Przestrzeń sprzężona w sensie sprzężenia zespolonego

Przestrzeń sprzężona w sensie sprzężenia zespolonego - dla danej zespolonej przestrzeni liniowej $V$$V$ przestrzeń liniowa ${\overline {V}}$${\overline {V}}$, której elementami są elementy zbioru $V$$V$, działanie dodawania jest takie samo jak w przestrzeni $V$$V$, natomiast mnożenie przez skalary zdefiniowane jest wzorem

$\alpha \odot x={\overline {\alpha }}x$$\alpha \odot x={\overline {\alpha }}x$,

dla każdego $x\in V$$x\in V$ oraz każdej liczby zespolonej $\alpha$$\alpha$. Działanie po prawej stronie znaku równości oznacza mnożenie przez skalar (liczbę sprzężoną do $\alpha$$\alpha$) w przestrzeni $V$$V$.

Przestrzenie $V$$V$ i ${\overline {V}}$${\overline {V}}$ mają jednakowe wymiary, a więc są izomorficzne z punktu widzenia algebry liniowej, to znaczy istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie liniowe między tymi przestrzeniami. Przestrzeń ${\overline {\overline {V}}}$${\overline {\overline {V}}}$ można w naturalny sposób utożsamiać z przestrzenią $V$$V$ (zob. idempotentność).

Jeśli $V,W$$V,W$ są zespolonymi przestrzeniami liniowymi oraz $A\colon V\to W$$A\colon V\to W$ jest odwzorowaniem antyliniowym, to jest ono liniowe jako przekształcenie przestrzeni ${\overline {V}}$${\overline {V}}$ w przestrzeń $W\,$$W\,$ (cały czas można mówić o jednym i tym samym odwzorowaniu ponieważ zbiory wektorów przestrzeni $V\,$$V\,$ i ${\overline {V}}$${\overline {V}}$ są równe. W szczególności, identyczność

${\mbox{id}}\colon H\to {\overline {H}}$${\mbox{id}}\colon H\to {\overline {H}}$

jest izomorfizmem antyliniowym.

Twierdzenie Riesza o reprezentacji ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni Hilberta $H$$H$ mówi, że dla każdego $x^{*}\in H^{*}$$x^{*}\in H^{*}$ istnieje dokładnie jeden element $a\in H$$a\in H$ taki, że

$x^{*}x=(x|a)\,$$x^{*}x=(x|a)\,$

dla każdego $x\in H$$x\in H$. Z tego twierdzenia wynika, że każda przestrzeń Hilberta $H$$H$ jest antyliniowo (izometrycznie) izomorficzna ze swoją przestrzenią sprzężoną $H^{*}$$H^{*}$. Stąd, niekiedy wygodnie jest dokonywać utożsamienia

$H^{*}={\overline {H}}.$$H^{*}={\overline {H}}.$

Bibliografia

• Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry: Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004, s. 142. ISBN 83-01-14267-7.