Lemat Fatou

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Lemat Fatoulemat noszący nazwisko Pierre’a Fatou, który daje ograniczenie górne na wartość całki Lebesgue’a funkcji określonej jako granica dolna pewnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych.

Lemat Fatou jest jednym z trzech, obok twierdzeń o zbieżności monotonicznej i ograniczonej (oba autorstwa Henriego Lebesgue’a), podstawowych twierdzeń granicznych analizy i teorii miary. Wykorzystywany jest w niektórych dowodach twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej oraz zupełności przestrzeni oraz w teorii prawdopodobieństwa przy wyznaczaniu wartości oczekiwanych pewnych zmiennych losowych.

Lemat[edytuj | edytuj kod]

Niech będą funkcjami -mierzalnymi określonymi na wspólnej przestrzeni z miarą dla Wówczas

Uwaga

Jeśli funkcje są sumowalne (całkowalne) i prawa strona nierówności jest skończona, to sumowalna (całkowalna) jest również funkcja podcałkowa po lewej stronie nierówności.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Pierre Fatou (1878-1929)

Niech oznacza nieujemną funkcję prostą mniejszą lub równą Niech ponadto zbiory -mierzalne będą rozłączne oraz dla

Niech będzie ustalone. Wówczas

gdzie:

Ponieważ

zatem

stąd zaś

Nierówność ta obowiązuje dla każdego a każda funkcja prosta jest mniejsza lub równa Dlatego

gdzie oznacza całkę dolną[a].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Całka dolna funkcji definiowana jest jako
    Podobnie definiuje się całkę górną
    Gdy całki górna i dolna funkcji -mierzalnej są równe, to funkcję nazywa się -całkowalną i definiuje jej całkę jako
    (w tym ujęciu funkcja może mieć zatem całkę równą lub nieujemna funkcja -mierzalna jest zawsze -całkowalna).