Trójkąt prostokątny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Trójkąt prostokątny
a, b - długości przyprostokątnych,
c - długość przeciwprostokątnej,
α, β - miary kątów ostrych,
h - długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną

Trójkąt prostokątny - trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.

Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5 [1].

Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych kątów przy przeciwprostokątnej.

Własności geometryczne[edytuj]

Związki metryczne[edytuj]

  • Boki trójkąta prostokątnego spełniają twierdzenie Pitagorasa;
  • Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość , jest ona zarazem średnią geometryczną długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną spodek wysokości
  • Pole powierzchni trójkąta prostokątnego dane jest wzorami:




,

  • Promień okręgu opisanego wyraża się wzorem:
  • Promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem:

Dowód: Zgodnie z wzorem na różnicę kwadratów: . Z twierdzenia Pitagorasa wynika: . Zatem z wzorów na pole trójkąta: i .

  • Niech oznaczają promienie okręgów wpisanych w trójkąty, na które dzieli go wysokość. Wówczas zachodzą równości:

Dowód: Z wzoru na promień okręgu wpisanego: , , , gdzie to długości odcinków, na które wysokość dzieli . Zatem () .

co wynika z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.

  • Niech oznaczają promienie okręgów dopisanych. Wówczas są spełnione:

Przypisy

  1. Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w piramidzie Cheopsa znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, 5

Bibliografia[edytuj]

Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Wyd. 1 uzupełnione. Toruń: Oficyna Wydawnicza "Tutor", 2003, s. 224-225. ISBN 83-86007-63-X. (pol.)