Lemat Fatou

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Pierre Fatou

Lemat Fatoulemat w analizie i teorii miary podający ograniczenie górne na wartość całki funkcji określonej jako granica dolna pewnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Pierre'a Fatou.

Lemat[edytuj]

  • Załóżmy że:
(a) jest przestrzenią mierzalną z miarą,
(b) jest nieujemną funkcją całkowalną dla każdej liczby naturalnej n,
(c) ,
(d) funkcja jest zdefiniowana przez
dla .
Wówczas funkcja f jest całkowalna oraz
.
  • Czasami powyższy lemat formułuje się przy założeniu że funkcje są jedynie mierzalne oraz bez zakładania warunku (c), a z tezą postulującą jedynie mierzalność funkcji f i nierówność
.

Dla mierzalnej nieujemnej funkcji g, niecałkowalność jest równoważna ze stwierdzeniem że

.

Szkic dowodu w oparciu o twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej[edytuj]

Załóżmy, że są spełnione warunki (a)-(d). Dla liczby naturalnej k i punktu x przestrzeni X, niech

.

Powyższy wzór definiuje funkcję gk: X → [0, ∞]. Funkcja jest nieujemną funkcją mierzalną oraz

dla wszystkich k. Wobec całkowalności funkcji można stwierdzić, że jest całkowalna oraz

.

Ponadto,

dla każdego k oraz

dla wszystkich .

Na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej możemy teraz stwierdzić, że funkcja f jest całkowalna oraz

.

Ponieważ

dla każdego k, to również

,

co kończy dowód.

Zastosowania[edytuj]

Zobacz też[edytuj]