Równanie różniczkowe

Równanie różniczkowe – równanie, wyznaczające zależność między nieznaną funkcją a jej pochodnymi.

Rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu funkcji $y$, która spełnia to równanie. Na przykład równanie różniczkowe $y''+y=0$ ma ogólne rozwiązanie w postaci $y=A\cos {x}+B\sin {x}$, gdzie $A$ i $B$ są stałymi wyznaczonymi z warunków brzegowych.

Równania różniczkowe można podzielić na:

• równania różniczkowe zwyczajne – w których szukamy funkcji jednej zmiennej
• równania różniczkowe cząstkowe – w których szukamy funkcji wielu zmiennych

Istnieją metody rozwiązywania równań różniczkowych pewnych szczególnych typów, jednak wiele równań różniczkowych nie ma rozwiązań, które dałyby się wyrazić w postaci jawnej. W praktyce matematycznej często ważniejszą informacją od samej postaci rozwiązania jest informacja o jego istnieniu (gdyż nie każde równanie różniczkowe musi je mieć). W przypadku równań różniczkowych, o których wiadomo, że mają rozwiązanie, często (szczególnie w zastosowaniach) wystarczające jest znalezienie rozwiązania przybliżonego (np. stosując metodę aproksymacji). Obecnie prowadzi się wiele badań nad kolejnymi schematami rozwiązywania równań różniczkowych, gdyż mają one wiele zastosowań praktycznych. Przy wielu uniwersytetach powstają specjalne katedry równań różniczkowych zajmujące się praktycznie tylko szukaniem rozwiązań kolejnych przełomowych równań.

Przykłady równań różniczkowych w różnych dziedzinach

• równania opisujące zasady dynamiki Newtona
• równania Hamiltona w mechanice klasycznej
• równania związane z czasem połowicznego rozpadu izotopów w fizyce jądrowej
• równania opisujące konwekcję swobodną w termodynamice
• równanie falowe
• równania Maxwella
• równanie przewodnictwa cieplnego w termodynamice
• równanie Laplace'a opisujące harmoniki
• równanie Poissona
• równanie Einsteina w teorii względności
• równania Einsteina-Infelda-Hoffmanna
• równanie Schrödingera w mechanice kwantowej
• równanie Naviera–Stokesa w mechanice płynów
• równania Cauchy’ego-Riemanna w analizie zespolonej
• równanie Poissona–Boltzmanna

Zobacz też

• Rachunek różniczkowy i całkowy
• Równanie różniczkowe zupełne
• Metoda Eulera
• Zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe)