов: Математическая Энциклопедия. Wyd. 1. Cz. 2 Д - Коо. Москва: Советская Энциклопедия, 1979. (ros.)
  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р.: Теория чисел. Wyd. 3. Москва: Наука, 1985. (ros.)
  • M. М. Постников: Введение в теорию алгебраических чисел. Wyd. 1. Москва: Наука, 1982. (ros.)
  • J.S. Milne, [1] Algebraic Geometry course notes