Algebra abstrakcyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Permutacje kostki Rubika mają strukturę grupy. Grupa to podstawowe pojęcie algebry abstrakcyjnej.

Algebra abstrakcyjna (dawniej algebra współczesna[1]) – dział matematyki zajmujący się badaniem struktur algebraicznych oraz homomorfizmów zachowujących te struktury[1][2][3]. Strukturami algebraicznymi są m.in.: grupy[1][4][5][6][7][8][9][10], półgrupy[10], pierścienie[1][6][7][9][11][12][13][10], ciała[1][6][7][9][12][14][15][10], moduły[1][6][16][10], ideały[17], przestrzenie wektorowe[6][9][18][10], grupoidy[19], algebry nad ciałami[20][10]. Za najważniejsze struktury uważa się grupy, pierścienie i ciała[7]. Do badania tych struktur wykorzystuje się homomorfizmy i inne narzędzia[6]. Określenie algebra abstrakcyjna zostało wprowadzone na początku XX wieku dla odróżnienia tej dziedziny nauki od innych części algebry[2]. Niekiedy za części algebry abstrakcyjnej uznaje się także następujące dyscypliny matematyczne: algebrę liniową, elementarną teorię liczb i matematykę dyskretną[7]. Na przykład Ash przydzielił do algebry abstrakcyjnej następujące obszary matematyki: logikę matematyczną i podstawy matematyki, elementarną arytmetykę, elementarną teorię liczb, nieformalną teorię grup, algebrę liniową i teorię operatorów liniowych[7][21].

Algebraik Claude Chevalley twierdził, że algebra przede wszystkim stanowi język matematyki i nie istnieje sama dla siebie, lecz jej kierunki rozwoju są uzależnione od potrzeb w innych dziedzinach matematyki[22]. Hermann Weyl w swym artykule Topologie und abstrakte Algebra als zwei Wege mathematischen Verstandisse (1932) stwierdził, iż algebra abstrakcyjna oraz topologia są głównymi drogami zrozumienia matematycznego[22]. Takie ujęcie roli algebry abstrakcyjnej w matematyce może uzasadniać algebraizację całej matematyki, rozpoczętą na przełomie XIX i XX wieku[22]. Algebraizacja matematyki polega na abstrakcyjnym formułowaniu problemów matematycznych w postaci algebraicznej[9]. Osiągane tą metodą wyniki łączą zazwyczaj wiele pozornie odległych działów matematyki i często są zaskakujące[9].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d e f Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 7, Algebra.
  2. a b Britannica, Abstract Algebra, Mark Andrew Ronan.
  3. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 264–265, Homomorfizm struktur algebraicznych.
  4. John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Gropus.
  5. Edwin Connell „Elements of Abstract and Linear Algebra”, Chapter 02.
  6. a b c d e f Mathematics: About abstract algebra.
  7. a b c d e f John Renze, Eric W. Weisstein, Abstract Algebra, w: WolframMathWorld.
  8. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 262–264, Grupa.
  9. a b c d e f Encyklopedia Powszechna PWN, PWN, Warszawa 1983, ​ISBN 83-01-00001-5​, t. 1, s. 68, Algebra.
  10. a b c d e f g Zdzisław Opial, Algebra wyższa, PWN, Łódź 1972, s. 47-49, Podstawowe typy struktur algebraicznych
  11. John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Rings.
  12. a b Edwin Connell „Elements of Abstract and Linear Algebra”, Chapter 03.
  13. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 264, Pierścień.
  14. John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Fields.
  15. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 264, Ciało.
  16. John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Modules.
  17. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, ​ISBN 83-01-14388-6​; s. 172, definicja 124.
  18. Sethuraman, B.A.. (2015), „A Gentle Introduction to Abstract Algebra”.
  19. A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups (wyd. rosyjskie). Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1972, s. 15.
  20. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 106–107.
  21. Robert B. Ash, A Primer of Abstract Mathematics, Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1998.
  22. a b c Krzysztof Maurin, Przedmowa, Warszawa, 24 grudnia 1975, [w:] Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978, s. IX.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]