Odwzorowania otwarte i domknięte

Odwzorowanie otwarte i odwzorowanie domknięte – terminy w topologii odnoszące się do specjalnych własności funkcji pomiędzy przestrzeniami topologicznymi.

Definicje

Niech $(X,\tau _{X})$ i $(Y,\tau _{Y})$ będą przestrzeniami topologicznymi. Powiemy, że funkcja $f\colon X\longrightarrow Y$ jest otwarta, jeśli obraz każdego otwartego podzbioru $X$ jest otwarty w $Y.$ Tak więc $f$ jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy

${\big (}\forall A\in \tau _{X}{\big )}{\big (}f(A)\in \tau _{Y}{\big )}.$

Pojęcie funkcji domkniętej jest wprowadzane podobnie, zastępując zbiory otwarte przez podzbiory domknięte. Czyli $f$ jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy obraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty, który to warunek można zapisać jako

${\big (}\forall A\in \tau _{X}{\big )}{\big (}Y\setminus f(X\setminus A)\in \tau _{Y}{\big )}.$

W powyższych definicjach nie zakładano żadnych dodatkowych własności funkcji $f,$ w szczególności nie musi być ona ciągła. Jednak niektórzy autorzy wymagają dodatkowo, że funkcja $f$ jest ciągła (wtedy więc odwzorowania otwarte i odwzorowania domknięte są funkcjami ciągłymi), por. Kuratowski, Engelking

Przykłady

• Każdy homeomorfizm przestrzeni topologicznych jest zarówno odwzorowaniem otwartym, jak i odwzorowaniem domkniętym.
• Rzut odwzorowujący trójwymiarową przestrzeń euklidesową na daną płaszczyznę jest ciągłym odwzorowaniem otwartym, które nie jest domknięte. Podobnie dla rzutów płaszczyzny na proste.
• Jeśli $X=\prod \limits _{i\in I}X_{i}$ jest produktem Tichonowa przestrzeni topologicznych, $j\in I$ oraz

$\pi _{j}\colon X\longrightarrow X_{j}:{\bar {x}}=\langle x_{i}:i\in I\rangle \mapsto x_{j}$

jest rzutem na $j$-tą współrzędną, to $\pi _{j}$ jest ciągłym odwzorowaniem otwartym z przestrzeni $X$ na przestrzeń $X_{j}.$

• Jeśli $Y$ jest przestrzenią dyskretną, to każda funkcja $f\colon X\longrightarrow Y$ jest odwzorowaniem domkniętym i otwartym (ale taka funkcja nie musi być ciągła).
• Funkcja $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} :r\mapsto r^{2}$ jest ciągłą funkcją domkniętą. Nie jest ona otwarta (np. obraz całej przestrzeni nie jest otwartym podzbiorem $\mathbb {R}$). Natomiast ta sama funkcja traktowana jako odwzorowanie $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow [0,\infty )$ jest otwarta. Przykład ten pokazuje, że pojęcia wprowadzone tutaj zależą od wyboru przeciwdziedziny funkcji.

Charakteryzacje i własności

• Niech $f\colon X\longrightarrow Y.$ Wówczas

(a) $f$ jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru $B\subseteq Y$ i każdego domkniętego zbioru $A\subseteq X,$ takiego że $f^{-1}(B)\subseteq A,$ istnieje zbiór domknięty $C\subseteq Y,$ taki że $B\subseteq C$ i $f^{-1}(C)\subseteq A;$

(b) $f$ jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru $B\subseteq Y$ i każdego otwartego zbioru $A\subseteq X,$ takiego że $f^{-1}(B)\subseteq A,$ istnieje otwarty zbiór $C\subseteq Y,$ taki że $B\subseteq C$ i $f^{-1}(C)\subseteq A.$

• Złożenie funkcji otwartych jest funkcją otwartą, podobnie złożenie funkcji domkniętych jest odwzorowaniem domkniętym.
• Funkcja $f\colon X\longrightarrow Y$ jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza ${\mathcal {B}}$ topologii na $X,$ taka że $f(U)$ jest otwarte w $Y$ dla każdego $U\in {\mathcal {B}}.$
• Jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą i $Y$ jest przestrzenią Hausdorffa, to każda funkcja ciągła $f\colon X\longrightarrow Y$ jest odwzorowaniem domkniętym.
• Przypuśćmy, że odwzorowanie $f\colon X\longrightarrow Y$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) Odwzorowanie $f$ jest homeomorfizmem.

(ii) Odwzorowanie $f$ jest domknięte i ciągłe.

(iii) Odwzorowanie $f$ jest otwarte i ciągłe.

(iv) Dla każdego zbioru $A\subseteq X,$

$f(A)$ jest domknięty w $Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest domknięty w $X.$

(v) Dla każdego zbioru $A\subseteq X,$

$f(A)$ jest otwarty w $Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest otwarty w $X.$

Zobacz też

• funkcja ciągła
• homeomorfizm