W matematyce, konkretniej teorii ciał, stopień jest w intuicyjnym sensie miarą „rozmiaru” rozszerzenia ciała. Pojęcie to odgrywa ważną rolę w wielu częściach matematyki, w tym w algebrze, teorii liczb i w wielu dziedzinach, gdzie ciała są kluczowymi obiektami algebraicznymi.
Niech że
będzie rozszerzeniem ciała. Wtedy
można traktować jako przestrzeń liniową nad
(które odgrywa rolę skalarów). Wymiar tej przestrzeni wektorowej nazywa się stopniem rozszerzenia ciała i jest oznaczany
Stopień może być skończony lub nieskończony, ciało jest nazywane odpowiednio skończonym rozszerzeniem lub nieskończonym rozszerzeniem. Rozszerzenie
czasem nazywane jest po prostu skończonym, jeśli jest skończonym rozszerzeniem; nie należy tego mylić z ciałami skończonymi (ciałami o skończonej liczbie elementów).
Twierdzenie o stopniach rozszerzeń ciał[edytuj | edytuj kod]
Dla trzech ciał dla których zachodzi ciąg włożeń
istnieje prosta zależność między stopniami trzech rozszerzeń
i
![{\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3319d832c4d87f13af0a89a52f20e30a912536)
Innymi słowy stopień „dużego” rozszerzenia można obliczyć jako iloczyn pośrednich rozszerzeń. To twierdzenie przypomina twierdzenie Lagrange’a w teorii grup, które łączy rząd grupy i indeks podgrupy; Teoria Galois pokazuje, że ta analogia jest czymś więcej niż tylko zbiegiem okoliczności.
Jeśli
jest skończone, to twierdzenie nakłada silne ograniczenia na rodzaj ciał, które mogą wystąpić między
i
za pomocą prostych arytmetycznych zależności. Na przykład jeśli stopień
jest liczbą pierwszą
to dla dowolnego ciała pośredniego
zachodzi jedno z dwojga: albo
oraz
w tym przypadku
jest równe
lub
oraz
w tym przypadku
jest równe
W takim razie nie istnieje żadne pośrednie rozszerzenie
zawarte w
Dowód twierdzenia w przypadku skończonym[edytuj | edytuj kod]
Niech
będą ciałami takimi, że
oraz że
i
są skończone. W takim razie istnieje baza
przestrzeni
nad
oraz baza
przestrzeni
nad
Pokażemy, że elementy
tworzą bazę
a że jest ich dokładnie de, to znaczy, że wymiar
wynosi de.
Najpierw musimy sprawdzić, że ten zbiór rozpina
Niech
będzie dowolnym elementem
ponieważ
tworzą bazę dla
nad
możemy znaleźć elementy
w
takie, że
![{\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}a_{n}w_{n}=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{e}w_{e}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ce63f12d1accb2b57bfc1c9bc88b65c07588d6)
Wtedy, jako że
tworzą bazę dla
nad
możemy znaleźć elementy
w
takie, że dla każdego
![{\displaystyle a_{n}=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}=b_{1,n}u_{1}+\cdots +b_{d,n}u_{d}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687b84c4d5b5d3488a0604f645d66be1ad048acb)
Następnie za pomocą rozdzielności i łączności mnożenia w
mamy
![{\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n}=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70314d9d2982cdafa261c51110506d0fcd3ef914)
co pokazuje, że
jest liniową kombinacja
o współczynnikach z
innymi słowy, rozpinają one
nad
Po drugie, musimy sprawdzić, że są one liniowo niezależne nad
Załóżmy że:
![{\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a104c858d99cd6f6a0d24a21db9bb1a694e9def)
dla pewnych współczynników
w
Wtedy mamy:
![{\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765a45d262b3b4f7691a52dd32ccbc7590df44ba)
W takim razie wyrażenia w nawiasie muszą być zerowe, ponieważ są one elementami
a
są liniowo niezależne nad
Czyli
![{\displaystyle 0=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149046b6948d81f94d97230ea652aa7c8c7c04ac)
dla każdego
Ale,
są współczynnikami w
oraz
są liniowo niezależne nad
musimy mieć, że
dla wszystkich
i
To pokazuje, że elementy
są liniowo niezależne nad
To kończy dowód.
- Liczby zespolone są rozszerzeniem ciała nad rzeczywistymi liczbami o stopniu
w takim razie nie ma nietrywialnych ciał między nimi.
- Rozszerzenie ciała
otrzymane przez dołączenie
do ciała liczb wymiernych, Ma stopień 4, czyli
Pośrednie ciało
ma stopień 2 nad
z twierdzenia o stopniu rozszerzeń mamy ![{\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd476d4d76d0e526416a7641db21ff764e01676)
- W ciało skończone (ciało Galois)
ma stopień równy 3 nad
W bardziej ogólnym przypadku, jeśli
jest pierwsze oraz
– liczby całkowite dodatnie i
dzieli
wtedy ![{\displaystyle [\mathbf {GF} (p^{m}):\mathbf {GF} (p^{n})]=m/n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec63cdeb8de75faa67de5c4bb121501d831e0e37)
- Rozszerzenie ciała
gdzie
to ciało funkcji wymiernych nad
ma nieskończony stopień. Zauważmy, że elementy
itp. są liniowo niezależne nad ![{\displaystyle \mathbf {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8decdc57398394307879276418d46bc88b01de)
- Proof of the multiplicativity formula. W: Nathan Jacobson: Basic Algebra I. W. H. Freeman and Company, 1985, s. 215. ISBN 0-7167-1480-9.
- Nathan Jacobson: Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company, 1989, s. 465. ISBN 0-7167-1933-9.