Przejdź do zawartości

Przestrzeń regularna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Przestrzeń regularna i przestrzeń to terminy w topologii odnoszące się do tej samej lub bardzo pokrewnych własności oddzielania.

Definicje

[edytuj | edytuj kod]

Powiemy, że w przestrzeni topologicznej punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte jeśli

dla każdego zbioru domkniętego i dowolnego punktu można znaleźć rozłączne zbiory otwarte takie że i

Punkt x przedstawiony jako kropka po lewej stronie i zbiór domknięty F, przedstawiony jako zaczerniony dysk po prawej stronie są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte U, V (przedstawione jako większe koła)

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że punkt i zbiór domknięty są rozdzielone przez otoczenia otwarte .

Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią T1 w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwa

[edytuj | edytuj kod]

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń regularna i przestrzeń w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje

  • przestrzeń regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte, oraz
  • przestrzeń jako przestrzeń regularną która jest także przestrzenią T1.

Z drugiej strony Engelking definiuje[2]

  • bycie przestrzenią i bycie przestrzenią regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni regularnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]
  • Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
  • Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią regularną, ale istnieją przestrzenie regularne które nie są Na przykład rozważmy podzbiór płaszczyzny z kartezjańskim układem współrzędnych. Na zbiorze wprowadzamy topologię przez określenie bazy otoczeń w każdym punkcie
    • jeśli to
    • jeśli to składa się ze wszystkich zbiorów postaci gdzie jest zbiorem skończonym,
    • gdzie
Wtedy jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa.
  • Istnieją przestrzenie które nie są Rozważmy na przykład zbiór z topologią otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na o zbiór Wtedy jest przestrzenią Hausdorffa, która nie jest regularna.

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Przestrzeń topologiczna spełniająca warunek jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego punktu i jego otoczenia otwartego (tak więc ) istnieje otoczenie punktu którego domknięcie jest zawarte w (tzn. ).
  • Każda regularna przestrzeń topologiczna która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią normalną.
  • Podzbiór przestrzeni traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią Własność być przestrzenią jest więc własnością dziedziczną.
  • Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni jest przestrzenią

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Kazimierz Kuratowski, Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 52.
  2. Engelking Ryszard, Topologia ogólna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2007,s. 53-54, ISBN 978-83-01-15254-3.