Ideał prymarny

Ideał prymarny – dla danego pierścienia przemiennego $R$ ideał $I$ o tej własności, że

jeżeli $ab\in I$ oraz $a\notin I,$ to istnieje taka liczba naturalna $n,$ że $b^{n}\in I.$

Przykładem ideału prymarnego jest ideał generowany przez element $p^{n},$ gdzie $n$ jest dowolną liczbą naturalną, a $p$ jest elementem pierwszym. W pierścieniu liczb całkowitych wszystkie ideały prymarne są tej postaci (elementami pierwszymi tego pierścienia są po prostu liczby pierwsze). Istnieją mimo to pierścienie, w których ideały prymarne mają także inną postać. Na przykład jeżeli $k$ jest ciałem oraz $k[X,Y]$ oznacza pierścień wielomianów zmiennych $X$ i $Y,$ to ideał generowany przez wielomiany $X$ i $Y^{2}$ jest prymarny w $k[X,Y].$

Jeżeli $I$ jest ideałem, to zbiór ideałów prymarnych $\{I_{1},\dots ,I_{n}\}$ nazywany jest rozkładem prymarnym ideału $I,$ gdy

$I=I_{1}\cap I_{2}\cap \ldots \cap I_{n}.$

Własności

• Każdy ideał pierwszy jest prymarny.
• Ideał $I$ jest prymarny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy $R/I$ nie jest trywialny oraz każdy jego dzielnik zera jest nilpotentny.
• Jeżeli $I$ i $J$ są ideałami przy czym $I\subset J,$ to $J$ jest prymarny w $R$ wtedy i tylko wtedy, gdy $J/I$ jest prymarny w $R/I.$
• Jeżeli $I$ jest ideałem maksymalnym w pierścieniu lokalnym, to

$\bigcap _{n=1}^{\infty }~I^{n}=\{0\}.$

Twierdzenie Laskera-Noether

Twierdzenie Laskera-Noether mówi, że

każdy ideał pierścienia noetherowskiego ma rozkład prymarny.

Pierścienie, dla których zachodzi teza twierdzenia Laskera-Noether, nazywane są pierścieniami Laskera. Istnieją pierścienie Laskera, które nie są noetherowskie, tzn. rozkład prymarny ideału można przeprowadzić także w pierścieniach innych niż noetherowskie. Powyższe twierdzenie zostało udowodnione w szczególnym przypadku (dla pierścieni wielomianów) w 1905 roku przez Emanuela Laskera oraz w pełnej ogólności, w 1921 roku, przez Emmy Noether.

Bibliografia

• Douglas Northcott: Ideal theory. Wyd. 42. Cambridge: Cambridge University Press, 1953, s. 10–52, seria: Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics.
• Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1970. Brak numerów stron w książce