Kalendarz wieczny

Kalendarz wieczny, także kalendarz perpetualny – tabela lub wzór pozwalająca w prosty sposób odnaleźć określony dzień tygodnia w kalendarzu gregoriańskim dla każdej daty w postaci dzień miesiąca, miesiąc, rok. Przy pomocy wiecznego kalendarza nie ma możliwości obliczenia np: roku na podstawie daty w postaci: dzień tygodnia, dzień miesiąca - gdyż dni tygodnia dla danego dnia miesiąca powtarzają się acyklicznie w kalendarzu gregoriańskim.

Uniwersalny wzór Zellera dla lat 1 - 9999 n.e.

Kalendarz stuletni daje sprowadzić się do dość prostego algorytmu, który w pierwotnej wersji został zaproponowany przez Christiana Zellera w kolejnych publikacjach, które ukazywały się w latach 1882-1886 (m.in. w Acta Mathematica, vol.9 (1886-1887), pp.131-6).

Algorytm Zellera został uproszczony przez matematyka Mike'a Keitha do postaci:

dzień tygodnia = ([23m/9] + d + 4 + y + [z/4] + [z/100] + [z/400] - c) mod 7

gdzie

• [ ] oznacza część całkowitą liczby
• mod – funkcja modulo (reszta z dzielenia)
• m – numer miesiąca (ang. month) (od stycznia = 1 do grudnia = 12)
• d – numer dnia (ang. day) miesiąca
• y – rok (ang. year)
• z – rok z poprawką: z = y - 1 jeżeli m < 3; z = y, jeżeli m >= 3
• c – korekta (ang. correction): c = 0, jeżeli m < 3; c = 2, jeżeli m >= 3
• dni tygodnia ze zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, gdzie: 0 – wtorek, 1 – środa, 2 – czwartek, 3 – piątek, 4 – sobota, 5 – niedziela, 6 – poniedziałek

Zaletą wzoru Mike'a Keitha jest możliwość zapisania go w języku programowania C w jednej linii liczącej raptem 45 znaków:

(d+=m<3?y--:y-2,23*m/9+d+4+y/4-y/100+y/400)%7

która to linia kodu generuje wartość kodującą dzień tygodnia od wtorku (0) do poniedziałku (6)

Aby ten wzór był poprawny dla lat od 1 do 1582 trzeba uwzględnić różnicę pomiędzy kalendarzem juliańskim a gregoriańskim, która wynosi C - C div 4 - 2 (po przesunięciu początku roku do 1 marca)

Wzór ten został opublikowany w Journal of Recreational Mathematics, Vol. 22, No. 4, 1990, p. 280.

Implementacja w Pascalu

Zapis w języku Pascal algorytmu obliczania dnia tygodnia w kalendarzu gregoriańskim (bez ww. poprawki dla kalendarza juliańskiego):

function dzien_tygodnia(Year,Month,Day:word):string;
var M,C,D,N:integer;
const week:array[0..6]of string[12]=('Niedziela','Poniedziałek','Wtorek','Środa','Czwartek','Piątek','Sobota');
begin
	M := 1 + (Month + 9) mod 12 ; if M>10 then Dec(Year) ;
	C := Year div 100 ; D := Year mod 100 ;
	N := ((13*M-1) div 5 + D + D div 4 + C div 4 + 5*C + Day) mod 7 ;
	dzien_tygodnia:=week[N];
end;

• gdzie Month, Day = numer miesiąca i dnia miesiąca, Year = czterocyfrowy zapis roku, N = kod dnia tygodnia poczynając od niedzieli (0) do soboty (6),
• mod = funkcja modulo, div = funkcja dzielenia liczb całkowitych bez reszty z zaokrągleniem w dół, if ... then - funkcja warunkowa

Często wzór Zellera jest podawany w formie, w której występuje wartość 2*C zamiast 5*C, która to forma prowadzi jednak przy niektórych latach do wartości N - ujemnych oraz nie sprawdza się dla niektórych dat.

Implementacja w C

Oto funkcja napisana na podstawie algorytmu Zellera

char* week[7]={"Poniedzialek","Wtorek","Sroda","Czwartek","Piatek","Sobota","Niedziela"};
int zeller(int d,int m,int y,int s){
int Y,C,M,N,D;
M=1+(9+m)%12;
Y=y-(M>10);
C=Y/100;
D=Y%100;
if (s!=0) N=((13*M-1)/5+D+D/4+C/4+5*C+d)%7;
else N=((13*M-1)/5+D+D/4+6*C+d+5)%7;
return (7+N)%7;
}

Oto funkcja napisana na podstawie analizy tablic zamieszczonych w Małej Encyklopedii Powszechnej PWN z 1959 r.

char* week[7]={"Poniedzialek","Wtorek","Sroda","Czwartek","Piatek","Sobota","Niedziela"};

int dow(int m, int d, int y, int s)
{
  int mon[12]={0,1,1,2,5,6,2,3,4,0,1,4};
  int leap;
  int a,b,c;
  leap=(s==0&&y%4==0||s!=0&&(y%4==0&&y%100!=0||y%400==0));
  a=(y%100)%28;
  b=(s==0)*(4+(y%700)/100+2*(a/4)+6*((!leap)*(1+(a%4))+(leap)*((9+m)/12)))%7+
    (s!=0)*(2*(1+(y%400)/100+(a/4))+6*((!leap)*(1+(a%4))+(leap)*((9+m)/12)))%7;
  c=(3*mon[m-1]+d)%7;
  return (c+6*b)%7;
}

