Pierwiastek kwadratowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy pierwiastka kwadratowego. Zobacz też: album z 2013.

Pierwiastek kwadratowy – dla danej liczby każda liczba której druga potęga (tzw. kwadrat, czyli jej iloczyn przez siebie, ) jest równa danej liczbie innymi słowy jest to dowolne rozwiązanie równania (bądź pierwiastek wielomianu) zmiennej

Każda dodatnia liczba rzeczywista ma dwa pierwiastki kwadratowe nazywane zbiorczo algebraicznymi: jeden z nich jest dodatni, nazywany często arytmetycznym (pod wyrażeniem „pierwiastek kwadratowy”, czy nawet „pierwiastek” rozumie się często właśnie jego), a drugi – ujemny. Zwykle oznacza się je odpowiednio symbolami bądź oraz gdzie jest symbolem pierwiastka; łącznie oznacza się je w skrócie (zob. znak ±). Jedynym pierwiastkiem z liczby jest ona sama; nie istnieją rzeczywiste pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych (są one urojonymi liczbami zespolonymi). W analizie matematycznej dowodzi się, że arytmetyczny pierwiastek kwadratowy jest równy

Liczba jest pierwiastkiem kwadratowym z ponieważ jest ona zarazem arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym tej liczby. Podobnie liczby oraz są (algebraicznymi) pierwiastkami kwadratowymi z gdyż każda z nich spełnia równanie

Pierwiastki kwadratowe z liczb naturalnych są albo liczbami naturalnymi, albo niewymiernymi. Własność ta była już znana w starożytności, o czym mówi już o tym twierdzenie 9 w księdze X[1] „Elementów” Euklidesa. Podejrzewa się, że niewymierność konkretnego przypadku była już znana wcześniej Pitagorejczykom, a za jej odkrywce tradycyjnie uznawany jest Hippazos[2].

W ogólności pojęcie pierwiastka (kwadratowego) można rozpatrywać dla przeróżnych obiektów matematycznych, na zbiorze których określone jest działanie dwuargumentowe pełniące rolę mnożenia, np. w algebrze macierzy, czy pierścieniu endomorfizmów (działania odpowiednio mnożenia macierzy i składania funkcji).

Własności[edytuj]

Wykres funkcji

Dla wszystkich liczb rzeczywistych zachodzi wzór (zob. wartość bezwzględna)

zaś dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych oraz prawdziwa jest tożsamość (zob. Uwagi)

Traktując liczbę podpierwiastkową jako argument funkcji nazywanej funkcją pierwiastkową, która przekształca zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych w siebie (w interpretacji geometrycznej dla danego pola powierzchni kwadratu daje ona długość jego boku; stąd nazwa „kwadratowy”), można dowieść, iż jest ona ciągła na całej dziedzinie (dla nieujemnych ) i różniczkowalna poza zerem (dla dodatnich ), a jej pierwsza pochodna jest dana wzorem

Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji w otoczeniu punktu zbieżny dla ma postać

Obliczanie[edytuj]

W większości obecnych kalkulatorów kieszonkowych jest dostępny klawisz funkcyjny do wyznaczania arytmetycznego pierwiastka kwadratowego; oprogramowanie komputera przeznaczone do celów obliczeniowych, np. arkusz kalkulacyjny, często dysponuje oddzielną funkcją. Kalkulatory kieszonkowe mają często wydajne implementacje funkcji wykładniczej i logarytmu naturalnego bądź dziesiętnego, które mogą być wykorzystane do obliczania arytmetycznego pierwiastka kwadratowego z dodatniej liczby rzeczywistej za pomocą równania

Wzory te mają również zastosowanie dla obliczeń przybliżonych z zastosowaniem tablic logarytmicznych lub suwaka logarytmicznego.

Liczby ujemne i zespolone[edytuj]

Zespolony pierwiastek kwadratowy
Alternatywne rozwiązanie zespolonego pierwiastka kwadratowego
Powierzchnia Riemanna z pierwiastka kwadratowego łącząca oba rozwiązania

Kwadrat dowolnej liczby dodatniej lub ujemnej jest dodatni, a kwadrat 0 wynosi 0. W związku z tym nie istnieje liczba ujemna która ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. Aby znaleźć takie rozwiązania należy rozszerzyć rozważany zbiór liczb na liczby zespolone. Dokonuje się to przez wprowadzenie nowej liczby, oznaczanej przez i nazwanej jednostką urojoną, która jest zdefiniowana jako i2 = –1. Korzystając z tego równania możemy określić, że i to pierwiastek kwadratowy z -1, lecz należy zauważyć, że także (–i)2 = i2 = –1, więc -i jest także pierwiastkiem kwadratowym z -1. Zgodnie z konwencją, kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z -1 to i, lub w ogólności, jeśli x jest dowolną liczbą dodatnią, to kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z -x wynosi

Prawa strona (a także jej negacja) jest rzeczywiście pierwiastkiem kwadratowym z -x, gdyż

Dla każdej różnej od 0 liczby zespolonej z istnieją dokładnie dwie liczby w takie, że w2 = z: kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z liczby z (zdefiniowany poniżej) i jego negacja.

