Lemat Riesza

Lemat Riesza – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że jeżeli $Y$ jest właściwą, domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej $X$ to dla każdego $0<\alpha <1$ istnieje taki element $x\in X,$ że

$\|x\|=1$

oraz

$\|x-y\|\geqslant \alpha$

dla wszelkich $y\in Y.$ Innymi słowy

$d(x,Y)\geqslant \alpha ,$

gdzie $d(x,Y)$ oznacza odległość punktu $x$ od podprzestrzeni $Y.$

Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy w 1918 przez Frigyesa Riesza w przypadku przestrzeni Hilberta. Udowodniono również wersję lematu Riesza dla przestrzeni nad ciałami z nietrywialnymi waluacjami rzędu 1.

Dowody

• Ponieważ $Y$ jest domkniętą, właściwą podprzestrzenią przestrzeni $X,$ z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że jest ona zawarta w jądrze funkcjonału liniowego $f$ o normie 1 na przestrzeni $X,$ tj. $f(y)=0$ dla wszelkich $y\in Y.$ Niech $x\in X$ będzie takim elementem o normie 1, że $f(x)\geqslant \alpha .$ Wówczas

$\|x-y\|\geqslant |f(x)-f(y)|=|f(x)-0|=|f(x)|\geqslant \alpha \quad (y\in Y),$

co kończy dowód.

• Niech $v\in X\setminus Y$ oraz niech

$a=d(v,Y)=\inf _{y\in Y}\|v-y\|.$

Ponieważ podprzestrzeń $Y$ jest domknięta, $a>0.$ Z definicji infimum wynika istnienie takiego elementu $y_{0}\in Y,$ że

$a<\|v-y_{0}\|<{\frac {a}{\alpha }}.$

Niech $x=c(v-y_{0}),$ gdzie

$c={\frac {1}{\|v-y_{0}\|}}.$

Wówczas $x$ ma normę 1. Ponadto, dla każdego $y\in Y$

$\|x-y\|=\|c(v-y_{0})-y\|=c\|v-(y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y)\|.$

W szczególności,

$y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y\in Y,$

a zatem

$\|v-(y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y)\|\geqslant a.$

Stąd,

$\|x-y\|=c\|v-(y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y)\|\geqslant ca={\frac {a}{\|v-y_{0}\|}}\geqslant {\frac {a}{a/\alpha }}=\alpha ,$

co kończy dowód.

Uwagi

• W przypadku gdy $X$ jest przestrzenią refleksywną, teza lematu Riesza zachodzi również dla $\alpha =1.$ Rzeczywiście, podprzestrzeń $Y$ jest zawarta w jądrze funkcjonału $f$ o normie 1, ale funkcjonały liniowe i ciągłe na przestrzeniach refleksywnych osiągają swoją normę, tj. dla danego $f\in X^{*}$ o normie 1, istnieje taki element $x\in X,$ że $f(x)=1.$ Wówczas

$\|x-y\|\geqslant |f(x)-f(y)|=|f(x)-0|=|f(x)|=1\quad (y\in Y).$

Prawdziwość tezy lematu Riesza dla $\alpha$ = 1 charakteryzuje przestrzenie refleksywne. Rzeczywiście, jeżeli $X$ jest przestrzenią nierefleksywną to z twierdzenia Jamesa wynika istnienie takiego funkcjonału $f$ na $X$ o normie 1, który nie osiąga swojej normy. Niech $Y$ będzie jądrem $f.$ Wówczas $Y$ jest domkniętą, właściwą podprzestrzenią przestrzeni $X.$ Ponieważ $f$ nie osiąga swojej normy, nie istnieje żaden taki element $x\in X$ o normie 1, że $d(x,Y)=1$.

• Ze zwartości kuli jednostkowej w skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej wynika, że teza lematu Riesza zachodzi $\alpha =1$ w przypadku, gdy podprzestrzeń $Y$ jest skończenie wymiarowa. Rzeczywiście, podprzestrzeń $Y$ jest domknięta, będąc skończenie wymiarową podprzestrzenią $X.$ Niech $z\in X\setminus Y.$ Wówczas $a=d(z,Y)>0.$ Stąd $d(a^{-1}z,$ $a^{-1}Y)=d(a^{-1}z,Y)=1.$ Wynika stąd istnienie takiego ciągu $(y_{n})$ elementów przestrzeni $Y,$ że

$\lim _{n\to \infty }\|y_{n}-a^{-1}z\|=1.$

Ponieważ ciąg $(y_{n})$ jest ograniczony, a $Y$ skończenie wymiarowa, z twierdzenia Heinego-Borela wynika istnienie podciągu $(y_{n}k)$ ciągu $(y_{n}),$ który jest zbieżny do pewnego $y\in Y.$ Niech $x=y-a^{-1}z.$ Wówczas

$\|x\|=\|y-a^{-1}z\|=\lim _{k\to \infty }\|y_{n_{k}}-a^{-1}z\|=1.$

Ponadto, $d(x,Y)=1,$ co kończy dowód.

Wzmocnieniem tak sformułowanej wersji lematu Riesza jest twierdzenie Krejna-Krasnoselskiego-Milmana.

Zastosowanie: niezwartość kuli jednostkowej nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej

Lemat Riesza używa się do dowodu następującej charakteryzacji skończenie wymiarowych przestrzeni unormowanych:

Przestrzeń unormowana jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jej kula jednostkowa jest zwarta.

Zwartość kul w przestrzeniach skończenie wymiarowych wynika z twierdzenia Heinego-Borela. Implikację przeciwną dowodzi się przez kontrapozycję, używając lematu Riesza.

Niech $X$ będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią unormowaną oraz niech $x_{1}\in X$ będzie wektorem o normie 1. Z lematu Riesza zastosowanego do $Y_{1}=\operatorname {span} \{x_{1}\}$ wynika istnienie takiego wektora jednostkowego $x_{2}\in X,$ że $d(x_{2},Y_{1})\geqslant 1/2.$ Niech $Y_{2}=\operatorname {span} \{x_{1},x_{2}\}.$ Z lematu Riesza zastosowanego do $Y_{2}$ wynika istnienie takiego wektora jednostkowego $x_{3}\in X,$ że $d(x_{3},Y_{2})\geqslant 1/2.$ Kontynuując ten proces rekurencyjnie, otrzymuje się ciąg wektorów jednostkowych $(x_{n})$ w $X$ o tej własności, że odległości pomiędzy różnymi wyrazami tego ciągu wynoszą co najmniej 1/2. Ciąg ten zatem nie ma podciągu zbieżnego, a więc kula jednostkowa przestrzeni $X$ nie jest zwarta.

Wzmocnieniami udowodnionego wyżej wniosku z lematu Riesza są twierdzenie Kottmana i twierdzenie Eltona-Odella.

Bibliografia

• Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5.
• Erwin Kreyszig: Introductory functional analysis with applications. New York: John Wiley & Sons Inc., 1989.
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
• Yau-Chuen Wong: Introductory Theory of Topological Vector Spaces. New York, Basel, Hong-Kong: CRC Press, 1992, seria: Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. ISBN 978-0-8247-8779-0.