Funkcja zwraca indeks do tablicy "week". Parametr s oznacza styl

• s==0 dla stylu juliańskiego
• s!=0 dla stylu gregoriańskiego

Implementacja w Ocamlu

Oto funkcja napisana na podstawie wzoru Mike'a Keitha:

type date = {day : int; month : int; year : int;}
;;

(* funkcja zwraca dzień tygodnia na podstawie podanej daty,
   przy czym: 0 - niedziela, 1 - poniedziałek, ..., 6 - sobota *)
let weekday
    (time : date) =
  let z = if time.month < 3 then time.year - 1 else time.year in
  let x = 
    ((23 * time.month) / 9) + time.day + 4 + time.year + (z / 4) - (z / 100) + (z / 400)
  in
  if time.month < 3 then x mod 7 else (x - 2) mod 7
;;

Kalendarze stuletnie

Na podstawie wzoru Zellera można w prosty sposób utworzyć tabele, które bywają nazywane kalendarzami stuletnimi choć mogą one praktycznie obejmować dowolny okres. Przykładowy "kalendarz stuletni" (a właściwie stuczterdziestoletni) dla lat 1901-2040:

Opis		Przykład dla: 31 I 1901
1. W tabeli Lata - Miesiące szukaj cyfry na przecięciu roku i miesiąca wybranej daty.		1901/I → 1
2. Do odszukanej cyfry dodaj dzień miesiąca otrzymując kod.		1+31=32
3. W tabeli Dni tygodnia szukaj kodu wskazującego dzień tygodnia.		32 → czwartek

Lata					Miesiące
Pochyła czcionka oznacza lata przestępne					I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
1901	1929	1957	1985	2013	1	4	4	0	2	5	0	3	6	1	4	6
1902	1930	1958	1986	2014	2	5	5	1	3	6	1	4	0	2	5	0
1903	1931	1959	1987	2015	3	6	6	2	4	0	2	5	1	3	6	1
1904	1932	1960	1988	2016	4	0	1	4	6	2	4	0	3	5	1	3
1905	1933	1961	1989	2017	6	2	2	5	0	3	5	1	4	6	2	4
1906	1934	1962	1990	2018	0	3	3	6	1	4	6	2	5	0	3	5
1907	1935	1963	1991	2019	1	4	4	0	2	5	0	3	6	1	4	6
1908	1936	1964	1992	2020	2	5	6	2	4	0	2	5	1	3	6	1
1909	1937	1965	1993	2021	4	0	0	3	5	1	3	6	2	4	0	2
1910	1938	1966	1994	2022	5	1	1	4	6	2	4	0	3	5	1	3
1911	1939	1967	1995	2023	6	2	2	5	0	3	5	1	4	6	2	4
1912	1940	1968	1996	2024	0	3	4	0	2	5	0	3	6	1	4	6
1913	1941	1969	1997	2025	2	5	5	1	3	6	1	4	0	2	5	0
1914	1942	1970	1998	2026	3	6	6	2	4	0	2	5	1	3	6	1
1915	1943	1971	1999	2027	4	0	0	3	5	1	3	6	2	4	0	2
1916	1944	1972	2000	2028	5	1	2	5	0	3	5	1	4	6	2	4
1917	1945	1973	2001	2029	0	3	3	6	1	4	6	2	5	0	3	5
1918	1946	1974	2002	2030	1	4	4	0	2	5	0	3	6	1	4	6
1919	1947	1975	2003	2031	2	5	5	1	3	6	1	4	0	2	5	0
1920	1948	1976	2004	2032	3	6	0	3	5	1	3	6	2	4	0	2
1921	1949	1977	2005	2033	5	1	1	4	6	2	4	0	3	5	1	3
1922	1950	1978	2006	2034	6	2	2	5	0	3	5	1	4	6	2	4
1923	1951	1979	2007	2035	0	3	3	6	1	4	6	2	5	0	3	5
1924	1952	1980	2008	2036	1	4	5	1	3	6	1	4	0	2	5	0
1925	1953	1981	2009	2037	3	6	6	2	4	0	2	5	1	3	6	1
1926	1954	1982	2010	2038	4	0	0	3	5	1	3	6	2	4	0	2
1927	1955	1983	2011	2039	5	1	1	4	6	2	4	0	3	5	1	3
1928	1956	1984	2012	2040	6	2	3	6	1	4	6	2	5	0	3	5
Pochyła czcionka oznacza lata przestępne					I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII

Dni tygodnia
Poniedziałek	1	8	15	22	29	36
Wtorek	2	9	16	23	30	37
Środa	3	10	17	24	31
Czwartek	4	11	18	25	32
Piątek	5	12	19	26	33
Sobota	6	13	20	27	34
Niedziela	7	14	21	28	35

Bibliografia

• Omówienie wzoru Zellera. merlyn.demon.co.uk. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-07-29)]. na stronie Dr J R Stockton.