Relacja zwrotna: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 07:13, 14 sty 2020

Relacja zwrotna – relacja, która zachodzi dla każdej pary postaci $(x,x).$

Relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$ nazywa się zwrotną, gdy:

\forall _{x\in X}\;(x\ \varrho \ x).

Relacja przeciwzwrotna – relacja, która nie zachodzi dla żadnej pary uporządkowanej postaci $(x,x).$

Relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$ nazywa się przeciwzwrotną, gdy:

\forall _{x\in X}\ \lnot (x\ \varrho \ x).

Przykłady

Relacje zwrotne:

Każda relacja równoważności i każdy częściowy porządek, szerzej: każdy praporządek
Przecinanie się zbiorów
Przemienność (komutacja) funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych
liniowa zależność wektorów

Relacje przeciwzwrotne:

Relacja większości w zbiorze liczb rzeczywistych
Ścisłe zawieranie (ścisła inkluzja) zbiorów
Relacje między prostymi, półprostymi i odcinkami: przecinanie się i w szczególności prostopadłość
Rozłączność zbiorów
Liniowa niezależność wektorów
Bycie rodzicem lub przodkiem, dzieckiem lub potomkiem, rodzeństwem, małżonkiem
Pasożytnictwo – organizm nie może być pasożytem siebie
Konkurencja ekologiczna i ekologiczna
Bycie jądrami lustrzanymi
Komplementarność nici kwasów nukleinowych (DNA i RNA)

Relacje ani zwrotne, ani przeciwzwrotne:

Biorąc relację $\varrho$ określoną na zbiorze liczb naturalnych następująco: $n\ \varrho \ m$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n+m+1$ jest liczbą pierwszą. Relacja $\varrho$ nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo $\lnot (10\ \varrho \ 10)$ (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ $10+10+1=21=7\cdot 3$ ) oraz $2\ \varrho \ 2$ (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ $2+2+1=5$ ).
Przecięcie krzywych w geometrii – krzywa może przecinać siebie samą (jak np. lemniskata), ale nie musi (jak np. proste i okręgi).

Zobacz też

Bibliografia

Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 155. ISBN 83-01-14415-7.

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-'''Relacja zwrotna''' – [[Relacja (matematyka)|relacja]], która zachodzi dla każdej [[para uporządkowana|pary]] postaci <math>(x,x) \,</math>.
+'''Relacja zwrotna''' – [[Relacja (matematyka)|relacja]], która zachodzi dla każdej [[para uporządkowana|pary]] postaci <math>(x,x).</math>
 Relację dwuczłonową <math>\varrho \subseteq X\times X</math> nazywa się ''zwrotną'', gdy:
-: <math>\forall_{x \in X}\; (x \ \varrho\ x) </math>.
+: <math>\forall_{x \in X}\; (x \ \varrho\ x).</math>
-'''Relacja przeciwzwrotna''' – relacja, która nie zachodzi dla żadnej pary uporządkowanej postaci <math>(x,x) \,</math>.
+'''Relacja przeciwzwrotna''' – relacja, która nie zachodzi dla żadnej pary uporządkowanej postaci <math>(x,x).</math>
 Relację dwuczłonową <math>\varrho \subseteq X\times X</math> nazywa się ''przeciwzwrotną'', gdy:
-: <math>\forall_{x \in X}\ \lnot (x \ \varrho\ x) </math>.
+: <math>\forall_{x \in X}\ \lnot (x \ \varrho\ x).</math>
 == Przykłady ==
@@ Linia 26: / Linia 26: @@
 * Konkurencja ekologiczna i ekologiczna
 * Bycie [[jądra lustrzane|jądrami lustrzanymi]]
-* Komplementarność nici kwasów nukleinowych ([[DNA]] i [[RNA]])
+* Komplementarność nici kwasów nukleinowych ([[Kwas deoksyrybonukleinowy|DNA]] i [[Kwasy rybonukleinowe|RNA]])
 Relacje ani zwrotne, ani przeciwzwrotne:
-* Biorąc relację <math>\varrho</math> określoną na zbiorze [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] następująco: <math>n \ \varrho\ m \,</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>n+m+1 \,</math> jest [[liczba pierwsza|liczbą pierwszą]]. Relacja <math>\varrho</math> nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo <math> \lnot(10 \ \varrho\ 10) \ </math> (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ <math> 10+10+1 = 21 = 7*3 </math>) oraz <math> 2 \ \varrho\ 2 \ </math> (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ <math> 2+2+1 = 5 </math> ).
+* Biorąc relację <math>\varrho</math> określoną na zbiorze [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] następująco: <math>n \ \varrho\ m</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>n+m+1</math> jest [[liczba pierwsza|liczbą pierwszą]]. Relacja <math>\varrho</math> nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo <math>\lnot(10 \ \varrho\ 10)</math> (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ <math>10+10+1 = 21 = 7\cdot 3</math>) oraz <math>2 \ \varrho\ 2</math> (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ <math>2+2+1 = 5</math>).
 * Przecięcie [[krzywa|krzywych]] w geometrii – krzywa może przecinać siebie samą (jak np. [[lemniskata]]), ale nie musi (jak np. proste i okręgi).
 == Zobacz też ==
-* [[relacja symetryczna]]
+* [[częściowy porządek]]
 * [[relacja antysymetryczna]]
 * [[relacja przeciwsymetryczna]]
-* [[częściowy porządek]]
+* [[relacja symetryczna]]
-==Bibliografia==
+== Bibliografia ==
-* {{Cytuj książkę|imię=Wojciech|nazwisko=Guzicki|imię2=Piotr|nazwisko2=Zakrzewski|tytuł=Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości.|wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN]]|miejsce=Warszawa|rok=2005|strony=155|isbn=83-01-14415-7}}
+* {{Cytuj książkę |nazwisko = Guzicki |imię = Wojciech |nazwisko2 = Zakrzewski |imię2 = Piotr |tytuł = Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |miejsce = Warszawa |rok = 2005 |strony = 155 |isbn = 83-01-14415-7}}
 [[Kategoria:Relacje]]