Pierścień kołowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień kołowyzbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej ograniczony dwoma okręgami współśrodkowymi o różnych promieniach[1].

Definicja formalna[edytuj]

Pierścień kołowy (ubt).svg

Niech będzie dowolnym punktem płaszczyzny euklidesowej , zaś oraz odcinkami na niej leżącymi. Bez straty ogólności możemy założyć, że [1].

Pierścieniem kołowym nazywamy różnicę zbiorów dwóch kół o promieniach oraz , czyli podzbiór płaszczyzny opisywany układem równań

lub równoważnie

.

Płaszczyzna zespolona[edytuj]

W analizie zespolonej pierścień kołowy jest otwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej:

.

Jeżeli , to obszar ten nazywany jest czasem kołem (dyskiem) bez punktu o promieniu wokół punktu .

Jako podzbiór płaszczyzny zespolonej pierścień kołowy może być rozważany jako powierzchnia Riemanna. Struktura zespolona pierścienia zależy wyłącznie od współczynnika . Każdy pierścień kołowy może być odwzorowany holomorficznie w wyśrodkowany pierścień o promieniu zewnętrznym równym za pomocą przekształcenia

.

Promień wewnętrzny jest wtedy związany relacją .

Twierdzenie Hadamarda mówi o wartości maksymalnej jaką może przyjąć funkcja holomorficzna wewnątrz pierścienia kołowego.

Topologia[edytuj]

Otwarty pierścień kołowy jest topologicznie równoważny z otwartym walcem i płaszczyzną bez punktu.

Pole[edytuj]

Pole pierścienia jest różnicą pól kół o promieniach i :

.

Znając wartość obwodów pierścienia: zewnętrznego i wewnętrznego :

.

Wynik ten może być otrzymany metodami analitycznymi przez podzielenie pierścienia na nieskończenie wiele pierścieni o nieskończenie małych szerokościach i polach ( = długość okręgu razy szerokość) i całkowaniu od do :

Ciekawostką jest fakt, że pole pierścienia może zostać otrzymane również przez pomnożenie pi przez kwadrat połowy najdłuższego odcinka całkowicie zawartego w tym pierścieniu.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b jeżeli są one równe, to pierścień jest zdegenerowany, czyli opisuje okrąg

Linki zewnętrzne[edytuj]