Przestrzeń sprzężona w sensie sprzężenia zespolonego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń sprzężona w sensie sprzężenia zespolonego - dla danej zespolonej przestrzeni liniowej przestrzeń liniowa , której elementami są elementy zbioru , działanie dodawania jest takie samo jak w przestrzeni , natomiast mnożenie przez skalary zdefiniowane jest wzorem

,

dla każdego oraz każdej liczby zespolonej . Działanie po prawej stronie znaku równości oznacza mnożenie przez skalar (liczbę sprzężoną do ) w przestrzeni .

Przestrzenie i mają jednakowe wymiary, a więc są izomorficzne z punktu widzenia algebry liniowej, to znaczy istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie liniowe między tymi przestrzeniami. Przestrzeń można w naturalny sposób utożsamiać z przestrzenią (zob. idempotentność).

Jeśli są zespolonymi przestrzeniami liniowymi oraz jest odwzorowaniem antyliniowym, to jest ono liniowe jako przekształcenie przestrzeni w przestrzeń (cały czas można mówić o jednym i tym samym odwzorowaniu ponieważ zbiory wektorów przestrzeni i są równe. W szczególności, identyczność

jest izomorfizmem antyliniowym.

Twierdzenie Riesza o reprezentacji ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni Hilberta mówi, że dla każdego istnieje dokładnie jeden element taki, że

dla każdego . Z tego twierdzenia wynika, że każda przestrzeń Hilberta jest antyliniowo (izometrycznie) izomorficzna ze swoją przestrzenią sprzężoną . Stąd, niekiedy wygodnie jest dokonywać utożsamienia

Bibliografia[edytuj]

  • Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry: Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004, s. 142. ISBN 83-01-14267-7.