Zbieżność prawie wszędzie: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 00:49, 23 paź 2018

Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary – rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.

Definicja

Teoria miary

Niech $(X,{\mathfrak {M}})$ będzie przestrzenią mierzalną oraz niech $\mu \colon {\mathfrak {M}}\longrightarrow [0,\infty ]$ będzie miarą. Niech $(Y,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $A\in {\mathfrak {M}}$ oraz $f_{n},f\colon A\longrightarrow Y.$

Mówimy, że ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f$ (względem miary $\mu$ na zbiorze $A$ ), jeśli istnieje zbiór mierzalny $B\subset A,\mu (B)=0$ taki, że

\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)

dla

x\in A\setminus B.

Ciąg funkcji $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji $f,$ jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji $f$ poza zbiorem miary zero.

Teoria prawdopodobieństwa

Niech $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech $X,X_{1},X_{2},...:\Omega \to \mathbb {R}$ będą zmiennymi losowymi. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych $(X_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do zmiennej $X,$ jeżeli

P\left(\{\omega \in \Omega :\lim \limits _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\}\right)=1.

Przypadek wielowymiarowy

Niech $X,X_{1},X_{2},...:\Omega \to \mathbb {R} ^{s}$ będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych $(X_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora $X,$ jeżeli

\bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim \limits _{n\to \infty }P\left(\bigcap \limits _{k=n}^{\infty }\{\omega \in \Omega :||X_{k}(\omega )-X(\omega )||<\varepsilon \}\right)=1,

gdzie $||\cdot ||:\mathbb {R} ^{s}\to [0,\infty )$ oznacza normę euklidesową w $\mathbb {R} ^{s}.$

Uwagi

Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
Zdanie: „ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f$ ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:

f_{n}{\xrightarrow {p.w.}}f

Własności

Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie.
Jeśli miara $\mu$ jest σ-skończona oraz ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest $\mu$ -prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f,$ to ciąg ten jest zbieżny według miary (do tej samej funkcji). W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej przestrzeni probabilistycznej jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on zbieżny według prawdopodobieństwa.

Zobacz też

Bibliografia

Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 52. ISBN 83-01-09054-5.

