Algebra abstrakcyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Permutacje kostki Rubika mają strukturę grupy. Grupa to podstawowe pojęcie algebry abstrakcyjnej.

Algebra abstrakcyjna (dawniej algebra współczesna[1]) – dział matematyki zajmujący się badaniem struktur algebraicznych oraz homomorfizmów zachowujących te struktury[1][2][3]. Strukturami algebraicznymi są m.in.: grupy[1][4][5][6][7][8][9], pierścienie[1][6][7][9][10][11][12], ciała[1][6][7][9][11][13][14], moduły[1][6][15], ideały[16], przestrzenie wektorowe[6][9][17], grupoidy[18], algebry nad ciałami[19]. Za najważniejsze struktury uważa się grupy, pierścienie i ciała[7]. Do badania tych struktur wykorzystuje się homomorfizmy i inne narzędzia[6]. Określenie algebra abstrakcyjna zostało wprowadzone na początku XX wieku dla odróżnienia tej dziedziny nauki od innych części algebry[2]. Niekiedy za części algebry abstrakcyjnej uznaje się także następujące dyscypliny matematyczne: algebrę liniową, elementarną teorię liczb i matematykę dyskretną[7]. Na przykład Ash przydzielił do algebry abstrakcyjnej następujące obszary matematyki: logikę matematyczną i podstawy matematyki, elementarną arytmetykę, elementarną teorię liczb, nieformalną teorię grup, algebrę liniową i teorię operatorów liniowych[7][20].

Algebraik Claude Chevalley twierdził, że algebra przede wszystkim stanowi język matematyki i nie istnieje sama dla siebie, lecz jej kierunki rozwoju są uzależnione od potrzeb w innych dziedzinach matematyki[21]. Hermann Weyl w swym artykule Topologie und abstrakte Algebra als zwei Wege mathematischen Verstandisse (1932) stwierdził, iż algebra abstrakcyjna oraz topologia są głównymi drogami zrozumienia matematycznego[21]. Takie ujęcie roli algebry abstrakcyjnej w matematyce może uzasadniać algebraizację całej matematyki, rozpoczętą na przełomie XIX i XX wieku[21]. Algebraizacja matematyki polega na abstrakcyjnym formułowaniu problemów matematycznych w postaci algebraicznej[9]. Osiągane tą metodą wyniki łączą zazwyczaj wiele pozornie odległych działów matematyki i często są zaskakujące[9].

Przypisy

  1. a b c d e f Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 7, Algebra
  2. a b Britannica, Abstract Algebra, Mark Andrew Ronan
  3. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 264–265, Homomorfizm struktur algebraicznych
  4. John Beachy: "Abstract Algebra On Line", Gropus
  5. Edwin Connell "Elements of Abstract and Linear Algebra", Chapter 02
  6. a b c d e f Mathematics: About abstract algebra
  7. a b c d e f John Renze, Eric W. Weisstein, Abstract Algebra, w: WolframMathWorld
  8. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 262–264, Grupa
  9. a b c d e f Encyklopedia Powszechna PWN, PWN, Warszawa 1983, ISBN 83-01-00001-5, t. 1, s. 68, Algebra
  10. John Beachy: "Abstract Algebra On Line", Rings
  11. a b Edwin Connell "Elements of Abstract and Linear Algebra", Chapter 03
  12. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 264, Pierścień
  13. John Beachy: "Abstract Algebra On Line", Fields
  14. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 264, Ciało
  15. John Beachy: "Abstract Algebra On Line", Modules
  16. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, ​ISBN 83-01-14388-6​; s. 172, definicja 124
  17. Sethuraman, B.A.. (2015), "A Gentle Introduction to Abstract Algebra"
  18. A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups (wyd. rosyjskie). Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1972, s. 15.
  19. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 106–107
  20. Robert B. Ash, A Primer of Abstract Mathematics, Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1998
  21. a b c Krzysztof Maurin, Przedmowa, Warszawa, 24 grudnia 1975, [w:] Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978, s. IX

Bibliografia[edytuj]