Równanie różniczkowe: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
| Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Równanie różniczkowe''' – [[równanie]], wyznaczające zależność między nieznaną [[funkcja|funkcją]] a jej [[ |
'''Równanie różniczkowe''' – [[równanie]], wyznaczające zależność między nieznaną [[funkcja|funkcją]] a jej [[Pochodna funkcji|pochodnymi]]. |
||
[[Rozwiązanie równania różniczkowego]] polega na znalezieniu funkcji <math>y</math>, która spełnia to równanie. Na przykład równanie różniczkowe <math>y'' + y = 0</math> ma ogólne rozwiązanie w postaci <math>y = A \cos{x} + B \sin{x}</math>, gdzie <math>A</math> i <math>B</math> są stałymi wyznaczonymi z [[zagadnienie brzegowe|warunków brzegowych]]. |
[[Rozwiązanie równania różniczkowego]] polega na znalezieniu funkcji <math>y</math>, która spełnia to równanie. Na przykład równanie różniczkowe <math>y'' + y = 0</math> ma ogólne rozwiązanie w postaci <math>y = A \cos{x} + B \sin{x}</math>, gdzie <math>A</math> i <math>B</math> są stałymi wyznaczonymi z [[zagadnienie brzegowe|warunków brzegowych]]. |
||
| Linia 14: | Linia 14: | ||
* [[równania Hamiltona]] w [[mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]] |
* [[równania Hamiltona]] w [[mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]] |
||
* równania związane z [[Czas połowicznego rozpadu|czasem połowicznego rozpadu]] [[Izotopy|izotopów]] w [[fizyka jądrowa|fizyce jądrowej]] |
* równania związane z [[Czas połowicznego rozpadu|czasem połowicznego rozpadu]] [[Izotopy|izotopów]] w [[fizyka jądrowa|fizyce jądrowej]] |
||
* równania opisujące [[konwekcja swobodna|konwekcję swobodną]] w [[termodynamika|termodynamice]] |
* równania opisujące [[konwekcja swobodna|konwekcję swobodną]] w [[termodynamika|termodynamice]] |
||
* [[równanie falowe]] |
* [[równanie falowe]] |
||
* [[równania Maxwella]] |
* [[równania Maxwella]] |
||
* [[równanie przewodnictwa cieplnego]] w termodynamice |
* [[równanie przewodnictwa cieplnego]] w termodynamice |
||
* [[Równanie różniczkowe Laplace’a|równanie |
* [[Równanie różniczkowe Laplace’a|równanie Laplace’a]] opisujące [[Harmonika (matematyka)|harmoniki]] |
||
* [[Równanie różniczkowe Poissona|równanie Poissona]] |
* [[Równanie różniczkowe Poissona|równanie Poissona]] |
||
* [[równanie Einsteina]] w [[teoria względności|teorii względności]] |
* [[równanie Einsteina]] w [[teoria względności|teorii względności]] |
||
* [[równania Einsteina-Infelda-Hoffmanna]] |
* [[równania Einsteina-Infelda-Hoffmanna]] |
||
* [[równanie Schrödingera]] w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] |
* [[równanie Schrödingera]] w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] |
||
* [[Równania Naviera-Stokesa|równanie |
* [[Równania Naviera-Stokesa|równanie Naviera-Stokesa]] w [[mechanika płynów|mechanice płynów]] |
||
* [[równania Cauchy’ego-Riemanna]] w [[analiza zespolona|analizie zespolonej]] |
* [[równania Cauchy’ego-Riemanna]] w [[analiza zespolona|analizie zespolonej]] |
||
* [[równanie |
* [[równanie Poissona-Boltzmanna]] |
||
</div> |
</div> |
||
| Linia 31: | Linia 31: | ||
{{commonscat|Differential equations|Równania różniczkowe}} |
{{commonscat|Differential equations|Równania różniczkowe}} |
||
{{wikibooks|Układy równań różniczkowych|Układy równań różniczkowych}} |
{{wikibooks|Układy równań różniczkowych|Układy równań różniczkowych}} |
||
* [[ |
* [[rachunek różniczkowy i całkowy]] |
||
* [[ |
* [[równanie różniczkowe zupełne]] |
||
* [[ |
* [[metoda Eulera]] |
||
* [[ |
* [[zagadnienie Cauchy’ego]] (zagadnienie początkowe) |
||
[[Kategoria:Równania różniczkowe| ]] |
[[Kategoria:Równania różniczkowe| ]] |
||
Wersja z 00:11, 8 lut 2018
Równanie różniczkowe – równanie, wyznaczające zależność między nieznaną funkcją a jej pochodnymi.
Rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu funkcji , która spełnia to równanie. Na przykład równanie różniczkowe ma ogólne rozwiązanie w postaci , gdzie i są stałymi wyznaczonymi z warunków brzegowych.
Równania różniczkowe można podzielić na:
- równania różniczkowe zwyczajne – w których szukamy funkcji jednej zmiennej
- równania różniczkowe cząstkowe – w których szukamy funkcji wielu zmiennych
Istnieją metody rozwiązywania równań różniczkowych pewnych szczególnych typów, jednak wiele równań różniczkowych nie ma rozwiązań, które dałyby się wyrazić w postaci jawnej. W praktyce matematycznej często ważniejszą informacją od samej postaci rozwiązania jest informacja o jego istnieniu (gdyż nie każde równanie różniczkowe musi je mieć). W przypadku równań różniczkowych, o których wiadomo, że mają rozwiązanie, często (szczególnie w zastosowaniach) wystarczające jest znalezienie rozwiązania przybliżonego (np. stosując metodę aproksymacji). Obecnie prowadzi się wiele badań nad kolejnymi schematami rozwiązywania równań różniczkowych, gdyż mają one wiele zastosowań praktycznych. Przy wielu uniwersytetach powstają specjalne katedry równań różniczkowych zajmujące się praktycznie tylko szukaniem rozwiązań kolejnych przełomowych równań.
Przykłady równań różniczkowych w różnych dziedzinach
- równania opisujące zasady dynamiki Newtona
- równania Hamiltona w mechanice klasycznej
- równania związane z czasem połowicznego rozpadu izotopów w fizyce jądrowej
- równania opisujące konwekcję swobodną w termodynamice
- równanie falowe
- równania Maxwella
- równanie przewodnictwa cieplnego w termodynamice
- równanie Laplace’a opisujące harmoniki
- równanie Poissona
- równanie Einsteina w teorii względności
- równania Einsteina-Infelda-Hoffmanna
- równanie Schrödingera w mechanice kwantowej
- równanie Naviera-Stokesa w mechanice płynów
- równania Cauchy’ego-Riemanna w analizie zespolonej
- równanie Poissona-Boltzmanna
Zobacz też
- rachunek różniczkowy i całkowy
- równanie różniczkowe zupełne
- metoda Eulera
- zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe)