Ideał prymarny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ideał prymarny – dla danego pierścienia przemiennego ideał o tej własności, że

jeżeli oraz , to istnieje taka liczba naturalna , że .

Przykładem ideału prymarnego jest ideał generowany przez element , gdzie jest dowolną liczbą naturalną, a jest elementem pierwszym. W pierścieniu liczb całkowitych wszystkie ideały prymarne są tej postaci (elementami pierwszymi tego pierścienia są po prostu liczby pierwsze). Istnieją mimo to pierścienie, w których ideały prymarne mają także inną postać. Na przykład, jeżeli jest ciałem oraz oznacza pierścień wielomianów zmiennych i , to ideał generowany przez wielomiany i jest prymarny w .

Jeżeli jest ideałem, to zbiór ideałów prymarnych nazywany jest rozkładem prymarnym ideału , gdy

.

Własności[edytuj]

  • Każdy ideał pierwszy jest prymarny.
  • Ideał jest prymarny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy nie jest trywialny oraz każdy jego dzielnik zera jest nilpotentny.
  • Jeżeli i są ideałami przy czym , to jest prymarny w wtedy i tylko wtedy, gdy jest prymarny w .
  • Jeżeli jest ideałem maksymalnym w pierścieniu lokalnym, to
.

Twierdzenie Laskera-Noether[edytuj]

Twierdzenie Laskera-Noether mówi, że

każdy ideał pierścienia noetherowskiego ma rozkład prymarny.

Pierścienie, dla których zachodzi teza twierdzenia Laskera-Noether, nazywane są pierścieniami Laskera. Istnieją pierścienie Laskera, które nie są noetherowskie, tzn. rozkład prymarny ideału można przeprowadzić także w pierścieniach innych niż noetherowskie. Powyższe twierdzenie zostało udowodnione w szczególnym przypadku (dla pierścieni wielomianów) w 1905 roku przez Emanuela Laskera[1] oraz w pełnej ogólności, w 1921 roku, przez Emmy Noether[2].

Przypisy

  1. Emanuel Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Mathematische Annalen, 60 (1905), 19–116.
  2. Emmy Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Mathematische Annalen, 83 (1921). 24– 66.

Bibliografia[edytuj]

  • Douglas Northcott: Ideal theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1953, s. 10-52, seria: Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics.
  • Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1970.