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-'''Zbieżność prawie wszędzie''' ciągu funkcji względem (pewnej) [[miara (matematyka)|miary]] to rodzaj zbieżności [[ciąg funkcyjny|ciągów funkcyjnych]] rozważany w [[teoria miary|teorii miary]] i [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]]. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W [[teoria prawdopodobieństwa|teorii prawdopodobieństwa]] i [[statystyka|statystyce]] znane jest ono pod nazwą '''zbieżność z prawdopodobieństwem 1''' lub '''[[prawie na pewno]]'''.
+'''Zbieżność prawie wszędzie''' ciągu funkcji względem (pewnej) [[miara (matematyka)|miary]] – rodzaj zbieżności [[ciąg funkcyjny|ciągów funkcyjnych]] rozważany w [[teoria miary|teorii miary]] i [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]]. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W [[teoria prawdopodobieństwa|teorii prawdopodobieństwa]] i [[statystyka|statystyce]] znane jest ono pod nazwą '''zbieżność z prawdopodobieństwem 1''' lub '''[[prawie na pewno]]'''.
 == Definicja ==
 === Teoria miary ===
-Niech <math> (X,\mathfrak{M}) </math> będzie [[Przestrzeń mierzalna|przestrzenią mierzalną]] oraz niech <math> \mu \colon \mathfrak{M} \longrightarrow [0,\infty] </math> będzie [[Miara (matematyka)|miarą]]. Niech <math> (Y,d) </math> będzie [[Przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]], <math> A\in\mathfrak{M} </math> oraz <math> f_n, f \colon A \longrightarrow Y </math>.
+Niech <math>(X,\mathfrak{M})</math> będzie [[Przestrzeń mierzalna|przestrzenią mierzalną]] oraz niech <math>\mu \colon \mathfrak{M} \longrightarrow [0,\infty]</math> będzie [[Miara (matematyka)|miarą]]. Niech <math>(Y,d)</math> będzie [[Przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]], <math>A\in\mathfrak{M}</math> oraz <math>f_n, f \colon A \longrightarrow Y.</math>
-Mówimy, że ciąg <math> (f_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> jest ''prawie wszędzie zbieżny do funkcji'' <math> f </math>  (względem miary <math> \mu </math> na zbiorze <math> A </math>), jeśli istnieje zbiór mierzalny <math> B \subset A, \mu(B) = 0 </math> taki, że
+Mówimy, że ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> jest ''prawie wszędzie zbieżny do funkcji'' <math>f</math> (względem miary <math>\mu</math> na zbiorze <math>A</math>), jeśli istnieje zbiór mierzalny <math>B \subset A, \mu(B) = 0</math> taki, że
-: <math> \lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x) </math> dla <math> x\in A \setminus B . </math>
+: <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x)</math> dla <math>x\in A \setminus B.</math>
-Ciąg funkcji <math> (f_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji <math> f </math>, jeśli jest on [[Zbieżność punktowa ciągu funkcji|zbieżny punktowo]] do funkcji <math> f </math> poza zbiorem miary zero.
+Ciąg funkcji <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji <math>f,</math> jeśli jest on [[Zbieżność punktowa|zbieżny punktowo]] do funkcji <math>f</math> poza zbiorem miary zero.
 === Teoria prawdopodobieństwa ===
-Niech <math> ( \Omega, \mathcal{F}, P ) </math> będzie [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzenią probabilistyczną]].
+Niech <math>( \Omega, \mathcal{F}, P )</math> będzie [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzenią probabilistyczną]].
 ; Przypadek jednowymiarowy:
-Niech <math> X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R} </math> będą [[Zmienna losowa|zmiennymi losowymi]]. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych <math> (X_n)_{n\in {\mathbb N}} </math> jest ''zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno)'' do zmiennej <math> X </math>, jeżeli
+Niech <math>X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R}</math> będą [[Zmienna losowa|zmiennymi losowymi]]. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych <math>(X_n)_{n\in {\mathbb N}}</math> jest ''zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno)'' do zmiennej <math>X,</math> jeżeli
-: <math>P \left( \{ \omega \in \Omega : \lim\limits_{n \to \infty} X_{n}(\omega) = X(\omega) \} \right) = 1 . </math>
+: <math>P \left( \{ \omega \in \Omega : \lim\limits_{n \to \infty} X_n(\omega) = X(\omega) \} \right) = 1.</math>
 ; Przypadek wielowymiarowy:
-Niech <math> X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R}^s </math> będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych <math> (X_n)_{n\in {\mathbb N}} </math> jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora <math> X </math>, jeżeli
+Niech <math>X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R}^s</math> będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych <math>(X_n)_{n\in {\mathbb N}}</math> jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora <math>X,</math> jeżeli
-: <math> \bigwedge\limits_{\varepsilon > 0 } \  \lim\limits_{n \to \infty} P \left( \bigcap\limits_{k=n}^{\infty} \{ \omega \in \Omega : || X_k(\omega) - X(\omega) || < \varepsilon \} \right) = 1 , </math>
+: <math>\bigwedge\limits_{\varepsilon > 0 } \ \lim\limits_{n \to \infty} P \left( \bigcap\limits_{k=n}^\infty \{ \omega \in \Omega : || X_k(\omega) - X(\omega) || < \varepsilon \} \right) = 1,</math>
-gdzie <math> || \cdot || : \mathbb{R}^s \to [0, \infty) </math> oznacza [[Przestrzeń unormowana|normę euklidesową]] w <math> \mathbb{R}^s . </math>
+gdzie <math>|| \cdot || : \mathbb{R}^s \to [0, \infty)</math> oznacza [[Przestrzeń unormowana|normę euklidesową]] w <math>\mathbb{R}^s.</math>
 == Uwagi ==
 * Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
-* Zdanie: „ciąg <math> (f_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji <math> f </math>”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:
+* Zdanie: „ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji <math>f</math>”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:
-:: <math> f_n \xrightarrow[]{p.w.} f </math>
+:: <math>f_n \xrightarrow{p.w.} f</math>
 == Własności ==
 * Każdy ciąg [[zbieżność prawie jednostajna|zbieżny prawie jednostajnie]] jest zbieżny prawie wszędzie.
-* Jeśli miara <math>\mu</math> jest [[miara σ-skończona|σ-skończona]] oraz ciąg <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest <math>\mu</math>-prawie wszędzie zbieżny do funkcji <math>f</math>, to ciąg ten jest zbieżny [[Zbieżność według miary|według miary]] (do tej samej funkcji). W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on [[Zbieżność według prawdopodobieństwa|zbieżny według prawdopodobieństwa]].
+* Jeśli miara <math>\mu</math> jest [[miara σ-skończona|σ-skończona]] oraz ciąg <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest <math>\mu</math>-prawie wszędzie zbieżny do funkcji <math>f,</math> to ciąg ten jest zbieżny [[Zbieżność według miary|według miary]] (do tej samej funkcji). W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on [[Zbieżność według miary|zbieżny według prawdopodobieństwa]].
 == Zobacz też ==
@@ Linia 38: / Linia 39: @@
 == Bibliografia ==
-* {{cytuj książkę | nazwisko = Bartoszewicz | imię = Jarosław | tytuł = Wykłady ze statystyki matematycznej | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] | miejsce = Warszawa | rok = 1989 | strony = 52 | isbn = 83-01-09054-5 }}
+* {{cytuj książkę |nazwisko = Bartoszewicz |imię = Jarosław |tytuł = Wykłady ze statystyki matematycznej |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1989 |strony = 52 |isbn = 83-01-09054-5}}
 [[Kategoria:Ciągi funkcyjne]]