Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń (także słaba topologia; ang. initial topology) – najuboższa topologia w danym zbiorze X, względem której każde przekształcenie ze z góry zadanej rodziny przekształceń zbioru X o wartościach w przestrzeniach topologicznych jest ciągłe. Pojęcie topologii wprowadzonej przez rodzinę przekształceń wprowadził Nicolas Bourbaki.

Konstrukcja[edytuj]

Niech będzie zbiorem, będzie rodziną przestrzeni topologicznych oraz niech dla każdego i dana będzie funkcja (przekształcenie)

.

W zbiorze X istnieje najsłabsza topologia względem, której każda funkcja jest ciągła. Bazą tej topologii jest rodzina zbiorów postaci

,

gdzie jest skończonym podzbiorem zbioru oraz jest otwartym podzbiorem . Topologia ta nazywana jest topologią wyznaczoną przez rodzinę przekształceń .

  • Przekształcenie przestrzeni topologicznej W w przestrzeń Y, której topologia jest wyznaczona przez rodzinę przekształceń , gdzie , jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i złożenie jest ciągłe.

Przykłady[edytuj]

  • Jeżeli X jest przestrzenią liniowo-topologiczną, której przestrzeń sprzężona jest nietrywialna (na przykład, X jest przestrzenią lokalnie wypukłą, w szczególności, przestrzenią unormowaną), to w zbiorze X można wprowadzić topologię wyznaczoną przez rodzinę . Topologia ta, nazywana słabą topologią w X, jest liniowa oraz lokalnie wypukła.
  • Jeżeli X jest taką przestrzenią liniowo-topologiczną jak wyżej, to w przestrzeni można wprowadzić tzw. *-słabą topologię, tj. topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń , gdzie dla i (każde odwzorowanie jest funkcjonałem liniowym na ).

Bibliografia[edytuj]

  1. Nicolas Bourbaki: General Topology. T. 1. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 1990, s. 30-31. ISBN 3-540-64241-2.
  2. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 48-49.