Trójkąt prostokątny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Trójkąt prostokątny
a, b – długości przyprostokątnych,
c – długość przeciwprostokątnej,
α, β – miary kątów ostrych,
h – długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną

Trójkąt prostokątnytrójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.

Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski, tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5[1].

Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych kątów przy przeciwprostokątnej.

Własności geometryczne[edytuj | edytuj kod]

Związki metryczne[edytuj | edytuj kod]

  • Boki trójkąta prostokątnego spełniają twierdzenie Pitagorasa;
  • Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość jest ona zarazem średnią geometryczną długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną spodek wysokości.
  • Pole powierzchni trójkąta prostokątnego dane jest wzorami:
  • Promień okręgu opisanego wyraża się wzorem:
  • Promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem:

Dowód: Zgodnie z wzorem na różnicę kwadratów: Z twierdzenia Pitagorasa wynika: Zatem z wzorów na pole trójkąta: i

  • Niech oznaczają promienie okręgów wpisanych w trójkąty, na które dzieli go wysokość. Wówczas zachodzą równości:

Dowód: Z wzoru na promień okręgu wpisanego: gdzie to długości odcinków, na które wysokość dzieli Zatem ()

co wynika z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.

  • Niech oznaczają promienie okręgów dopisanych. Wówczas są spełnione:

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w piramidzie Cheopsa znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, 5.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Wyd. 1 uzupełnione. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 224–225. ISBN 83-86007-63-X. (pol.)