Pierwiastek kwadratowy z liczby urojonej[edytuj]

Pierwiastek kwadratowy z i na płaszczyźnie zespolonej

Pierwiastek kwadratowy z i jest dany wzorem

Wynik ten można otrzymać algebraicznie przez znalezienie a i b w sposób

lub odpowiednio

Co daje układ dwóch równań

z rozwiązaniami

Dla arytmetycznego pierwiastka kwadratowego wybieramy

Ten wynik można również uzyskać korzystając ze wzoru de Moivre'a podstawiając

który daje

Kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z liczby zespolonej[edytuj]

Aby znaleźć definicję pierwiastka kwadratowego, która jednoznacznie określi jedną wartość, zwaną kwadratowym pierwiastkiem arytmetycznym, należy zauważyć, że liczbę zespoloną x + iy można przedstawić jako punkt na płaszczyźnie, (xy), wyrażoną w układzie współrzędnych kartezjańskich. Ten sam punkt może być odczytany za pomocą współrzędnych biegunowych jako para (r, φ), gdzie r ≥ 0 jest odległością od środka układu współrzędnych, a φ to kąt jaki tworzy półprosta o początku w środku układu współrzędnych i przechodząca przez zadany punkt z półosią dodatnich x, wartość ta jest zwykle zapisywana re.

Jeśli

oraz

to kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z liczby definiuje się wzorem

Oś rzeczywista dla wartości niedodatnich tworzy wtedy zbiór punktów rozgałęzienia. Funkcja kwadratowego pierwiastka arytmetycznego jest wszędzie holomorficzna z wyjątkiem rzeczywistych liczb niedodatnich (ściślej ujmując dla ujemnych liczb rzeczywistych nie jest nawet ciągła). Powyższy szereg Taylora dla √1 + x pozostaje słuszny dla liczb zespolonych x gdzie | x | < 1.

Powyższe równanie można także wyrazić za pomocą funkcji trygonometrycznych:

Wzór algebraiczny[edytuj]

Kiedy liczba jest wyrażona we współrzędnych kartezjańskich, to za pomocą następującego wzoru można wyznaczyć kwadratowy pierwiastek arytmetyczny:[3][4]

gdzie znak części urojonej z pierwiastka jest taki sam jak znak części urojonej liczby pierwiastkowanej, a

to wartość bezwzględna lub moduł liczby pierwiastkowanej. Część rzeczywista wyniku jest zawsze nieujemna.

Drugi pierwiastek można łatwo wyznaczyć jako negację otrzymanego wyniku. Oba pierwiastki po dodaniu dają wynik 0.

Uwagi[edytuj]

Z powodu nieciągłości funkcji pierwiastka kwadratowego na płaszczyźnie zespolonej, ogólna reguła √zw = √zw nie jest spełniona (podobny problem występuje przy obliczaniu logarytmu liczby zespolonej). Błędne założenie, co to słuszności tej reguły może prowadzić do fałszywych „dowodów”, jak np. poniższy pokazujący, że -1 = 1:

Przekształcenie w trzeciej równości nie może być zastosowane. Mogłoby być one zastosowane pod warunkiem zmiany znaczenia √ na takie, że jego rozwiązaniem nie jest już pierwiastek kwadratowy arytmetyczny, ale funkcja zawierająca (√–1)·(√–1). Wobec czego lewa strona staje się również

jeśli zbiór zawiera +i lub

jeśli zbiór zawiera –i, podczas gdy prawa strona staje się

gdzie ostatnia równość, √1 = –1, jest konsekwencją wyboru ze zbioru w nowej definicji √.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Polskojęzyczne tłumaczenie Elementów Euklidesa, Księga X, Twierdzenia I. [dostęp 30 sierpnia 2010].
  2. Morderczy spisek albo „złoty podział”. W: Christoph Drösser: Matematyka. Daj się uwieść!. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2011. ISBN 978-83-01-16557-4.
  3. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications, 1964. ISBN 0-486-61272-4., Rozdział 3.7.27, s. 17 (ang.)
  4. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons, 2008. ISBN 0-470-25952-3., Wyciąg: strona 59 (ang.)