Równanie różniczkowe Poissona

Równanie różniczkowe Poissona – niejednorodne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu typu eliptycznego.

Równanie to zapisać można w postaci:

$\nabla ^{2}$ $u=f$

lub inaczej

$\Delta$ $u=f.$

Funkcję $f$ zmiennych przestrzennych traktuje się jako znaną.

Szczególne przypadki

Równanie można również zapisać explicite dla przestrzeni o zadanym wymiarze.

Dla przestrzeni trójwymiarowej przyjmuje ono postać równania różniczkowego cząstkowego:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,y,z)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}u(x,y,z)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}u(x,y,z)=f(x,y,z),$

a dla dwuwymiarowej:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,y)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}u(x,y)=f(x,y).$

W przypadku jednowymiarowym równanie Poissona redukuje się do równania różniczkowego zwyczajnego:

$u''(x)=f(x).$

W przypadku jednorodnym, tj. jeśli $f\equiv 0,$ to mamy do czynienia z przypadkiem szczególnym znanym pod nazwą równania różniczkowego Laplace’a.

Równanie Poissona opisuje wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. rozkład pola prędkości cieczy wypływającej ze źródła, potencjał pola grawitacyjnego w obecności źródeł, potencjał pola elektrostatycznego w obecności ładunków, temperaturę wewnątrz ciała przy stałym dopływie ciepła.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Simeona Denisa Poissona, który sformułował je na początku XIX wieku i przeprowadził analizę jego rozwiązań.

Rozwiązania i funkcje Greena

Równanie różniczkowe Poissona z dołączonymi do niego warunkami brzegowymi tworzy eliptyczne zagadnienie brzegowe. Zagadnienie to posiada rozwiązania regularne, o ile warunki brzegowe mają postać ciągłą.

Dla obszaru $U$ i funkcji ciągłych $f$ i $g$ rozwiązaniem równania Poissona $\Delta u=f$ w obszarze $U$ spełniającym warunek $u=g$ na brzegu $U$ jest

$u(x)=\int _{\partial U}g(y){\frac {\partial G}{\partial n}}(x,y)dS(x,y)+\int _{U}f(y)G(x,y)dy,$

gdzie $G$ jest funkcją Greena obszaru (o ile dla danego obszaru taka funkcja istnieje).

Funkcją Greena półprzestrzeni $\mathbb {R} _{+}^{n}=\{x=(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{n}>0\}$ jest

$G(x,y)=\Gamma (y-x)-\Gamma (y-{\bar {x}}),$

gdzie ${\bar {x}}=(x_{1},\dots ,-x_{n}),$ a $\Gamma$ jest rozwiązaniem podstawowym laplasjanu.

Funkcją Greena (hiper)kuli jest

$G(x,y)=\Gamma (y-x)-\Gamma (|x|(y-{\tilde {x}})),$

gdzie ${\tilde {x}}={\frac {x}{|x|^{2}}},$ a $\Gamma$ jest rozwiązaniem podstawowym laplasjanu.

Zobacz też

• operator Laplace’a
• operator nabla
• równanie różniczkowe Laplace’a

Bibliografia

• Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.

Linki zewnętrzne

• Poisson equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].